Trägheitstensor, Hauptträgheitsmomente und Trägheitsachsen

volley · Anmeldungsdatum: 23.06.2012 Beiträge: 36 Wohnort: Deutschland

Meine Frage:
Also ich habe folgende Aufgabe:
(a) Betrachten Sie eine dünne quadratische Platte mit homogener Dichte

, Masse M, Kantenlänge a und Dicke b<<a. Berechnen Sie
die Komponenten des Trägheitstensors bezüglich eines Eckpunktes.
Nehmen Sie an, dass sich die Platte in der (x; y)-Ebene eines kartesischen
Koordinatensystems befindet, der fragliche Eckpunkt im Koordinatenursprung
liegt und die Seiten entlang der x- bzw. y-Achse
ausgerichtet sind.
Berechnen Sie für die weiteren Rechnungen den Limes b->0.
(b) Finden Sie die Hauptträgheitsmomente und die Trägheitsachsen des
Körpers.

Im Grunde möchte ich einfach nur das jemand meine Rechnungen nachvollzieht und mich auf Fehler aufmerksam macht.

Meine Ideen:
Also zunächst einmal berechne ich den Trägheitstensor für ein Koordinatensystem bei dem der Ursprung mit dem Schwerpunkt des Körpers zusammenfällt. Also verschiebe ich mein System um den Vektor

Den Trägheitstensor berechne ich wie hie Seite 2 Gleichung (4) angegeben: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq-pdf/theta.pdf

Da die Dichte homogen verteilt ist, ist

konstant und ich kann es vor das Integral ziehen.

Jetzt wende ich den Satz von Steiner an um den Trägheitstensor für die geforderte Achse zu bestimmen.

Wenn ich die beiden Matrizen addiere und b->0 gehen lasse bekomme ich

Ist das soweit richtig?

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

volley · Anmeldungsdatum: 23.06.2012 Beiträge: 36 Wohnort: Deutschland

Sorry, hatte die letzten Tage keine Zeit mich nochmal damit zu beschäftigen.

Meinen Fehler hab ich gefunden.
Erst nochmal zum Verständnis, ich habe mein Koordinatensystem in den Mittelpunkt meines Körpers verschoben, deshalb habe ich andere Integralgrenzen als du erkü.
Also von -a/2 bis a/2 usw.
Bei

hatte ich mich allerdings verrechnet, und ich vergas auch die konsteante Dichte vor die Matrix zu schreiben. Wenn ich die Dichte mit rein ziehe ergibt sich dann:

Wenn ich jetzt den Satz von Steiner anwende (weil die Drehachse ja in der Ecke des Körpers sein soll und nicht durch den Schwerpunkt gehen soll) komme ich auf:

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414