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mr phi
Gast
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 mr phi Verfasst am: 05. Aug 2005 10:11 Titel: Brauch Hilfe zu einer Übung (mit Energienerhaltungssatz etc) |
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Hi!
Ich hab ein Problem mit einer Übung aus einem uralten Lehrbuch, und zwar: Es ist eine schiefe Ebene und ein Hohlzylinder gegeben und man lässt den Hohlzylinder die ganze Ebene unter Vernachlässigung der Reibung herunterrollen. Nun sucht man eine Formel für die Geschwindigkeit des Hohlzylinders. Im Buch wird das mit dem Energieerhaltungssatz gemacht: Epot = Ekin + Erot. und daraus leitet man v=sqr(g*h) ab.
Das, was ich nicht verstehe ist, wieso man zur kin. Energie noch Erot hinzuaddiert, denn die pot. Energie wandelt sich doch in kin. Energie um. Dazu ist noch zu sagen, dass Rotationsenergie = kin. Energie, denn rotieren heißt in diesem Beispiel automatisch bewegen, also ist die Rotationsenergie gleich Bewegungsenerige.
Oder in Formeln: ²/2 = m*v²/2 = Ekin )
Und damit ist doch gezeigt, dass das Hinzuaddieren der Erot überflüssig ist, denn dadurch ergibt sich, da es ja jetzt doppelt so viel kin. Energie hat, was ja nicht sein darf, einen Fehler, oder?
Also entweder hat das Buch nen Fehler oder ich bin einfach zu blöd dazu (ich hoffe das Buch liegt falsch  ).
Nein, ehrlich bitte helft mir es zu verstehen. 
P.S.: Was mich noch dazu verwirrt ist, dass man in einem früheren Abschnitt des Buches v=sqr(2*g*h) als zeitfreie Formel für beschleunigte Bewegung von Objekten hergeleitet hat. Wieso sollte das für Hohlzylinder anders sein, denn unter Vernachlässigung der Reibung erhalten alle Objekte egal welcher Masse die gleiche Beschleunigung.
Beweis: Wenn ein Objekt der Masse m herunterollt, gilt *s(Weg entlang der schiefen Ebene) ) .
Daraus folgt
/(m*a)=s/h <> g/a=s/h )
Bei Objekt der Masse m2, gilt:
/(m2*a2)=s/h <> g/a2=s/h )
Gleichsetzen ergibt g/a=g/a2
und Umformen a=a2
Damit ist bewiesen, dass alle Objekte gleiche Beschleunigung erhalten und damit nach einer Zeit t die gleiche v haben (sollten).
Ich bin jedem dankbar der mir hilft es zu verstehen.
mfg mr phi |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
Wohnort: Lausanne
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| Passepartout Verfasst am: 05. Aug 2005 12:23 Titel: |
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Hallo Mr.  ,
mal schaun, ob wir das ein wenig entwirren können.
Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der Translationsenergie des Schwerpunkts und der Rotationsenergie um die Drehachse bzgl. des Schwerpunkts.
Die Translationsenergie ist einzig und allein die Bewegungsenergie des Schwerpunkts, ist also wurscht, was da die Ebene runtergleitet, ein Klotz, ein Elefant, ein Zylinder oder eine Kugel.
Die Rotationsenergie ist einzig und allein für die Drehung des Körpers verantwortlicht, der Körper bewegt sich also nicht von der Stelle nur mit Rotationsenergie.
Ergo: Ein Körper, der nur Translationsenergie hat, gleitet über die Ebene.
Ein Körper, der nur Rotationsenergie hat, dreht sich nur auf der Stelle.
In dem Fall des Hohlzylinders der herunterrollt ist es nun gerade zufällig so, dass die Energien beide gleich sind (wenn man mal davon absieht, dass sich die Kugel tatsächlich eigentlich nicht um den Schwerpunkt sondern um den Auflagepunkt dreht und sich damit eigentlich  ergäbe; Satz v. Steiner)
Beweist aber noch lange nicht, dass das die gleichen Energien sind, sondern dass sie betragsmäßig gleich sind.
Wenn Du nun Energieerhaltung anwendest ergibt sich also:
 )
Hoffe, ich konnte vielleicht ein wenig Klarheit reinbringen.
Gruß  ,
Michael
[/latex]
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 , oder nicht  |
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mr phi
Gast
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| mr phi Verfasst am: 05. Aug 2005 15:04 Titel: |
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also, das mit dem Addieren zweier Energien habe ich kapiert, nur finde ich komisch dass für rotierende sich fortbewegende Körper nicht mehr die Formel ^{0,5}) sondern ^{0,5}) gilt.
