| Autor |
Nachricht |
_-Alex-_
Anmeldungsdatum: 06.03.2007
Beiträge: 262
|
 _-Alex-_ Verfasst am: 25. Mai 2011 16:00 Titel: Frage zu zwei Rechnungen |
 |
|
Hallo,
ich bin hier gerade am überlegen über Differentialgleichungen. Und da habe ich jetzt eine kleine Beispielrechnung, die ich mir so überlegt habe und eine Rechnung die aus einer Aufgabe stammt.
Also zunächst habe ich hier eine Frage zu der Geschwindigkeitsgleichung:
Im Grunde habe ich ja jetzt meine normale Gleichung für die Geschwindigkeit. Aber ich habe ein Problem mit x0/t0. Normal hätte ich gesagt ist das meine Geschwindigkeit, aber wenn ich t0=0 setze hab ich doch ein Problem oder?
Meine zweite Frage bezieht sich auf folgenden Ansatz:
Ich habe jetzt hier wieder versucht Variablen zu trennen:
Aber irgendwie glaub ich nicht, dass ich das so machen kann, weil das was rauskommt unsinnig aussieht.
MfG |
|
 |
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 25. Mai 2011 16:21 Titel: Re: Frage zu zwei Rechnungen |
|
|
 
 |
|
|
Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
|
| Rmn Verfasst am: 25. Mai 2011 16:34 Titel: |
|
|
|
Mit welcher Berechtigung ordenst du deinen Integrationskonstanten eine physikaliche Bedeutung in Form von x0 oder t0 zu? Das macht überhaupt keinen Sinn. |
|
|
_-Alex-_
Anmeldungsdatum: 06.03.2007
Beiträge: 262
|
| _-Alex-_ Verfasst am: 25. Mai 2011 16:34 Titel: |
|
|
|
Habe integriert kam ln raus. Also ln(x1/x0) und dann die e-Funktion genommen. Geht das nicht? |
|
|
Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
|
| Rmn Verfasst am: 25. Mai 2011 16:41 Titel: |
|
|
Was C ist bekommst du nur am Ende deiner Rechnung durch Einsetzen der Anfangbedingung raus. C ist ganz sicher nicht x0, da C sogar frei wählbar ist. |
|
|
_-Alex-_
Anmeldungsdatum: 06.03.2007
Beiträge: 262
|
| _-Alex-_ Verfasst am: 25. Mai 2011 16:43 Titel: |
|
|
Ich hatte
 angenommen |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 25. Mai 2011 16:45 Titel: |
|
|
|
Und weiter? Komplette Gleichung! |
|
|
Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
|
| Chillosaurus Verfasst am: 25. Mai 2011 16:54 Titel: |
|
|
| Rmn hat Folgendes geschrieben: | | Mit welcher Berechtigung ordenst du deinen Integrationskonstanten eine physikaliche Bedeutung in Form von x0 oder t0 zu? Das macht überhaupt keinen Sinn. |
Es sind Integrationsgrenzen und nicht Konstanten. Konstanten fallen dabei raus.
Das Ergebnis ist auch durchaus sinnig so, denn x0/t0 lässt sich interpretieren als eine Strecke x0, die in der Zeit t0-0 zurückgelegt wurde. somit ist x0/t0 die konstante Geschwindigkeit, was aus der Gleichung direkt ersichtlich ist.
Zu der Frage t0-->0 Dies ist hier nicht möglich, wegen ln(0)-->-infinity.
Was die zweite DGL angeht, schaut der Ansatz nicht unsinnvoll ist. Die Frage ist nur wieder, über welchen Bereich du aufintegrierst. Hier kannst du natürlich nicht von v=0 hochintegrieren, falls n eine positive Zahl ist. Für n<0 brauchst du quasi nichts beachten. |
|
|
Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
|
| Chillosaurus Verfasst am: 25. Mai 2011 17:00 Titel: |
|
|
| Rmn hat Folgendes geschrieben: |
[...]da C sogar frei wählbar ist. |
Das ist nicht richtig so: du musst auf beiden Seiten der Gleichung über den Korrespondierenden Raum / Zeitbereich integrieren. Die Konstanten lassen sich also nicht frei wählen. In diesem FAll ist C z.B. -ln(x0). Dies ist bereits die Anfangsbedingung, dass zum Zeitpunkt t0 der Ort x0 eingenommen wird. |
|
|
Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
|
| Rmn Verfasst am: 25. Mai 2011 17:44 Titel: |
|
|
| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: | | Rmn hat Folgendes geschrieben: |
[...]da C sogar frei wählbar ist. |
Das ist nicht richtig so: du musst auf beiden Seiten der Gleichung über den Korrespondierenden Raum / Zeitbereich integrieren. Die Konstanten lassen sich also nicht frei wählen. In diesem FAll ist C z.B. -ln(x0). Dies ist bereits die Anfangsbedingung, dass zum Zeitpunkt t0 der Ort x0 eingenommen wird. |
Nein. Wie du leicht sehen kannst, sogar ohne diese DGL zu lösen, ist
=\dot x(0)\cdot 0 = 0)
und ln(x0)=ln(0)=? ist gar nicht definiert.
