Teilchen auf Halbkugel

tobsntobi · Anmeldungsdatum: 03.07.2012 Beiträge: 2

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich bräuchte ein wenig Hilfe bei folgender Aufgabe zu einem wohlbekannten Mechanik Problem: Dem auf einer Halbkugel reibungsfrei gleitenden Teilchen. In Experimentalphyik war das noch gut über Energieerhaltung zu lösen, aber jetzt sieht hierzu die Aufgabenstellung wie folgt aus:

Eine Punktmasse gleite (reibungsfrei) eine Halbkugel (Radius R) hinab und befindet sich dabei im homogenen Schwerefeld. Das Teilchen startet vom höchsten Punkt und erhält eine verschwindend geringe Anfangsgeschwindigkeit, so dass es aus der labilen Gleichgewichtslage in x-Richtung losgleitet.

Die Aufgabe hierzu:

a) Man soll die Lagrangefunktion und die Lagrangegleichungen 1. Art in sphärischen Polarkoordinaten aufstellen und den Lagrange-Multiplikator interpretieren.

b) Erhaltungsgrößen bestimmen und interpretieren

c) Koordinaten des Punktes, an dem Teilchen die Kugeloberfläche verlässt.

Meine Ideen:
Ich benötige hier zunächst mal nur Hilfestellung für Teilaufgabe a)...möchte den Rest dann zunächst selbst versuchen (hierzu wäre eine gelöste Teilaufgabe a jedoch hilfreich...).

Soweit ich das hier verstehe, reduziert mir die infinitessimal kleine Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung das Problem auf ein Problem in der Ebene: Das Teilchen rutscht quasi auf einem Halbkreis herunter.

Schwierigkeiten habe ich jedoch jetzt dabei die entsprechenden Zwangsbedingungen zu formulieren. Meine Idee wäre hier:

Der Betrag des Ortsvektors des Teilchens muss immer größer oder gleich dem Radius der Halbkugel sein, also:

oder in ebenen Polarkoordinaten:

Bisher hatte ich allerdings noch nicht weiter mit Zwangsbedingungen zu tun, die als Ungleichung formuliert werden. In der Vorlesung wurde ein Beispiel besprochen, wobei hier die Zwangsbedingungen in differenzieller, nicht integrabler, Form vorliegen mussten. Hier ist mir nicht klar, ob ich da obige auch so formulieren kann. Außerdem ist mir noch nicht ganz klar, wie ich hier jetzt systematisch die Lagrangegleichungen 1. Art herleiten kann. Habe bisher nur mit Lagrange 2 näher zu tun gehabt und würde mich hier über eine schrittweise Erklärung/"Rezept" freuen Augenzwinkern

.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Die Frage ist mir nur aus traditioneller Sicht bekannt. Ablösung beginnt, wenn die Normalkomponente des Gewichts und die Zentrifugalkraft sich aufheben. (Und die Geschwindigkeit für letztere aus dem Energiesatz.)
PS Warum eine Halbkugel?

tobsntobi · Anmeldungsdatum: 03.07.2012 Beiträge: 2

Aus traditioneller Sicht habe ich die Aufgabe bereits letztes Semester als Übungsaufgabe gelöst smile

. Das Problem liegt hier eben eher in der Anwendung des Lagrangeformalismus und der Anwendung bzw. dem Aufstellen der Lagrangegleichungen 1. Art auf diese Fragestellung!
Hier ist eine obere Halbkugel gemeint Augenzwinkern

Eine Vollkugel würde hier das gleiche Problem darstellen, da das Teilchen nach Erreichen einer gewissen Geschwindigkeit die Kugeloberfläche ja verlässt und dies bereits auf dem oberen Teil einer Kugel geschieht. Dementsprechend reicht es die Halbkugel zu betrachten.

jarCrack · Anmeldungsdatum: 20.06.2012 Beiträge: 56

Okay, also die Lagrange Gleichungen solltest du doch aufstellen können. s. Wikipeida:

Das bedeutet also für uns:

Nun setz da Kugelkoordinaten ein und los gehts.