Eichinvarianz (Begründung)

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Hallo allerseits,

ich habe eine konzeptionelle Frage bzgl. der Quantenfeldtheorie am Beispiel der Quantenelektrodynamik. Stehe allerdings noch eher am Anfang Augenzwinkern

.

Wenn ich das richtig verstehe, kann man die Lagrangedichte der QED

(wo D die eichinvariante Ableitung ist und F der Feldstärketensor) bekommen indem man Fermionenfelder

und Photonfelder

hernimmt und dann Lorentz- und Eichinvarianz (bzgl. U(1)) fordert, sowie Renormalisierbarkeit.

Das letzte ist eigentlich nicht unbedingt notwendig, wenn ich das richtig sehe, und auch nicht ganz richtig. Eigentlich kann man alle Terme berücksichtigen und bekommt dann für alle nicht renormalisierbaren Terme eine dimensionsbehaftete Kopllungskonstante. Wenn man jetzt behauptet dass diese Skala sehr groß ist, werden alle Terme, die jetzt oben nicht auftauchen unterdrückt. Ok - woher das jetzt kommt ist auch noch eine Frage, aber mit Renormalisierung möchte ich mich zunächst sowieso nicht beschäftigen.

Mich interessiert vielmehr die Eichinvarianz. Während die Lorentzinvarianz nach der SRT eben aus dem Relativitätsprinzip + Konstanz der Lichtgeschwindigkeit folgt (und letztere aus dem Experiment) sehe ich nicht, warum ich eine U(1)-Eichsymmetrie haben sollte.

Also zur eigentlichen Frage:
Wenn ich das bei Weinberg richtig sehe, dann sagt er, es gebe zwei Wege:
- Entweder man postuliert Eichinvarianz (aber auf welcher Grundlage?) und bekommt dann z.B. masselose Photonen,
- Oder man hat aus dem Experiment die Existenz von masselosen Teilchen mit Spin (Photonen), aus denen die entsprechende Invarianz folgt.

Der erste Weg scheint außerhalb der Stringtheorie der geläufigere zu sein. Aber irgendwie finde ich keine gute Begründung, warum ich die Eichinvarianz postulieren sollte.

Gibt es da irgendwelche Ansätze?

Gruß
MI

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Der beste Grund ist, dass es eben funktioniert.

Zunächst zur Masse: massebehaftete Photonen widersprechen der Natur; die Grenze für die Photonenmasse ist extrem klein; das (langreichweitige) elektrische Potential hat eben innerhalb der heute verfügbaren Messgenauigkeit einen exakten 1/r Verlauf; massebehaftet Photonen hätten außerdem drei statt zwei Polarisationsfreiheitsgrade.

Zur Renormierbarkeit: lange galt störungstheoretische Renormierbarkeit als Konstruktionsprinzip für physikalische Theorien (zumindest wenn es um fundamentale Freiheitsgrade ging); man sieht das heute etwas anders, es kann durchaus nicht-störungstheoretische Renormierbarkeit vorliegen, d.h. die Entwicklung um "Kopplungskonstante=0" wäre dann einfach der falsche Startpunkt; man spricht von einem sogenannten nicht-gaußschen Fixpunkt der Renormierungsgruppengleichung; insbs. Weinberg hat vermutet, dass die Gravitation in diesem Sinne doch renormierbar ist - und es gibt inzwischen gute Hinweise, dass dies richtig sein könnte

Insbs. nicht-abelsche Eichtheorien sind aber störungstheoretisch nicht renormierbar, wenn man Massenterme für die Eichbosonen einführt (außer über den Umweg des Higgsmechanismus). Auch weitere Kopplungsterme die zwar eichinvariant sind, aber z.B. von höherer Ordnung in den Feldern, zerstören die (störunstheoretische Renormierbarkeit).

Insofern würde ich sagen, dass (außerhalb der Stringtheorie) keine weitere Begründung für gerade diese mathematische Struktur (lokale Eichtheorien, Faserbündel) vorliegt, außer dass sie eben zu korrekten Ergebissen führt.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Vielen Dank!

So etwas hatte ich gedacht, wobei ich es dann sinnvoller finde zu sagen, dass wir eben eine Eichinvarianz haben, weil das Photon (experimentell) masselos ist (Dass die experimentelle obere Schranke für die Photonenmasse extrem klein ist, ist mir bekannt). Daraus ergibt sich dann die Eichinvarianz und dann kann man so arbeiten, wie man möchte. Das erscheint mir dann doch etwas ehrlicher als z.B. Aussagen wie "Das Photon ist masselos wegen der Eichinvarianz der QED".

Danke auch für den Teil zur Renormierbarkeit. Das werde ich mir noch mal zu Gemüte führen, wenn ich mehr gesehen und verstanden habe Augenzwinkern

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Gruß
MI