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Kurvenintegral und Rotation (Stokes, Physik)
 
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lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 23. Nov 2017 13:33    Titel: Kurvenintegral und Rotation (Stokes, Physik) Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe eine Frage irgendwie fast zur Vorgehensweise in folgendem Abschnitt (Buch: Mathematische Modellierung, Eck/Garcke/Knabner)

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=2113540#post2113540 (hier zu sehen)

Also zu Beginn geht man von einer punktförmigen Ladungsverteilung aus. Etwas vorher im Text hat man angenommen, dass

Eigenschaft iii: wobei für und

Es heißt dann, dass (5.67) aus iii folgt.
Stimmt dazu folgendes Vorgehen:

Sei eine Fläche und der zugehörige Rand. Es gilt für Daraus folgt (Stokes) für mit (da sonst eine Definitionslücke auf dem Rand wäre).
Daraus folgt

Am Ende des Texts heißt es dann, es folgt (5.70).




Meine Ideen:
Meine Fragen dazu:
1. Ist meine Rechnung richtig?
2. Folgt nicht direkt aus iii, dass rotE = 0 ? Wenn ja, wieso macht man das erst am Ende des Texts - hat es was mit der kontinuierlichen Verteilungs-Annahme zu tun?
3. Kann es sein, dass aus rotw = 0 nur rotE = 0 für x ungleich x_0 folgt?
4. (am wichtigsten) Macht es nicht einen Unterschied, ob x_0 in der Fläche liegt oder nicht? Also meine Rechnung oben gilt ja eigtl nur, wenn die Definitionslücke x_0 außerhalb der Fläche liegt?

Vielen Dank smile
Lissy !
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 23. Nov 2017 18:44    Titel: Re: Kurvenintegral und Rotation (Stokes, Physik) Antworten mit Zitat

lissy1234567 hat Folgendes geschrieben:

Meine Fragen dazu:
1. Ist meine Rechnung richtig?


Du benutzt entweder die Bezeichnung "n(x)" für zwei verschiedene Dinge oder du hast den Satz von Stokes nicht ganz richtig verstanden.

Zitat:

2. Folgt nicht direkt aus iii, dass rotE = 0 ? Wenn ja, wieso macht man das erst am Ende des Texts - hat es was mit der kontinuierlichen Verteilungs-Annahme zu tun?


Aus folgt, daß



für jede geschlossene Kurve. Umgekehrt folgt aus



für jede geschlossene Kurve auch, daß . Das sind einfach zwei verschiedene Aussagen.

Zitat:

3. Kann es sein, dass aus rotw = 0 nur rotE = 0 für x ungleich x_0 folgt?


w und E sind doch sowieso fast dasselbe. Welches davon du betrachtest, macht hier absolut keinen Unterschied.

Zitat:

4. (am wichtigsten) Macht es nicht einen Unterschied, ob x_0 in der Fläche liegt oder nicht? Also meine Rechnung oben gilt ja eigtl nur, wenn die Definitionslücke x_0 außerhalb der Fläche liegt?


Ja, da wo E nicht definiert ist, besitzt es auch keine Rotation.
lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 24. Nov 2017 10:10    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist bei der Rechnung ein Fehler unterlaufen. Beim Kurvenintegral soll natürlich kein n(x) vorkommen, dann stimmt es ja oder?

Was du schreibst, versteh ich alles. Mein Problem ist das mit der Definitionslücke. Man kann Stokes doch gar nicht anwenden.

Wenn man sagt rotw = 0 => rotE = 0 für x ungleich x_0 aber es folgt dann doch nicht , weil x_0 ja Definitionslücke ist und von dem Rand eingeschlossen wird oder...
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Nov 2017 10:51    Titel: Antworten mit Zitat

Der Satz von Stokes bezieht sich auf Flächen und deren Ränder innerhalb des Definitionsbereichs von E. Solange alle deine Integrationsgebiete innerhalb dieses Definitionsbereichs liegen, kannst du ihn also problemlos anwenden.

Zuletzt bearbeitet von index_razor am 25. Nov 2017 09:42, insgesamt einmal bearbeitet
lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 24. Nov 2017 11:02    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Unsicherheit weht daher, dass bei dem Gesetz von Gauß das ebenso ist.
Also betrachtet man ein Gebiet, in dem eine Singularität bzw. Definitionslücke enthalten ist, so kann man nicht ganz einfach den Satz von Gauß anwenden, sondern muss das so "aufteilen", dass die Lücke durch einen Ball, den man drum legt, rausgeschnitten wird (anschaulich erklärt).
Ich dachte, die Situation ist dann bei Stokes genauso. Kannst du mir evtl nochmal genau erklären, wieso eine solche Lücke bei Gauß beachtet werden muss und bei Stokes nicht?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Nov 2017 11:39    Titel: Antworten mit Zitat

lissy1234567 hat Folgendes geschrieben:

Ich dachte, die Situation ist dann bei Stokes genauso. Kannst du mir evtl nochmal genau erklären, wieso eine solche Lücke bei Gauß beachtet werden muss und bei Stokes nicht?


