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Gast4534536
Gast
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 Gast4534536 Verfasst am: 10. Jul 2011 13:14 Titel: Herleitung der "Curl-Equations" aus den Maxwell-Gl |
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Heho,
ich bräuchte da eine kleine Hilfe für 'nen Physik-Vortrag (studiere Mathematik).
Undzwar geht es um die Herleitung von diesen Gleichungen (heißen soweit ich weiß Curl-Equations)
aus den Maxwell-Gleichungen
für eine "ebene monochromatische Welle, in der alle Größen proportional zu }) sind" (steht so in meinen Materialien).
Tue mich damit als (angehender  ) Mathematiker ein wenig schwer (hatte noch keine theoretische Physik VL).
Google liefert den Ansatz
}
<br />
H=H_{o}e^{i(\omega t-kz)})
in die Maxwell-Gleichungen einzusetzen und einfach auszurechnen. Mit dem Ausrechnen hab ich so meine Probleme, erstmal fällt mir auf dass die Vorzeichen im Exponenten bei den letzten Gleichungen umgedreht sind, weiter hab ich komplexe Funktionen noch nie behandelt, d.h. ich weiß nich wirklich wie ich da partiell differenzieren soll (ganz zu schweigen von der physikalischen Interpretation  ).
Noch eine Verständnisfrage: k und z sind 3-dim, kz dementsprechend das Skalarprodukt oder? z sind dabei die Raumkoordinaten, k der Wellenvektor? Wie sieht der in etwa aus?  sind auch 3-dimensional, is eindimensional oder?
Tjoa, viele Fragen, hoffe mal ihr könnt mir helfen (bestimmt! ) |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 10. Jul 2011 16:10 Titel: Re: Herleitung der "Curl-Equations" aus den Maxwel |
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| Gast4534536 hat Folgendes geschrieben: | [...]
Google liefert den Ansatz
in die Maxwell-Gleichungen einzusetzen und einfach auszurechnen. [...]h. ich weiß nich wirklich wie ich da partiell differenzieren soll (ganz zu schweigen von der physikalischen Interpretation ).
Noch eine Verständnisfrage: k und z sind 3-dim, kz dementsprechend das Skalarprodukt oder? z sind dabei die Raumkoordinaten, k der Wellenvektor? Wie sieht der in etwa aus? sind auch 3-dimensional, is eindimensional oder?
[...] |
Differentiation kannst du machen, wie gewohnt. Du musst nur beachten:
i*i=-1, i*i*i=-i, usw. (Physikalische Bedeutung hat nur der Realteil der Funktion)
k,z hast du richtig interpretiert/ verstanden.
Der Wellenvektor zeigt entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle und hat den Betrag (Wellenlänge)^-1.
Der Vektor E, steht senkrecht auf dem Vektor H und k. Du kannst dir also einen Einheitsvektor in die entsprechende Raumrichtung dranmultipliziert denken. Die Richtung von E bezeichnet man auch als Polarisationsrichtung des Lichtes. |
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Gast4534536
Gast
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| Gast4534536 Verfasst am: 10. Jul 2011 18:04 Titel: Re: Herleitung der "Curl-Equations" aus den Maxwel |
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He
Vielen Dank schonmal!
Mit der Differentiation "wie mans halt kennt" komme ich allerdings auf
Sieht auf der einen Seite zwar schon fast gut aus, aber wie bekomme ich links das k ran statt rot und damit das i weg? Hab keinen blassen Schimmer, wie man das machen könnte, bin mit dem Umgang von Kreuzprodukt und Rotation auch leider nich allzu vertraut, kenne zwar die Definitionen und ein paar Eigenschaften aber hab noch nie wirklich damit gerechnet... |
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Gast4534536
Gast
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| Gast4534536 Verfasst am: 10. Jul 2011 19:55 Titel: |
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Amn: Da ist jetzt evtl ein Vorzeichenfehler drin, weiß wie gesagt nicht, ob ich den Google-Ergebnissen oder meinen Materialien glauben soll bzgl. der e-Funktion. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 10. Jul 2011 20:33 Titel: Re: Herleitung der "Curl-Equations" aus den Maxwel |
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| Gast4534536 hat Folgendes geschrieben: | | [...]wie bekomme ich links das k ran statt rot und damit das i weg? [...] |
Du leitest dein Feld zunächst nach x ab und musst dann noch die Richtung berücksichtigen. |
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Gast4534536
Gast
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| Gast4534536 Verfasst am: 12. Jul 2011 11:56 Titel: Re: Herleitung der "Curl-Equations" aus den Maxwel |
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Danke für den Tipp, kome aber leider nicht wirklich weiter :S
Hab grad erstmal Probleme überhaupt einzusehen, dass H bzw. E Vektorfelder sind. Bei Wikipedia steht zunächst für eine Ebene Welle  , gleichzeitig aber, dass k*z bzw. k*x das Skalarprodukt darstellt. Scheint mir auch nur möglich, k als 3-dim Vektor anzusehen, da ja am Ende das Kreuzprodukt aus k und E bzw. H gebildet werden soll.
Tjoa, jetzt stellt sich mir die Frage, was denn überhaupt die Argumente von H bzw. E sind, damit ich erstmal die Rotation aufschreiben kann? Da H, E 3-dim sind, und gleichzeitig Vektorfelder muss doch H: R^3 -> R^3 gelten, d.h. das Argument von H, E kann nur 3-dim sein oder? Jetzt hab ich Probleme, das Argument von }) auszuwählen, wüdst du da nochmal nachhelfen?  |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 12. Jul 2011 14:19 Titel: Re: Herleitung der "Curl-Equations" aus den Maxwel |
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| Gast4534536 hat Folgendes geschrieben: | [...], gleichzeitig aber, dass k*z bzw. k*x das Skalarprodukt darstellt. Scheint mir auch nur möglich, k als 3-dim Vektor anzusehen, da ja am Ende das Kreuzprodukt aus k und E bzw. H gebildet werden soll.
