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Wilwheaton33
Anmeldungsdatum: 22.05.2011
Beiträge: 3
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 Wilwheaton33 Verfasst am: 22. Mai 2011 16:21 Titel: Physikalische Anwendung des Gaußschen Integralsatzes |
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Meine Frage:
Hey Leute,
Ich beschäftige mich seit ein paar Wochen mit Mehrfachintegralen, insbesondere bezogen auf den Gaußschen Integralsatz.
Das grundsätzliche Prinzip habe ich verstanden, jedoch kann ich mir keine wirklich praktische physikalische Anwendung vorstellen, bei welcher der Satz mir Vorteile gegenüber der direkten Berechnung(z.B. von dem Durchfluss durch die Oberfläche o.ä.)bringt.
Wobei ich folglich Hilfe benötige, ist ein konkretes Anwendungsbeispiel zu finden, dass mir verdeutlicht wozu und warum man den Gaußschen Integralsatz überhaupt benötigt(abgesehen von der Tatsache, dass er eine Art Energieerhaltungsgesetz formuliert)
Hoffe auf qualifierte Resonanz :)
Meine Ideen:
Ein möglicher Vorteil könnte sein, dass bei einem tangential angelegten Vektorfeld an einen beliebigen Körper(dessen Funktionsvorschrift nicht bekannt ist),man mit Hilfe der Divergenz des Vektorfeldes, das Volumen des Körpers berechnen kann.
Stimmt das soweit?
Dies ist jetzt nicht sonderlich physikalisch, jedoch momentan der einzige Vorteil der sich mir aus dem Integralsatz erschließt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 22. Mai 2011 18:03 Titel: |
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Möchtest du ein konkretes Beispiel, wobei die Berechnung mittels des Gausschen Integralsatzes vereinfacht wird, oder möchtest du ein eher theoretisches Beispiel, das zeigt, warum dieser Satz grundsätzlich in der Mathematik oder Physik eine wichtige Rolle spielt?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Wilwheaton33
Anmeldungsdatum: 22.05.2011
Beiträge: 3
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| Wilwheaton33 Verfasst am: 22. Mai 2011 18:35 Titel: |
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Ein konkretes Beispiel wäre echt super.
Die theoretische Bedeutung des Satzes für Mathematik und Physik ist mir klar. Jetzt brauch ich was greifbares...
Schonmal vielen Dank im Vorraus  |
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Mkr
Anmeldungsdatum: 23.05.2011
Beiträge: 15
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| Mkr Verfasst am: 23. Mai 2011 22:35 Titel: |
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Ich fand die Beschreibung auf Wikipedia ganz gut.
| Zitat: | Nehmen wir an, das Vektorfeld  beschreibt fließendes Wasser in einem gewissen Raumbereich. Dann beschreibt die Divergenz von gerade die Stärke von allen Quellen und Senken in einzelnen Punkten. Möchte man nun wissen, wie viel Wasser aus einem bestimmten Bereich V insgesamt herausfließt, so ist intuitiv klar, dass man folgende zwei Möglichkeiten hat:
Man untersucht bzw. misst, wie viel Wasser durch die Oberfläche von V aus- und eintritt. Dies entspricht dem Durchfluss von senkrechten Komponenten auf der Oberfläche als Oberflächenintegral.
Man bilanziert (misst) im Innern des dadurch begrenzten Volumens, wie viel Wasser insgesamt innerhalb von V in Senken (Löchern) verschwindet und wie viel aus Quellen (Wasserzuflüssen) hinzukommt. Man addiert also die Effekte von Quellen und Senken. Dies wird alternativ und gleichwertig dann durch das Volumenintegral über die Divergenz realisiert.
