finde dielektrikum abhängig von r

Scien · Anmeldungsdatum: 14.07.2012 Beiträge: 1

Meine Frage:
Es handelt sich um einen zylindrischen Kondensator mit den beiden platten mit Radius a und b. Dazwischen befindet sich ein Dielektrikum \epsilon. Zwischen den Platten liegt die Spannung V. Wir sollen nun \epsilon (r) so finden dass die energiedichte konstant ist. Danach sollen wir \vec{a} (r) berechnen.

Meine Ideen:
Ich beginne mit

Die Energie dichte ist:

Nun der zweite Teil: Die Potentialdifferent ist:

Aber wie mache ich nun weiter?
Ich habe

also vorrausgesetzt hier stimmt alles, wie schreibe ich dann E völlig unabhängig von etwas unbekanntem?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Bei den geladenen Platten sehen ich keine räumliche Ladungsdichte. Hier müßte mit einer Flächenladung oder, noch bequemer, mit der Längen-Ladungsdichte, gerechnet werden

.
Wenn ich mich recht erinnere: Das Oberflächenintegral zum Zylinder mit Radius r liefert

womit die Energiedichte

Womit die Aufgabe aber erst richtig losgeht!
Q, U, w, E, \epsilon und \lambda sind ja nicht unabhängig.
Gibt es überhaupt eine spannungsunabhängige Lösung? grübelnd

Scien1 · Gast

okay wörtlich ist in der Aufgabe die rede von einem langen coaxialem Kondensator, der innere Leiter befindet sich beim radius a, der äußere beim radius b.

Mit dem Einwand gebe ich dir Recht, eine Längenladungsdichte oder Flächenladungsdichte macht mehr sinn. Aber jetzt habe ich immer noch so ein lamda da rumfliegen, was ich lieber nicht da hätte.

Ich soll nicht a(r) bestimmen ich soll das epsilon (also das dielektrikum) in Abhängig von r bestimmen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Die Frage ist schon klar:
Gegeben: Radien + Spannung + Bedingung w = const
Gesucht: epsilon(r)

Und eine (Schein)Lösungs steht zwar schon da, aber das Dilemma ist: Wie kriege ich die Spannung rein - statt der Energiedichte? Und mein Verdacht, daß die rechnerische Lösung spannungsabhängig ist. grübelnd

Scien1 · Gast

Spannungsabhängig klar.. Du meinst dass die Spannung zusätzlich von epsilon(r) abhängt? Das ist nämlich auch mein Verdacht und ich bin soweit fertig.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Wieso sollte denn die Verteilung der Permittivität von der Spannung abhängig sein oder umgekehrt?

Ein Kondensator mit welcher Permittivitätsverteilung auch immer hat eine ganz bestimmte Kapazität. Bei einer ganz bestimmten Spannung ist auf den Zylinderelektroden eine ganz bestimmte Ladung gespeichert. Die Ladungsverteilung ist homogen, da die Permittivität nicht von der Position in axialer Richtung abhängt, sondern nur von der Position in radialer Richtung. Deshalb ist ja auch nach der Permittivität in Abhängigkeit vom Radius gefragt.

Freilich, bei höherer Spannung wird auch eine größere Ladungsmenge gespeichert, aber nicht deshalb, weil die Kapazität des Kondensators sich ändert, sondern weil immer noch die Beziehung Q=C*U gilt.

Warum wird nicht einfach, wie sonst üblich bei solchen Aufgaben, der Gaußsche Flusssatz unter Berücksichtigung der Zylindersymmetrie angewendet?

und mit

folgt

Die Energiedichte ist

Die oben berechnete Feldstärke E eingesetzt, ergibt

Da kürzt sich

einmal raus und es bleibt

Und jetzt sieht man ganz deutlich, wie die Permittivitätszahl gestrickt sein muss, damit die Energiedichte konstant ist, nämlich

Dabei ist k eine beliebige Konstante der Dimension Länge. Je größer die ist, desto größer ist auch die (konstante) Energiedichte und der Energieinhalt des Kondensators, was auch leicht nachzuvollziehen ist. Das ist nämlich auch bei konstanter Permittivität der Fall. Nicht davon beeinflusst wird davon die Feldstärke und schon gar nicht die Spannung (die ist ja fest vorgegeben), wie leicht nachvollziehbar und auch leicht nachzurechnen ist.

Und mehr war ja nicht gefragt. Es sollte die Permittivität in Abhängigkeit vom Radius bestimnmt werden. Warum da jetzt unbedingt die Spannung rein muss, bleibt unerfindlich. Die wird erst interessant, wenn man die Feldstärke (in Abhängigkeit vom Radius) oder den Energieinhalt bestimmen will. Aber danach war ja gar nicht gefragt.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Lieber GvC!

Wie sieht bitte die "konstante" (also weder von U, Q, w oder ähnlichem abhängige) Kapazität dieses eigenartigen Kondensators aus?
Ich würde mich über eine Lösung sehr freuen!! smile

PS Aber vermutlich hast Du recht, daß nur an k² / r² gedacht war mit einer irgendwie beliebigen konstanten Konstanten k.

Scien1 · Gast

Ola

danke schon mal für die ausfürliche antwort!
Aber es geht jetzt noch tatsächlich weiter: Es muss nämlich noch das elektrische Feld berechnet werden. Und da habe ich Probleme (sorry ich sehe gerdae ich hatte da ein Tippfehler in der Aufgabenstellung)

Scien1 · Gast

Ahhhaa das mysteriöse k kürzt sich raus smile

Wenn wir nun nämlcih das potential ausrechnen

und das Q und das epsilon in E reintun

finden wir

Finde ich persönlich ein wenig komisch dass das nicht schon vorher geklappt hat, aber fein, ich bin zufrieden smile

Danke danke euch allen

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Ja franz, das ist natürlich Quatsch. Das stimmt schon dimensionsmäßig hinten und vorn nicht. Aber das Ergebnis ist bis auf das Minuszeichen richtig, sofern man die Innenelektrode als positiv und die Außenelektrode als negativ geladen sowie die Spannung von innen nach außen weisend voraussetzt. Für diesen Fall weist die Feldstärke schon von der Anschauung her von Plus nach Minus, also von innen nach außen.

@Scien1
Ich findes es komisch,dass Du es komisch findest, dass es nicht schon vorher geklappt hat. Dabei handelt es sich nur um die Anwendung der absoluten Grundlagen, hier des Gaußschen Flusssatzes. Zugegeben, es gehört auch ein gewisses Maß an Anschauungsvermögen dazu wie überall in der Physik. Denn die Mathematik ist nur ein Hilfsmittel, um die Physik zu beschreiben. Ohne das Erkennen des physikalischen Szenarios nützt Dir die ganze Mathematik nichts. Du wüsstest ja nicht einmal, welche Gleichungen Du anwenden sollst. Im vorliegenden Fall sind das die drei Feldgleichungen, die nicht nur das elektrostatische Feld, sondern in gleicher (und nur leicht modifizierter) Weise auch das Strömungsfeld und das magnetostatische Feld beschreiben:

- Fluss ist gleich dem Flächenintegral der Flussdichte
- Flussdichte ist Leitfähigkeit mal Feldstärke
- Spannung ist gleich dem Wegintegral der Feldstärke

Diese drei Gleichungen beschreiben die gesamten Grundlagen der Elektrotechnik. Es wäre deshalb sinnvoll, wenn man die sich einprägen würde. Wenn man sich alle Titel der Charts rauf und runter merken kann, sollte die Erinnerung an diese drei Gleichungen doch nicht allzu schwer fallen.