[...] Da H, E 3-dim sind, und gleichzeitig Vektorfelder muss doch H: R^3 -> R^3 gelten, d.h. das Argument von H, E kann nur 3-dim sein oder? Jetzt hab ich Probleme, das Argument von auszuwählen, wüdst du da nochmal nachhelfen? |
also ersteinmal zum Wellenvektor k:
Der Wellenvektor hat den Betrag:
und die Richtung ist die Porpagationsrichtung der Welle.
Nun zu E, H-Feldern. Diese lassen sich durch ebene Wellen beschreiben, weil Ebene Wellen die Lösungen der Maxwellgleichungen darstellen. Die Frage ist dann blos die Richtung.
Man kann zeigen, dass E,H immer senkrecht zu k - also zur Ausbreitungsrichtung stehen - und natürlch gilt E*H=0 (H senkrecht E).
Wenn wir also eine Ausbreitungsrichtung mit Wellenvektor k festlegen, haben wir noch einen Freiheitsgrad, der uns die übrigen Richtungen bestimmt. Dieser ergibt sich aus der Polarisation des Lichtes. Man unterscheided zwischen elliptischer und linearer Polarisation. Im Vakkum ist das Licht in der Regel nicht polarisiert. D.h. es sind alle Polarisationsrichtungen vorhanden. Beschreibt man KEINE Materiewechselwirkungen (die evtl. polarisationsabhängig sein können), so kann man sich also exemplarisch eine beliebige Richtung "aussuchen", die die Bedingungen k senkrecht E senkrecht H senkrecht k erfüllt. |
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Gast4534536
Gast
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| Gast4534536 Verfasst am: 12. Jul 2011 23:48 Titel: |
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Hmh
Das klingt alles nachvollziehbar, trotzdem bin ich jetzt wieder ein wenig verwirrt
Also auf Wikipedia finde ich
| Zitat: | Eine Ebene_Welle, die sich in  -Richtung ausbreitet, lässt sich in der Form
 = A e^{i(\vec k\vec r - \omega t)})
schreiben.
Mit den Komponenten in x-, y- und z-Richtung
)
zeigt der Wellenvektor im 3-dimensionalen k-Raum, auch reziproker Raum genannt, in eine bestimmte Richtung. |
andererseits auch
| Zitat: | | Eine ebene Welle wird am einfachsten beschrieben, wenn das Koordinatensystem so gewählt wird, dass eine Achse der Ausbreitungsrichtung entspricht. In den Richtungen quer dazu gibt es keine Variation, sie können weggelassen werden. |
Jetzt bin ich mir erstmal unsicher, was die Freiheitsgrade der Ausbreitungsrichtung angeht. 3 sind zuviel (hab dann ja zumindest noch  ) und einer würde passen, dann is allerdings k skalar und damit sind und k zusammen ein Freiheitsgrad.
Naja, hinzu kommt, dass ich nicht weiß, wo ich die Polarisation in der
Gleichung für H bzw. E einfließt :S
Könntest du mir vllt die drei Größen konkret sagen, nach denen ich ableiten muss wenn ich die Rotation bilde? Ich würde jetzt x, t und ) sagen, aber da kann ich von Polarisation nichts entdecken... Ausprobiert hab ichs jetzt auch noch nicht, werd ich morgen wohl mal machen. Es seidenn du belehrst mich eines Besseren |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 13. Jul 2011 10:01 Titel: |
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[quote="Gast4534536"[...]hinzu kommt, dass ich nicht weiß, wo ich die Polarisation in der
Gleichung für H bzw. E einfließt :S [1]
Könntest du mir vllt die drei Größen konkret sagen, nach denen ich ableiten muss wenn ich die Rotation bilde? Ich würde jetzt x, t und sagen, [...][/quote]
rot bedeutet IMMER Ortsableitungen. Deine Gleichungen enthalten darüber hinaus noch Zeitableitungen. Du schreibst ja selbst, dass  , c=Konstant, K ändert sich im isotropen Medium auch nicht also auch kein Grund danach abzuleiten. Es sind nur die expliziten Abhängigkeiten im Ort und in der Zeit zu betrachten.
1) Du kannst zum Bleistift nehmen: k=|k|*ex, E=|E|*ey, H=|H|*(ex x ey). Mit ei= Einheitsvektor in i-Richtung deines Koordinatensystems. |
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Gast4534536
Gast
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| Gast4534536 Verfasst am: 13. Jul 2011 20:28 Titel: |
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sooo...
Ich hab jetzt E=(E1,E2,E3)*e^(...), H analog, k=(k1,k2,k3) genommen und die Rotation "ausgerechnet" indem ich nach x1,x2,x3 jeweils partiell abgeleitet hab (dabei bleibt dann immer i*x_j aus dem exponierten Skalarprodukt übrig (i imaginäre Einheit, j Index). kxE dann einfach nur hingeschrieben mit den Komponenten und damit kommt dann raus, dass rot E = kxE gilt. Hab also bei der Bildung der Rotation nirgendwo nach t abgeleitet.
Stimmt das so? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 13. Jul 2011 21:01 Titel: |
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Hört sich schonmal gut an. |
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