[latex hingebogen - ich denke das war es was du sagen wolltest ^^, para] |
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mr phi
Gast
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| mr phi Verfasst am: 05. Aug 2005 15:10 Titel: |
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Und vielen dank für deine Hilfe!  |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 05. Aug 2005 15:17 Titel: |
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Es gilt ja auch nicht für alle Körper, dass  ist, sondern unter Einbeziehung der Rotationsenergie gilt lediglich immer  .
Für den genauen Ausdruck ist das Trägheitsmoment des Körpers verantwortlich. |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
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| Passepartout Verfasst am: 05. Aug 2005 16:46 Titel: |
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| mr phi hat Folgendes geschrieben: | also, das mit dem Addieren zweier Energien habe ich kapiert, nur finde ich komisch dass für rotierende sich fortbewegende Körper nicht mehr die Formel }) sondern }) gilt. |
Naja, ist doch eigentlich plausibel, offensichtlich ist genau dieser Körper langsamer, wenn er zusätzlich rollt; das heißt die Bewegungsenergie wird in translatorische und rotierende Energie umgesetzt.
| Gast hat Folgendes geschrieben: | | Für den genauen Ausdruck ist das Trägheitsmoment des Körpers verantwortlich. |
Genau, in diesem Fall wäre das ausgeixt:
v^2)
Und da für einfache Körper, wie es der Hohlzylinder ist (oder auch Kugel, Vollzylinder usw), folgendes gilt:
Lässt sicht das folgendermaßen in Abhängigkeit von  schreiben:
Dann einsetzen und Du kriegst die Geschwindikeit ab Ende des Hangs.
Kannst Dich ja überzeugen, dass bei Hohlzylinder genau unser Ergebnis rauskommt.
Liebe Grüße ,
Michael
_________________
, oder nicht |
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mr phi
Gast
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| mr phi Verfasst am: 05. Aug 2005 22:55 Titel: |
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Also bis jetzt hab alles ziemlich gut verstanden, dennoch hab ich eine klitzekleine Frage: gilt diese Formel nur bei herabrollenden rotierenden Objekten oder allgemein, also wenn ich z.B. einen Hohlzylinder auf einer ebenen Ebene mit der Beschleunigung a längs des Weges s beschleunige (natürlich werden dabei die entsprechenden Variablen g und h durch a und s ersetzt)? |
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
Beiträge: 1133
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| bishop Verfasst am: 06. Aug 2005 10:23 Titel: |
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japp, so möchte ich behaupten, genauso kannst du das in die Horizontale verschieben, wenn du wie hier die Reibung vernachlässigst 
_________________
Ein Physiker ist jemand, der über die ersten drei Terme einer divergenten Reihe mittelt |
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mr phi
Gast
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| mr phi Verfasst am: 06. Aug 2005 10:38 Titel: |
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aber dann würden ja für rotierende sich fortbewegende Objekte nicht mehr die Gesetze v=a*t und s=a/2*t² gelten, da sich aus diesen die Formel v=sqr(2*a*s) ergibt. |
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
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Wohnort: Heidelberg
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| bishop Verfasst am: 06. Aug 2005 11:58 Titel: |
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Das nicht, weil ja ein Teil der Energie in die Rotation geht, aber die Formel:
 gilt weiterhin
Wobei mir der Faktor unbekannt ist. Kann da jemand Aufklärung schaffen?
_________________
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mr phi
Gast
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| mr phi Verfasst am: 06. Aug 2005 13:18 Titel: |
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ähm... vergesst bitte meine frage ob die Formel auch für horizontale Ebenen gilt, ist ja offensichtlich dass die Beschleunigung bzw. Kraft bzw. Energie auch hier auf Translation und Rotation aufgeteilt werden muss.
Aber genau wie bishop frage ich mích was dieses e-artige Symbol bedeutet.
mfg mr phi |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 06. Aug 2005 13:25 Titel: |
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| Passepartout hat Folgendes geschrieben: |
Und da für einfache Körper, wie es der Hohlzylinder ist (oder auch Kugel, Vollzylinder usw), folgendes gilt:
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Damit hat der Passepartout das Trägheitsmoment ein wenig verallgemeinert.