Der gaußsche Integralsatz besagt, dass tatsächlich beide Möglichkeiten stets absolut gleichwertig zum Ziel führen. |
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gorkii
Gast
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| gorkii Verfasst am: 23. Mai 2011 22:54 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Möchtest du ein konkretes Beispiel, wobei die Berechnung mittels des Gausschen Integralsatzes vereinfacht wird, oder möchtest du ein eher theoretisches Beispiel, das zeigt, warum dieser Satz grundsätzlich in der Mathematik oder Physik eine wichtige Rolle spielt? |
Hallo TomS,
ich bin Schüler und an einem solchen theoretischen Beispiel interessiert. Ich habe ein paar Vorlesung im Zuge der Schüleruniversität besucht (Physik) und dort wurde viel mit diesem Satz gearbeitet. Aber mir ist noch nicht ganz klar, warum man das überhaupt darf.
Danke! |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 24. Mai 2011 00:13 Titel: |
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| gorkii hat Folgendes geschrieben: | | Aber mir ist noch nicht ganz klar, warum man das überhaupt darf. |
Möchte, auch wenn das vielleicht nicht unmittelbares Anliegen ist, auf die "Werkzeugfunktion" solcher Zusammenhänge verweisen. In einem langen Optimierungsverfahren ist man zu sehr erfolgreichen Modelltypen für physikalische Erscheinungen gekommen, zum Beispiel Vektorfelder. Und deren Handhabung erfordert mathematisches Werkzeug, Differentialgleichungen oder solche Integralsätze.
Vielleicht wie in der Küche. Natürlich kann man auch ohne Kugestecher, Grätenzange oder Kasserolle kochen, aber mit der Zeit kennt man deren Sinn. |
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Wilwheaton33
Anmeldungsdatum: 22.05.2011
Beiträge: 3
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| Wilwheaton33 Verfasst am: 25. Mai 2011 16:46 Titel: |
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Erst schon einmal vielen Dank für die Antworten:)
| Zitat: | | Der gaußsche Integralsatz besagt, dass tatsächlich beide Möglichkeiten stets absolut gleichwertig zum Ziel führen. |
Gilt der Integralsatz immer?
Dies würde ja dann bedeuten, dass der Integralsatz einiges an Rechenarbeit sparen kann, so fern ein Vektorfeld gegeben ist, da das Volumenintegral über die Divergenz des Vektorfeldes in der Regel einfacher zu berechnen ist, als den Durchfluss durch die Oberfläche mittels dem Oberflächenintegral.
Des weiteren taucht in vielen Aufgaben immer wieder die Formulierung "Berechnen Sie das Integral von v uber dM zuerst direkt und dann mit
Hilfe des Satzes von Gauß" auf...
Heißt "direkt" in diesem Zusammenhang, dass ich nur eine Seite berechnen muss?  |
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Mkr
Anmeldungsdatum: 23.05.2011
Beiträge: 15
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| Mkr Verfasst am: 25. Mai 2011 17:47 Titel: |
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| Wilwheaton33 hat Folgendes geschrieben: |
Gilt der Integralsatz immer?
Dies würde ja dann bedeuten, dass der Integralsatz einiges an Rechenarbeit sparen kann, so fern ein Vektorfeld gegeben ist, da das Volumenintegral über die Divergenz des Vektorfeldes in der Regel einfacher zu berechnen ist, als den Durchfluss durch die Oberfläche mittels dem Oberflächenintegral.
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Ja, er gilt immer und eben dieses ersparen von Rechenarbeit ist seine Anwendung. =)
| Wilwheaton33 hat Folgendes geschrieben: |
Des weiteren taucht in vielen Aufgaben immer wieder die Formulierung "Berechnen Sie das Integral von v uber dM zuerst direkt und dann mit
Hilfe des Satzes von Gauß" auf...
Heißt "direkt" in diesem Zusammenhang, dass ich nur eine Seite berechnen muss? |
Direkt bedeutet, dass du den Satz von Gauß eben nicht zur Berechnung anwenden sollst. Meistens werden aber so dämliche Aufgaben gestellt, dass dieser direkte Weg kürzer und einfacher ist. Da geht der Lerneffekt, dass dieser Integralsatz auch nützlich sein kann irgendwie verloren.  |
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