Jedes Integral liefert eine Integrationskonstante.
 + C_1 = ln(t) + C_2)
Eine DGL 1. Ordnung hat aber nur eine frei Konstante. D.h. weder C1 noch C2 kann und darf keine physikalische Intepretation zugeordnet werden. Nur die Differenz (C2-C1) ist von Bedeutung. Für dieselbe Differenz kann eine der Konstanten belibig wählen (2-1) = (3-2) = (111-110).
Für diese DGL ist
mit unendlich vilelen verschiedenen C1 und C2, die dieselbe Differenz haben. Eine freie wahl von z.B. x0 ist aber dagegen nicht zugelassen, diese Bewegung fängt immer mit x0=0 an. |
|
|
Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
|
| Chillosaurus Verfasst am: 25. Mai 2011 18:15 Titel: |
|
|
| Rmn hat Folgendes geschrieben: | [...]
und ln(x0)=ln(0)=? ist gar nicht definiert.
|
Das hat auch keiner bezweifelt.
Wie du aber darauf kommst für x0 einfach so 0 einzusetzen ist mir ein Rätsel. Ich habe doch bereits geschrieben, dass das Integral für diesen Fall nicht lösbar ist.
| Zitat: |
Jedes Integral liefert eine Integrationskonstante. |
Nein, die Integrationskonstante fällt weg. Z.B. hat die Funktion x die Stammfunktion 0.5 x² + C und C ist beliebig.
Das integral über x=0.. x' ist aber 0.5 x'² (ohne C!). Um das Integral zu berechnen musst du nämlich die Differenz der Stammfunktionen an den Grenzen bilden.
| Zitat: | | [...]D.h. weder C1 noch C2 kann und darf keine physikalische Intepretation zugeordnet werden. Nur die Differenz (C2-C1) ist von Bedeutung. |
Wenn du genau hinschaust haben wir auch nur der einen Konstanten x0/t0 die Dimension einer Geschwindigkeit zugeordnet (falls x eine Strecke und t eine Zeit ist). Wegen ln(x0)-ln(t0)=ln(x0/t0) ist dies wohl zugleich die Differenz, die du meinst. Da x0 die Dimension einer Strecke und t0 die Dimension einer Geschwindigkeit ist, kann man wohl sagen, dass x0 die Strecke ist, die in einem Zeitinterfall t0 zurückgelegt wird.
| Zitat: | | [...]Eine freie wahl von z.B. x0 ist aber dagegen nicht zugelassen, diese Bewegung fängt immer mit x0=0 an. |
Die Bewegung fängt nicht bei x0=0 an, sondern bei x(t=0)=0. Ich kann die Konstanten so benennen, wie sie mir gefallen. Wenn ich x(t=0) meine, dann schreibe ich x(t=0) oder hier einfach: x=0.
A propos: Das die Lösung auch für t=0 und t<0 gilt, erkennt man daran, dass dx/dt=x0/t0 nicht von der Zeit abhängig ist. Auf Grund von Stetigkeit kann man sich dann der 0 annähern. Man sieht natürlich auch durch Einsetzen, dass x(t=0)=0 für die Lösung erfüllt ist und die Lösung somit auch für t=0 gültig ist.
Zuletzt bearbeitet von Chillosaurus am 25. Mai 2011 20:21, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
rmn1
Gast
|
| rmn1 Verfasst am: 25. Mai 2011 19:36 Titel: |
|
|
| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: |
Das hat auch keiner bezweifelt.
