geschlossenes Kurvenintegral

ohlala · Anmeldungsdatum: 06.11.2009 Beiträge: 14

Gegeben ist das Vektorfeld

.

Berechne das Kurvenintegral über den abgeschlossenen Weg von P1 über P2 und P3 zurück nach P1.
P1=[0,0,0], P2=[6,0,0],P3=[6,6,0]

Ich hab keine ahnung wie man das berechnet und hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.

Wobei ich zu der Aufgabe bis jetzt folgende idee hatte:

Strecke von P1 nach P2:=

Strecke von P2 nach P3:=

Strecke von P3 nach P1:=

Dann ist meine Kurve

.
Dann wäre das Integral:

.
ich weiss aber nicht was meine Gammas sind.

Vielen dank schonmal für die Hilfe und lg.

ohlala

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du hast schon richtig erkannt, dass du die Kurve in drei Teile aufteilen musst und dann jedes Integral einzeln betrachten musst. Alternativ könntest du auch über den Satz von Stokes den Fluss der Rotation von A, durch das von den drei Punkten aufgespannte Dreieck berechnen.

Betrachten wir mal ein Kurvenintegral von zwei deiner Punkte. Die Kurve ist eine Gerade im R³, die du mit einem einzigen Parameter darstellen kannst. Somit kannst du x,y,z bzw. dann auch dx, dy, dz durch diesen Parameter z.B. t und dt darstellen. Und somit kannst du das Integral in eine eindimensionales Integral umschreiben. Anschließend musst du von 0 bis zu dem t integrieren, dass in der Geradengleichung deinen zweiten Punkt darstellt, vorausgesetzt t=0 lieft dir deinen Startpunkt.

ohlala · Anmeldungsdatum: 06.11.2009 Beiträge: 14

hi!
Ich versteh es immer noch nicht wie dasgehen soll, könntest du es mir vielleicht mal an einem konkreten Beispiel erklären?

Wäre echt super!!!Vielen Dank!!!

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Dann mal als Beispiel das Kurvenintegral von P1 nach P2. Diese Kurve (Gerade) kann wie folgt dargestellt werden:

Damit folgt:

Somit kannst du dein Integral wie folgt umformen:

Wenn du jetzt x,y,z, dx,dy,dz durch t und dt ersetzt, dann kommst du hier, pädagogisch leider etwas ungeschickt, auf:

Ich hoffen aber, dass du das Prinzip verstanden hast.

ohlala · Anmeldungsdatum: 06.11.2009 Beiträge: 14

Vielen, vielen dank!
Ich glaub jetzt hab ichs verstanden!

Dann erhalte ich:

Dann erhalte ich insgesamt:

Stimmt das so?

lg ohlala

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Nein stimmt leider nicht. Es müsste heißen:

Damit ist x = 6, y = 6t und z = 0, dy = 6 dt und dx = dy = dz = 0.

Eingesetzt und Integriert, sollte das etwas anderes liefern.

Und beim letzten Kurve lautet die Geradengleichung, mal mit Parameter nicht von 0 bis 1.