Geschlossenes Kurvenintegral

gast83 · Anmeldungsdatum: 28.11.2011 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hi!

Ist ein geschlossenes Kurvenintegral mit zwei Endpunkten ra und rb jetzt vom weg abhängig oder nicht? Es ist doch egal welchen Weg man zu diesen Punkten nimmt, oder? Wie sieht das ganze mit ra=rb aus?

LG

Meine Ideen:
.-

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich weiß nun nicht genau, über welches Kurvenintegral du redest.

Zunächst noch eine Vorbemerkung: Wegunabhängigkeit und Verschwinden eines Integrals über geschlossene Kurven ist äquivalent.

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Betrachten wir das komplexe Linienintegral

für eine geschlossene Kurve C innerhalb eines einfach zusammenhängenden Gebietes B der komplexen Zahlenebene und

Es gilt

wenn f holomorph in ganz B.

Für nicht-holomorphe Funktionen bzw. nicht-einfach zusammenhängende Gebiete muss dies nicht gelten, wie man z.B. für die punktierte Kreisscheibe und die Funktion f(z) = 1/|z| einfach zeigt.

Siehe dazu auch den Integralsatz von Cauy sowie den Residuensatz.

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Betrachten wir das Linienintegral

für eine geschlossene Kurve C und

Es gilt

genau dann, wenn

d.h. wenn der Integrand f ein Gradientenfeld und damit rotationsfrei ist. (dabei lasse ich kompliziertere Situation mit nicht-einfach zusammenhängenden Gebieten weg). Das sieht man z.B. für das elektrische und das magnetische Feld sofort ein: im elektrischen Feld einer Punktladung kann man den Weg immer so legen, dass er an jeder Stelle des Weges die Feldlinien senkrecht schneidet, so dass ds f = 0; im Magnetfeld eines geraden, stromdurchflossenen Leiter kann man den Weg so legen, dass er kreisförmig entlang einer Feldlinien (mit konstanter Feldstärke entlang des Weges) verläuft, so dass ds f = const.

Siehe dazu auch den Integralsatz von von Stokes.