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Feeder
Anmeldungsdatum: 05.04.2015 Beiträge: 142
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Feeder Verfasst am: 30. März 2019 10:29 Titel: Mathematische Begründung der Kreisbewegung |
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Hey,
ich wundere mich über Kreisbewegungen. Offensichtlich scheint ja eine Kraft, die auf einen Körper senkrecht zu seinem Geschwindigkeitsvektor wirkt, den Körper für einen kurzen Moment in eine Kreisbahn zu zwingen.
Also sollte ja folgendes gelten:
Das ist mathematisch übrigens hier bewiesen:
https://math.stackexchange.com/questions/2690416/mathematical-proof-of-uniform-circular-motion
Ich weiß das ist jetzt schwierig ausgedrückt. Aber das erklärt ja noch nicht die Kreisbahn, wenn man das Problem so erweitert das zu jedem Zeitpunkt die Kraft senkrecht zu Geschwindigkeit steht. Also wie beweis ich folgendes:
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3384
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ML Verfasst am: 30. März 2019 11:32 Titel: Re: Mathematische Begründung der Kreisbewegung |
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Hallo,
Feeder hat Folgendes geschrieben: |
Ich weiß das ist jetzt schwierig ausgedrückt. Aber das erklärt ja noch nicht die Kreisbahn, wenn man das Problem so erweitert das zu jedem Zeitpunkt die Kraft senkrecht zu Geschwindigkeit steht.
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Zur Kreisbahn wird die Bewegung nur dann, wenn die Kraft senkrecht auf der Bewegung steht und zu jedem Zeitpunkt den gleichen Betrag hat.
Dann entspricht die Kraft gerade der Zentripetalkraft. Diese Kraft kannst Du ziemlich leicht rechnerisch nachvollziehen. (Wir gehen also quasi "rückwärts" vor):
Für die Kreisbewegung mit dem Radius R in der z-Ebene gilt:
Nach der ersten Ableitung erhältst Du
und die für die Beschleunigung
Nach der erneuten Ableitung erhältst Du
Diese Beschleunigung hat den Betrag und ist immer zum Kreismittelpunkt gerichtet.
Viele Grüße
Michael |
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TomS Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17897
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TomS Verfasst am: 30. März 2019 11:55 Titel: |
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Umgekehrt:
Schreiben wir
Dabei sind f, u die Beträge von F, v; n, e sind zwei orthogonale Einheitsvektoren
Die Bewegungsgleichung
lautet dann
Der Normalenvektor n ist dabei ein beliebiger Einheitsvektor in der Ebene senkrecht zu e. Insbs. könnten f und n zeitabhängig sein.
Nun kann man sich überlegen, welche Einschränkungen man vornehmen muss, um zur Kreisbahn zu gelangen. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Feeder
Anmeldungsdatum: 05.04.2015 Beiträge: 142
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Feeder Verfasst am: 30. März 2019 12:14 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | Umgekehrt:
Schreiben wir
Dabei sind f, u die Beträge von F, v; n, e sind zwei orthogonale Einheitsvektoren
Die Bewegungsgleichung
lautet dann
Der Normalenvektor n ist dabei ein beliebiger Einheitsvektor in der Ebene senkrecht zu e. Insbs. könnten f und n zeitabhängig sein.
Nun kann man sich überlegen, welche Einschränkungen man vornehmen muss, um zur Kreisbahn zu gelangen. |
Okay, und jetzt sagen wir, dass u und f konstant seien. Das sollte doch jetzt zu einer Kreisbahn führen ? |
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TomS Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17897
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TomS Verfasst am: 30. März 2019 12:33 Titel: |
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Also
Projizieren wir mal auf e und n:
Eine notwendige Bedingung ist offenbar, dass das rechts stehende Skalarprodukt konstant ist.
Nun ist
Daher ist
Das liefert eine Bedingung für die zunächst beliebige Richtung f bezogen auf die Richtung e. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Feeder
Anmeldungsdatum: 05.04.2015 Beiträge: 142
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Feeder Verfasst am: 30. März 2019 12:58 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | Also
Projizieren wir mal auf e und n:
Eine notwendige Bedingung ist offenbar, dass das rechts stehende Skalarprodukt konstant ist.
Nun ist
Daher ist
Das liefert eine Bedingung für die zunächst beliebige Richtung f bezogen auf die Richtung e. |
Das kann nicht sein.
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Eine notwendige Bedingung muss scheinbar ja auch noch sein, dass
... |
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TomS Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17897
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TomS Verfasst am: 30. März 2019 13:12 Titel: |
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Feeder hat Folgendes geschrieben: | Das kann nicht sein.
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Doch, kann sein. Dein Ergebnis steht zunächst da, und das habe ich noch umgeformt _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Feeder
Anmeldungsdatum: 05.04.2015 Beiträge: 142
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Feeder Verfasst am: 30. März 2019 13:26 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | Feeder hat Folgendes geschrieben: | Das kann nicht sein.
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Doch, kann sein. Dein Ergebnis steht zunächst da, und das habe ich noch umgeformt |
Vllt. liegt das ja gerade an mir, aber irgendwie würde ich eher durch n dividieren, statt zu multiplizieren.... Aber da das ja ein Vektor ist, ist mir allgemeint nicht klar was du gerade gemacht hast... Wie hast du das n auf die andere Seite gebracht? |
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TomS Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17897
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TomS Verfasst am: 30. März 2019 14:21 Titel: |
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Zunächst mal gilt ganz allgemein
In unseren Fall sind a und b zwei orthogonale Einheitsvektoren, d.h.
Damit hast du
Generell wäre es ein wichtiger Spezialfall, wenn der Winkel zwischen e und n
konstant wäre. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583
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franz Verfasst am: 30. März 2019 22:10 Titel: |
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Die Beschreibung der Bewegung in natürlichen Koordinaten dürfte die Frage am genauesten beantworten: danke!
Als Abschweifung sei vielleicht der Hinweis gestattet auf die Bewegung in Zentralpotentialen U(r) mit , wo sich die Möglichkeiten ergeben: Fall ins Zentrum / infinite Bewegung mit r_min oder finite mit offenen oder geschlossenen Bahnen. Die Kreisbewegung wird dabei zu einem Spezialfall. |
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