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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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 Amateurphysiker Verfasst am: 22. Jan 2016 15:45 Titel: Kurvenintegral |
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Hi,
ich versuch mich gerade an einer Aufgabe zum Kurvenintegral und komm hier irgednwie nicht weiter. Über einen Tip wäre ich sehr dankbar!
bei der a) komme ich auf einen Ausdruck mit t aber ich weiss nicht was ich für die Integrationsgrenzen einsetzen muss, da hier nur zwei Punkte angegeben sind.
bei der c) habe ich im Ergebnis noch ein xy stehen in der z-komponenten, kann das so richtig sein oder muss ich dafür auch noch was einsetzen?
Die Aufgabe und mein Ansatz sind im Anhang.
Vielen Dank im Voraus,
Fabian
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 23. Jan 2016 08:02 Titel: |
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Hat vielleicht irgendjemand einen Tip für mich? Wäre sehr dankbar!
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Jan 2016 09:26 Titel: |
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Zu Aufgabe a): Schau dir mal die Kurve genau an. Für welche Parameterwerte t geht die Kurve =t\vec{e}_x + t^2\vec{e}_y + t^3\vec{e}_z) denn jeweils durch die Punkte  und  ?
Außerdem ist dir hier beim Einsetzen der Kurve in das Vektorfeld wohl ein Fehler unterlaufen.
Zu Aufgabe c): Im Prinzip genauso wie Aufgabe a) nur mußt du erstmal die Parameterform für die Gerade durch  und  finden. Deren Komponenten mußt du dann in die Komponenten des Vektorfeldes einsetzen.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 23. Jan 2016 10:22 Titel: |
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Muss man da nicht die Formel für die Bogenlänge anwenden?
etwas mit 
Oder habe ich das in Deiner Berechnung übersehen? Könnte man nicht immer erst hinschreiben, was genau man da berechnet und wie, damit der Leser nicht herumraten muss?
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Jan 2016 10:40 Titel: |
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| isi1 hat Folgendes geschrieben: | Muss man da nicht die Formel für die Bogenlänge anwenden?
etwas mit
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Nein, das muß man nicht. Kann man zwar, aber einfacher wird es dadurch nicht.
| Zitat: |
Oder habe ich das in Deiner Berechnung übersehen? Könnte man nicht immer erst hinschreiben, was genau man da berechnet und wie, damit der Leser nicht herumraten muss? |
Wie das Linienintegral berechnet werden soll, steht in der Aufgabenstellung:
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 23. Jan 2016 10:52 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wie das Linienintegral berechnet werden soll, steht in der Aufgabenstellung:
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Da ist in der Aufgabenstellung noch ein kleines C am Fuße des Integralzeichens und man hat ein Vektorprodukt. Was meint er damit?
Und sollte diese Integral nicht eine Fäche ergeben (alleine von den Einheiten)? Es ist aber von der Kurvenlänge die Rede.
Jedenfalls sollte das gleiche Ergebnis harauskommen, oder?
Und wenn man Δx+Δy+Δz addiert wird meistens was größeres als ds herauskommen - einverstanden?
Aber gut, ich schau mal im Valentiner nach ...
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Jan 2016 11:03 Titel: |
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| isi1 hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wie das Linienintegral berechnet werden soll, steht in der Aufgabenstellung:
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Da ist in der Aufgabenstellung noch ein kleines C am Fuße des Integralzeichens und man hat ein Vektorprodukt. Was meint er damit?
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C ist die Kurve, entlang deren integriert werden soll (die habe ich mal einfach weggelassen). Ein Vektorprodukt kommt nicht vor, sondern nur ein Skalarprodukt. (Oder meinst du das?)
Alles in allem ist das die Standarddefinition eines Linienintegrals über ein Vektorfeld. Da gibt es wenig herumzuraten oder zu interpretieren. Was genau ist dir unkar?
| Zitat: |
Jedenfalls sollte das gleiche Ergebnis harauskommen, oder?
Und wenn man Δx+Δy+Δz addiert wird meistens was größeres als ds herauskommen - einverstanden?
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Ich verstehe nicht, was du damit meinst. Man addiert nirgendwo  . Man berechnet das Skalarprodukt  . Das kann man natürlich auch durch  ausdrücken, nämlich
 , aber das macht die Sache eher komplizierter.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 23. Jan 2016 11:08 Titel: |
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Ach so, indexrazor, dann habe ich nur noch Probleme mit der Einheit des Ergebnisses: Es sollten cm sein, werden aber mit dem Skalarprodukt cm², also eine Fläche, keine Linienlänge.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Jan 2016 11:14 Titel: |
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| isi1 hat Folgendes geschrieben: | | Ach so, indexrazor, dann habe ich nur noch Probleme mit der Einheit des Ergebnisses: Es sollten cm sein, werden aber mit dem Skalarprodukt cm², also eine Fläche, keine Linienlänge. |
Nein, die Einheit eines Wegintegrals über das Vektorfeld A ist die Einheit von A mal m (oder cm). Bsp. "Arbeit = Wegintegral über die Kraft" ergibt die Einheit Nm. Das ist bei allen Wegintegralen gleich.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 23. Jan 2016 11:38 Titel: |
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Aha, Du willst keine Kurvenlänge sondern Du sprichst vom Kurvenintergal 2. Gattung (Gattung allgemeiner Art), z.B. dem Umlaufintegral eines Vektorfeldes.
