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Deterministische Zeitentwicklung
 
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Er341
Gast





Beitrag Er341 Verfasst am: 17. Feb 2012 23:19    Titel: Deterministische Zeitentwicklung Antworten mit Zitat

Hallo,

die deterministische Zeitentwicklung wird ja z.B. auf Wikipedia für das "ket" definiert. Nach welchen Regeln kann ich sie dann auf das "bra" anwenden?

Gruß
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Feb 2012 00:30    Titel: Antworten mit Zitat

Nun, das funktioniert wie immer mittels de adjungierten Operators



Wegen der Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators gilt


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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Er341
Gast





Beitrag Er341 Verfasst am: 18. Feb 2012 10:03    Titel: Antworten mit Zitat

Also das Prinzip kenne ich, aber ich denke mein Problem liegt wo anders.

Ich möchte folgendes berechnen:

Da ist der Hamiltonoperator ja noch gar nicht im Spiel. Jetzt möchte ich jedoch folgendes Wissen anwenden:



Ich bin leider mit der Bra-Ket Notation noch nicht ganz vertraut. Kennst du eine gute Übersicht, die alle Rechenregeln auflistet?

Weiterhin würde mich noch interessieren, warum

also die beiden Operatoren kommutieren.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Feb 2012 10:19    Titel: Antworten mit Zitat

Du verwendest einfach die Definition des adjungierten Operators



wird zu



Dabei soll die Zeitableitung nach links wirken.

Kommutatoren zwischen Orten und Impulsen folgen immer aus den klassischen Poissonklammern. Kommutatoren zusammengesetzter Operatoren berechnet man dann nach ein paar Grundregeln, insbs.



Man sieht das ein, in dem man beide Seiten ausschreibt


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Er341
Gast





Beitrag Er341 Verfasst am: 18. Feb 2012 14:20    Titel: Antworten mit Zitat

Mein Problem ist denke ich, dass ich das mit dem nach links wirken nicht verstehe. Wie löst du denn hier die linke Seite auf?




vom ih nehme ich das konjugiert komplexe. Und darf ich die Zeitableitung dann einfach vor das Bra ziehen?


Zu meiner zweiten Frage bleibt trotz der Regel ja immer noch offen, warum .
Er341
Gast





Beitrag Er341 Verfasst am: 19. Feb 2012 09:43    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ich sehe gerade, dass ich die falsche Zeile kopiert habe. Ich habe mich allerdings nochmal ein wenig mit der Mathematik dahinter beschäftigt. Ich kann mir die Rechnung jetzt so erklären:








Jetzt gilt denke ich folgende Regel:

Ich weiß allerdings nicht so recht, wo diese Regel herkommt? Kann man die irgend woraus ableiten?

Jedenfalls kann ich dann schreiben:






Kann das so stimmen? Ich bin wie gesagt noch ganz am Anfang. Deshalb etwas ausführlicher.

Weiterhin kenne ich die Schreibweise nicht, ist damit einfach gemeint, das Psi von t abhängig ist?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Feb 2012 10:55    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, du bist auf dem richtigen Weg.

Das hineinziehen des Operators in den Bra oder Ket liefert ganz nützliche Eselsbrücken, ist aber eigtl.nur ein Bezeichner, keine Rechenoperation, denn das \psi für sich alleine besagt nichts, erst der ket |\psi> hat letztlich eine Bedeutung.

Mit |\psi,t>bezeichne ich tatsächlich die Zeitentwicklung; manche Bücher verwenden auch |\psi(t)>.

Den Übergang zum adjungierten Operator machst du dir am besten für komplexe Vektoren und Matrizen klar. In diesem Fall musst du die Matrizen transponieren sowie die Einträge komplex konjugieren. Insbs. stehen bei einem Skalarprodukt die Matrizen immer zwischen den Zeilen- und Spaltenvektoren (den Bras und Kets); soetwas wie A<\psi| ist sinnlos.

Das Ergebnis deiner Rechnung kannst du übrigens leicht überprüfen, indem du wiederum den Zeitentwicklunsgoperator U auf die Kets bzw. den adjungierten Operator auf die Bras anwendest und anschließend die Zeitableitung formal berechnest


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