z.B: also 
oder  also 
Dadurch kann man halt für viele Körper die Formel für die Geschwindigkeit verkürzt schreiben, als
_________________
Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
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| Passepartout Verfasst am: 06. Aug 2005 13:26 Titel: |
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| bishop hat Folgendes geschrieben: | gilt weiterhin
Wobei mir der Faktor unbekannt ist. Kann da jemand Aufklärung schaffen? |
Hi Bishop,
das (griechisch: Xi) habe ich lediglich eingeführt, um die Formel ein wenig zu vereinfachen. ( deswegen, weil ich den Buchstaben einfach mag )
Aus meiner Beobachtung heraus sind die Massenträgheitsmomente von einfachen Körper immer gerade so auf gebaut:
(Zum Beispiel:
\\I_{Zylinder} &=& \frac{1}{2} mr^2 (\xi = \frac{1}{2})\\I_{Hohlzylinder} &=& mr^2 (\xi = 1))
Ich weiß nicht, ob das allgemein so üblich ist, aber die Formel, die ich bereits oben schrieb wird so ein wenig übersichtlicher und handlicher.
Man kann natürlich für Deinen Ausdruck auch weiterhin schreiben
)
Lieben Gruß ,
Michael[/latex]
Edit: @navajo: da warst aber wenige Sekündchen flinker also ich
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, oder nicht |
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
Beiträge: 1133
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| bishop Verfasst am: 06. Aug 2005 14:33 Titel: |
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aah, k alles klar, bin nicht so der Mechaniker, und dinge wie Trägheitsmomente haben wir noch nicht behandelt ^^
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Ein Physiker ist jemand, der über die ersten drei Terme einer divergenten Reihe mittelt |
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mr phi
Gast
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| mr phi Verfasst am: 06. Aug 2005 18:06 Titel: |
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Also, die verallgemeinerte Formel v=sqr(a*s) für hohlzylinder gilt auch in der Horizontalen und daraus folgt, dass die üblichen Gesetze v=a*t und s=a*t²/2 nicht mehr gelten können.
Das will ich nun beweisen und herleiten (bitte überprüft meinen Gedankengang).
ein Hohlzylinder wird horizontal längs des Weges s in der Zeit t mit der Beschleunigung a beschleunigt. Die Energie die hierbei zum Einsatz kommt wird für die Translation und Rotation aufgespalten. Da sich Energien auf Kräfte und Kräfte auf Beschleunigungen zurückführen lassen, kann man auch sagen, die Beschleunigung wird aufgespalten und, weil die Rotations- und Translationsgeschwindigkeit immer übereinstimmen, kann man davon ausgehen, dass die Teilbeschleunigung a' bei Rotation und Translation gleich groß ist, d.h. sie muss also halbsogroß wie a sein:  .
Für die Fortbewegung ist ja eigentlich nur die Translation wichtig (Rotation ist ja eine Folge aus Translation und Reibung, deren Überwindung ja Energie kostet und in Form von Rotation geschieht), also wird in Folge nur sie für die Vorwärtsbewegung in Betracht gezogen und für die Translation gelten folgende Gesetze:
 und 
Für a' wird a/2 eingesetzt und bei v quadriert, bei s mit a mulitpliziert:
 und 
Daraus folgt:
 )
P.S.: Nochmals vielen Dank für eure Hilfe und Geduld! |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
Wohnort: Lausanne
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| Passepartout Verfasst am: 07. Aug 2005 11:15 Titel: |
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| mr phi hat Folgendes geschrieben: | Also, die verallgemeinerte Formel  für hohlzylinder gilt auch in der Horizontalen und daraus folgt, dass die üblichen Gesetze  und  nicht mehr gelten können.
Das will ich nun beweisen und herleiten (bitte überprüft meinen Gedankengang). |
Hallo,
Mensch, Du bist ja richtig im Beweiswahn ;-)
Naja, letztlich hast Du mit Deiner Herleitung, die ja auf das gleiche Ergebnis führt, weniger bewiesen, dass die obigen Gesetze für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht gelten, sondern vielmehr, dass sie gültig sind!
Schließlich kommst Du ja auch mit Hilfe dieses anderen Ansatzes (der im Übrigen ausschließlich für den Hohlzylinder gilt) genau auf das gleiche Ergebnis wie aus unseren Betrachtungen des Energieerhaltungssatzes.
Du hast eigentlich sozusagen gezeigt, dass man über verschiedene Ansätze zum gleichen Ergebnis kommen kann und das ist auch gut so und zeigt, dass die beiden Gesetze in sich stimmig sind.
Gruß ,
Michael
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, oder nicht |
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mr phi
Gast
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| mr phi Verfasst am: 07. Aug 2005 14:41 Titel: |
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na klar stimmen die Gesetze der beschleunigten Bewegung, bloß beim Hohlzylinder nicht in der Form  , sondern in der Gestalt von  , denn wenn man die erste Form nimmt so leitet man  her.
mfg mr phi |
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