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Statistischer Mittelwert und Bose-Verteilung
 
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pendulum



Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68

Beitrag pendulum Verfasst am: 06. Nov 2011 00:26    Titel: Statistischer Mittelwert und Bose-Verteilung Antworten mit Zitat

Hi!

Ich möchte einen Mittelwert berechnen und habe
das gleiche Problem (bis auf Normierungsfaktoren) auch in folgender Publikation gefunden (Seite 5, ab Gleichung 3.9)

http://www.actaphys.uj.edu.pl/vol38/pdf/v38p3661.pdf

Man betrachtet ein freies reelles skalares Feld mit Hamiltonian



wobei



und

.

Nun zu meinem Problem:
Der Mittelwert des Operators

soll gegeben sein durch:



Ich habe keine Ahnung wie man auf dieses Resultat kommen soll.

Wenn ich zunächst damit beginne die Zustandssumme zu berechnen, erhalte ich keinen wohl-definierten Ausdruck:



wobei ich



verwendet habe.

Ich denke das Problem besteht darin, dass ich Impulszustände als Eigenzustände des Hamiltonian verwende und diese sind nicht normierbar.

Kann mir vielleicht jemanden sagen, wie man diesen Mittelwert erhält?


(Wenn ich den einfachen Hamiltonian betrachte (wie in dem Link oben) und einen vollständigen Satz von Eigenzuständen |n>, ist der Mittelwert natürlich sehr einfach zu berechnen. Aber in meinem Fall weiß ich überhaupt nicht wie ich vorgehen soll)

Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Nov 2011 01:33    Titel: Re: Statistischer Mittelwert und Bose-Verteilung Antworten mit Zitat

pendulum hat Folgendes geschrieben:
Ich denke das Problem besteht darin, dass ich Impulszustände als Eigenzustände des Hamiltonian verwende und diese sind nicht normierbar.

...

(Wenn ich den einfachen Hamiltonian betrachte (wie in dem Link oben) und einen vollständigen Satz von Eigenzuständen |n>, ist der Mittelwert natürlich sehr einfach zu berechnen.

Was spricht dagegen, das Problem tatsächlich zu diskretisieren, also ein endliches Volumen V mit diskreten Impulsen zu betrachten und so die IR-Divergenz zu eliminieren?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
pendulum



Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68

Beitrag pendulum Verfasst am: 06. Nov 2011 14:50    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für den Tipp das ganze zu diskretisieren, aber
ich hab inzwischen einen Weg gefunden das ganze recht einfach zu lösen:

Ich verwende dabei die Identität (die sehr einfach zu zeigen ist)



und berechne

.

Noch durch dividieren, nach auflösen und fertig.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Nov 2011 14:58    Titel: Antworten mit Zitat

Netter Trick.

Trotzdem ist es doch fast schon Zufall, dass dabei für die an sich undefinierten Terme



und



das korrekte Ergebnis rauskommt, oder?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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