Dann ist alles klar.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Jan 2016 13:11 Titel: |
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| isi1 hat Folgendes geschrieben: | Aha, Du willst keine Kurvenlänge sondern Du sprichst vom Kurvenintergal 2. Gattung (Gattung allgemeiner Art), z.B. dem Umlaufintegral eines Vektorfeldes.
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So ist es, bzw. spricht die Aufgabe davon.
Allgemeiner ist es m.E. allerdings nicht, man kann ja die zweite Art in die erste überführen. Also ist jedes Integral 2. Art auch eins 1. Art  , mit
) = |\vec{A}(r(s))|\cos\theta(r(s)).)
Prinzipiell kommt man zu allgemeineren Integrationsbegriffen, je weniger Struktur man voraussetzt.
Die natürlichsten Integranden sind Dichten. Sie entsprechen wohl am ehesten dem, was man als Integrale 1. Art bezeichnet und benötigen eigentlich nur einen Volumenbegriff oder Flächeninhalt (allgemein "Maß").
Verwendet man Differentialformen als Integranden (Integral 1.5er Art?) benötigt an zumindest noch eine Orientierung zusätzlich.
Integrale über Vektorfelder (2. Art) erfordern dann noch eine Metrik bzw. Skalarprodukt.
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Jan 2016 13:46 Titel: |
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| Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: |
Bzgl. der b) hab ich das Wegintegral in drei Integrale zerlegt und dann die Summe gebildet. Allerdings bekomm ich dann was anderes raus, als bei der c) obwohl Anfangs- und Endpunkte die gleichen sind. Kann das sein? |
Dazu müßtest du die Rotation von A berechnen. Wenn ich mich nicht irre, kann es bei diesem Feld schon der Fall sein. Allerdings scheint in deiner Rechnung zu Aufgabe c) noch ein Fehler zu sein. Im letzten Term fehlt, denke ich, der Beitrag von  . Bei den restlichen Aufgaben stimmen die Ansätze. Nach Rechenfehlern hab ich jetzt nicht weiter kontrolliert.
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 23. Jan 2016 14:25 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: |
Bzgl. der b) hab ich das Wegintegral in drei Integrale zerlegt und dann die Summe gebildet. Allerdings bekomm ich dann was anderes raus, als bei der c) obwohl Anfangs- und Endpunkte die gleichen sind. Kann das sein? |
Dazu müßtest du die Rotation von A berechnen. Wenn ich mich nicht irre, kann es bei diesem Feld schon der Fall sein. Allerdings scheint in deiner Rechnung zu Aufgabe c) noch ein Fehler zu sein. Im letzten Term fehlt, denke ich, der Beitrag von . Bei den restlichen Aufgaben stimmen die Ansätze. Nach Rechenfehlern hab ich jetzt nicht weiter kontrolliert. |
Danke für das Feedback! Ich hab mir die c) nochmal angeschaut, ich weiss nicht wo du meinst, dass etwas fehlt? r(t)=(t,t,t) und dr(t)=(1,1,1)dt..
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Duncan
Gast
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| Duncan Verfasst am: 23. Jan 2016 17:06 Titel: |
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| Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings bekomm ich dann was anderes raus, als bei der c) obwohl Anfangs- und Endpunkte die gleichen sind. Kann das sein? |
Normalerweise fängt man eine solche Aufgabe mit der Untersuchung des Feldes an: konservativ oder nicht?
Unser Feld ist:
e_x+(2y+3x)e_y+(1-4xyz^2)e_z=M.e_x+N.e_y+P.e_z)
Bedingung für konservativ: rot(A) =0
oder folgende 3 Bedingungen:
Wir fangen mit der ersten Bedingung an:
Also nicht gleich. Wir brauchen nicht mehr weiter zu rechnen.
Das Feld ist nicht konservativ.
Das Linienintegral ist also wegabhängig, d.h. bei verschiedenen Wegen kann das Ergebnis verschieden sein.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Jan 2016 17:18 Titel: |
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| Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: |
Danke für das Feedback! Ich hab mir die c) nochmal angeschaut, ich weiss nicht wo du meinst, dass etwas fehlt? r(t)=(t,t,t) und dr(t)=(1,1,1)dt.. |
 \dd t = \left.(t-\frac{4}{5}t^5)\right|_0^1= ...)
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 23. Jan 2016 18:05 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: |
Danke für das Feedback! Ich hab mir die c) nochmal angeschaut, ich weiss nicht wo du meinst, dass etwas fehlt? r(t)=(t,t,t) und dr(t)=(1,1,1)dt.. |
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Ach ja klar! Hab die 1 nicht richtig integriert... Danke!!
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 23. Jan 2016 18:06 Titel: |
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| Duncan hat Folgendes geschrieben: | | Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings bekomm ich dann was anderes raus, als bei der c) obwohl Anfangs- und Endpunkte die gleichen sind. Kann das sein? |
Normalerweise fängt man eine solche Aufgabe mit der Untersuchung des Feldes an: konservativ oder nicht?
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Ah ok danke für den Tip! Ich glaub das wird hier nicht verlangt, aber ist für die Zukunft auf jeden Fall super zu wissen!
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