Das Prinzip ist in beiden Fällen dasselbe. Ich fürchte, ìch verstehe nicht ganz, wo du nun das Problem bei der Anwendung des Satzes von Stokes siehst. Du darfst eben nicht über die Singularität integrieren. Na und? Der Satz von Stokes gilt trotzdem, wenn du dich strikt auf den Definitionsbereich von E beschränkst.
lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 24. Nov 2017 12:18    Titel: Antworten mit Zitat

Naja, also es gilt für w auch divw = 0.

Etwas weiter davor im Buch, auf das ich mich eben beziehe, wird dann bei der Berechnung von gesagt, dass man hier nicht Gauß direkt anwenden kann, sondern kurz gesagt, die Singularität aus dem Gebiet rausnehmen muss.

Bei dem Fall, auf den ich mich im ursprünglichen Post beziehe, dachte ich wäre es genauso.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Nov 2017 12:25    Titel: Antworten mit Zitat

lissy1234567 hat Folgendes geschrieben:
Naja, also es gilt für w auch divw = 0.

Etwas weiter davor im Buch, auf das ich mich eben beziehe, wird dann bei der Berechnung von gesagt, dass man hier nicht Gauß direkt anwenden kann, sondern kurz gesagt, die Singularität aus dem Gebiet rausnehmen muss.


Ja, genau dasselbe sage ich doch auch. Beim Satz von Stokes ist es genauso. Und wieso denkst du nun, man könne ihn nicht anwenden? Du wendest ihn ja nur auf solche Flächen und Kurven an, die im Definitionsbereich von E, also außerhalb der Singularität liegen.
lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 24. Nov 2017 12:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ja ich verstehe Big Laugh
Aber wieso muss man dann (bei meinem letzten Post) so eine Aufteilung machen, denn w ist ja auch nur für x ungleich _0 definiert...
Denn bei der Berechnung kann man Gauß nicht direkt anwenden, sondern muss die Fläche aufteilen in "Omega ohne den Ball um die Singularität"" und "Oberfläche des Balls" und die Integrale darüber addieren, um dann das Oberflächenintegral rauszubekommen
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Nov 2017 13:38    Titel: Antworten mit Zitat

Tut mir leid, ich verstehe dich nicht. Was für eine Aufteilung mußt du machen? Bei den Sätzen von Gauß und Stokes dürfen jeweils keine der Volumina, Flächen oder Kurven eine Singularität enthalten. Das ist alles.
lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 25. Nov 2017 09:40    Titel: Antworten mit Zitat

genau und deshalb kann man stokes da nicht anwenden.mir hat es jemand von der uni bestätigt, daher hat es sich erledigt smile vielen dank!
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Nov 2017 09:56    Titel: Antworten mit Zitat

Selbstverständlich kannst du den Satz von Stokes anwenden um für



zu zeigen, daß



für jede geschlossene Kurve, die nicht durch die Singularität läuft. Du mußt nur voraussetzen, daß jede derartige Kurve Rand einer Fläche ist, die nicht enthält, was meines Wissens im ja der Fall ist.
lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 25. Nov 2017 10:02    Titel: Antworten mit Zitat

Ja das stimmt, allerdings muss x_0 hier im Gebiet enthalten sein...sonst würd es keinen Sinn ergeben, aber den Hintergrund kannst du ja nicht wissen, hab ich ja nicht gesagt:)

Daher muss ich ausnutzen, dass man w als Skalarpotential schreiben kann, alaso w = grad(phi). Dann muss ich das Integral ausrechnen:
, wobei die Kurve geschlossen ist.
Stimmt diese Rechnung?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Nov 2017 10:13    Titel: Antworten mit Zitat

lissy1234567 hat Folgendes geschrieben:
Ja das stimmt, allerdings muss x_0 hier im Gebiet enthalten sein...sonst würd es keinen Sinn ergeben, aber den Hintergrund kannst du ja nicht wissen, hab ich ja nicht gesagt:)


Also welche Aussage willst du denn nun genau beweisen? Wenn du einfach wissen willst, ob



für jede Schleife gilt, findest du immer einer eine geeignete Fläche mit Rand , auf der du den Satz von Stokes anwenden kannst. Daß es auch Flächen gibt, mit denen das nicht funktioniert, weil sie enthalten, ist unerheblich.

Zitat:

Daher muss ich ausnutzen, dass man w als Skalarpotential schreiben kann, alaso w = grad(phi). Dann muss ich das Integral ausrechnen:
, wobei die Kurve geschlossen ist.
Stimmt diese Rechnung?


Ja, das stimmt. (Du solltest allerdings noch erwähnen, daß du voraussetzt.)

P.S. Und du solltest nicht für ein Kurvenintegral schreiben. Ist zwar nicht verboten, aber ein bißchen verwirrend.
lissy1234567



Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 16

Beitrag lissy1234567 Verfasst am: 25. Nov 2017 10:18    Titel: Antworten mit Zitat

damit hat sich meine frage beantwortet, danke! ja stimmt, da sollte ds statt dA stehen. hab mich vertippt.
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