Wie du aber darauf kommst für x0 einfach so 0 einzusetzen ist mir ein Rätsel. Ich habe doch bereits geschrieben, dass das Integral für diesen Fall nicht lösbar ist. |
Ich habe die gezeigt, wie. Ich verstehe bei einer DGL unter x0 per Definition x(t=0).
| Zitat: | Die Bewegung fängt nicht bei x0=0 an, sondern bei x(t=0)=0. Ich kann die Parameter so benennen, wie sie mir gefallen. Wenn ich x(t=0) meine, dann schreibe ich x(t=0) oder hier einfach: x=0.
|
Ahso x0 und t0 sind keine Konstanten, sondern sogar Parameter...okey. Darf man noch fragen, was damit parametrisiert wird?
| Zitat: |
Nein, die Integrationskonstante fällt weg. Z.B. hat die Funktion x die Stammfunktion 0.5 x² + C und C ist beliebig.
Das integral über x=0.. x' ist aber 0.5 x'² (ohne C!). Um das Integral zu berechnen musst du nämlich die Differenz der Stammfunktionen an den Grenzen bilden. |
Es gibt sowas, wie ein "bestimmtes Integral" und ein "unbestimmtes Integral" und beide nennt man "Integral".
| Code: | | Da x0 die Dimension einer Strecke und t0 die Dimension einer Geschwindigkeit ist, kann man wohl sagen, dass x0 die Strecke ist, die in einem Zeitinterfall t0 zurückgelegt wird. |
x0 und t0 sind also keine Paramenter mehr, sondern Intevalle?
Deine x0 und t0 haben nichts, aber rein gar nichts mit Lösung dieser DGL zutun, sind sie rein dazuintepretiert. Weder braucht man sie zum Lösen der DGL, noch macht es irgendwelchen Sinn eine einzige Konstante einer DGl 1. ordnung irgendwelche Parameter(? laut dir) zu zerlegen.
PS: Eine korrekte mathematische Lösung läuft komplett anders ab, nicht durch zwei bestimmte integralle. Ich schreibe siespäter an, da ich gerade keien Zeit habe. |
|
|
Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
|
| Chillosaurus Verfasst am: 25. Mai 2011 20:35 Titel: |
|
|
| rmn1 hat Folgendes geschrieben: | [...]
[...] Darf man noch fragen, was damit parametrisiert wird? |
Danke für den Hinweis -> verbessert.
| Zitat: | | Es gibt sowas, wie ein "bestimmtes Integral" und ein "unbestimmtes Integral" und beide nennt man "Integral".[...] |
Da sollten wir uns darauf einigen, dass ein unbestimmtes Integral noch Integrationskonstanten liefert, die durch die Randbedingungen bestimmt werden müssen, während ein bestimmtes Integral bereits die Randbedingungen verarbeitet.
| Zitat: | | [...] Weder braucht man sie zum Lösen der DGL[...] |
Natürlich: Für eine DGL 1. Ordnung benötigst du immer eine Randbedingung. Die wäre hier: x(t0)=x0 oder alternativ dx/dt=x0/t0.
| Zitat: | | Eine korrekte mathematische Lösung läuft komplett anders ab, nicht durch zwei bestimmte integralle. [...] |
Trennung der Variablen und Aufintegrieren ist eine bewährte Methode in der Physik. Insbesondere auch deswegen, weil man Randbedingungen x(t')=x' so schnell einbringen kann, wenn man direkt ein bestimmtes Integral löst und nicht, wie sonst üblich, Stammfunktionen sucht.
Bei solchen einfachen DGL, kennt man die Lösung in der Regel schon und macht einen Ansatz. |
|
|
rmn1
Gast
|
| rmn1 Verfasst am: 25. Mai 2011 21:03 Titel: |
|
|
Mir ist der Unterschied zwischen diesen beiden Bewegungen wichtig:
 = v_0 \text{ und } \dot x(t) = \frac{x(t)}{t})
mit entsprechneden unterschiedlichen Lösungen:
 = v_0 \cdot t +x_0 \text{ und } x(t)=v_0 \cdot t)
Worin besteht, der Unterschied? |
|
|
Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
|
| Chillosaurus Verfasst am: 25. Mai 2011 22:46 Titel: |
|
|
| rmn1 hat Folgendes geschrieben: | [...]
mit entsprechneden unterschiedlichen Lösungen:
Worin besteht, der Unterschied? |
In beiden DGL hast du eine DGL 1. Ordnung. Du benötigst also eine Konstante als Randbedingung. (x(t=0)=x0 für die erste, dx/dt=v0 für die zweite)
Für die zweite Gleichung ist die erste Gleichung die Randbedingung, die dir die Steigung der Geraden gibt.
Der Unterschied in beiden Gleichung ergibt sich durch die Wahl des Zeitnullpunktes. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
