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Stehende Wellen auf einem mittig eingespannten Kupferstab
 
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aves_aquila



Anmeldungsdatum: 04.03.2011
Beiträge: 32

Beitrag aves_aquila Verfasst am: 18. Mai 2011 17:17    Titel: Stehende Wellen auf einem mittig eingespannten Kupferstab Antworten mit Zitat

Hallo Forum!
Ich bräuchte mal fachliche Hilfe... Ich dachte erst, das ich die Aufgabe gut lösen konnte, habe dann aber eine nicht unwesentliche Abweichung zu den mit angegebenen Lösungen festgestellt.
Also entweder sind die Lösungen falsch oder ich habe bei meinen Überlegungen was übersehen bzw. falsch gemacht.

Wenn ihr mal bitte drüberschauen könntet?

Aufgabenstellung:
Zitat:
Ein Runder Kupferstab der Länge l=50cm ist mittig fest eingespannt.
- Wieviele stehende Wellenzustände einer Kompressionswelle können sich im Frequenzbereich zwischen 20kHz < f < 50kHz ausbilden?
- Berechnen Sie diese Frequenzen.


Meine Überlegung dazu:
Da der Stab mittig eingespannt ist, kommen nur Wellen in Frage, bei denen ein Knoten in der Mitte des Stabes vorliegt. Also alle geraden Vielfache der Eigenfrequenz des Stabes, weil:
http://www.physikerboard.de/files/stehende_welle_117.png
Bei Wellen, die ein ungrades vielfaches der Eigenfrequenz sind, läge in der Mitte ein Bauch. Diese Schwingung würde aber schon hier an der mittleren Einspannung des Stabes reflektiert/unterbrochen.

Also habe ich im ersten Schritt erstmal die Eigenfrequenz des Stabes bestimmt.

Gegeben:
l = 0,5m
Material Kupfer
Frequenzbereich zwischen 20kHz < f < 50kHz

Allgemein:

n=1 Grundschwingung/Eigenfrequenz
E = Elastitzitätsmodul [Pa]
σ = Dichte [kg * m^-3]




c = Ausbreitungsgeschwindigkeit


Eingesetzt in f_n ergibt sich damit eine Frequenz von 3659,625Hz für die Grundschwingung. Im nächsten Schritt teile ich die untere Grenze des angegeben Frequenzbereiches durch die Grundschwingung:

Da n aber nur Werte der Reihe n=(2;4;6;8; ...) annehmen kann, weiß ich, das die erste Schwingung in dem Bereich bei n = 6 liegt:




f_14 liegt schon außerhalb des vorgegeben Frequenzbereiches.


Somit können sich im Frequenzspektrum von 20 bis 50kHz oben genannte 4 Oberwellen ausbilden.

Leider liegen die Ergebnisse aber "leicht" neben denen der Lösung meines Profs:
f_1 = 26,25 kHz
f_2 = 33,75 kHZ
f_3 = 41,25 kHz
f_4 = 48,75 kHz



stehende_welle.png
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franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 19. Mai 2011 21:23    Titel: Antworten mit Zitat

Für Kupfer (gewalzt) lese ich 11,2 10^10 Pa und 8,954 g / cm³ bei 20 °C.
aves_aquila



Anmeldungsdatum: 04.03.2011
Beiträge: 32

Beitrag aves_aquila Verfasst am: 20. Mai 2011 08:40    Titel: Antworten mit Zitat

Komme mit den Werten aber auch nur auf eine Frequenz von 21,22kHz für die erste Oberwelle/Harmonische. Sollte aber eigentlich 26,25kHz sein. An den Konstanten kann es also nicht liegen.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 20. Mai 2011 09:51    Titel: Antworten mit Zitat

Müßte nicht

bei rechts und links Bauch, L= 50 cm. Paßt exakt zu den vorgegeben Werten bei 3750 m/s. Womit wir wieder bei den Konstanten sind. Meine Angaben schwanken zwischen 3500 m/s und 3900 m/s; vermutlich stark von Verarbeitung abhängig.
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