Abkühlzeit eines Körpers im Weltraum

fastbit66 · Anmeldungsdatum: 16.03.2011 Beiträge: 3

Hallo Physikergemeinde!

Ich habe ein Problem und würde mich sehr freuen, wenn Ihr mir helfen könntet:

Ich möchte ausrechnen wie lange es dauert bis ein Körper im leeren Weltall komplett bis auf ca. 3K abgekühlt ist.

Nehmen wir an ich habe eine Eisenkugel von Masse 0,5 Kg.
Sie sei 100 Grad Celsius warm.
Sie befinde sich im Weltraum fernab einer Sonne oder sonstigen Strahlungsquellen.

Sie kann dann ja nur über Strahlung ihre Wärme los werden - richtig?
Wie lange dauert es bis sie auf 3K abgekühlt ist?
Wie kann man das berechnen?

Ganz herzlichen Dank für Eure Zeit !
Gruß
Andi

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Man nutzt die Plancksche Strahlungsformel für die die abgestrahlte Leistung pro Frequenz und Fläche u(f,T). Integriert über alle Frequenzen erhält man das Stefan-Boltzmann-Gesetz für die abgestrahlte Leistung P(T). Damit stellt man eine DGL für die abgestrahlte Energie dE/dt pro Zeit = Leistung P auf, um die zeitliche Abhängigkeit der Energie zu erhalten.

Nun muss man noch einen Ansatz für den Zusammenhang zwischen Energie E und Temperatur T herstellen; dies erfolgt mittels der spezifischen Wärmekapazität c, die allerdings i.A. nicht konstant, sondern wiederum eine Funktion der Temperatur ist.

Weißt du, wie man eine derartige DGL aufstellt und löst?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Läßt sich die Eisenkugel als Schwarzer Körper beschreiben?

Lörper · Gast

Bis auf eine Konstante, also als grauer Körper.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich denke, in sehr guter Näherung als schwarzer Körper.

Außerdem spielt das nur experimentell eine Rolle, wenn Strahlung vorhanden wäre, die der Körper nicht absorbieren sondern reflektieren würde. Das ist aber im Weltall in sehr guter Näherung nicht der Fall.

fastbit66 · Anmeldungsdatum: 16.03.2011 Beiträge: 3

@TomS

Vielen Dank für den Ansatz!
Aber das übersteigt -derzeit zumindest- meine Fähigkeiten grübelnd

Vielleicht kannst Du mir nur mal so grob sagen in welchem zeitlichen Rahmen das liegt. Würde mir schon vollkommen reichen.
Also dauert's ne Stunde, paar Minuten nur...etc.

Das wäre schon gaanz klasse!

Gruß
Andi

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich kann dir mal die obige Rechnung skizzieren - ich muss sie auch für mich erstmal durchführen. Dann müsstest du die Konstanten und Werte entsprechend einsetzen - OK?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Man starte mit dem Gesetz von Steafn-Boltzmann, demzufolge die von einem Körper der Temperatur T abgestrahlte Leistung P(T) der vierten Potenz der Temperatur proportional ist:

Die Leistung ist aber Energie abgeleitet nach der Zeit, mit einem Minuszeichen, da die Energie ja abnimmt

Machen wir den einfachen Ansatz, dass Energie Q und Temepatur T direkt proportional sind; C ist die Wärmekapazität des Körpers.

Dies eingesetzt gilt

Diese DGL löst man mittels Trennung der Variablen, d.h. letztlich getrennte Integration links über T, rechts über t. Dabei führt man eine Ausgangstemperatur zum Zeitpunkt t=0 sowie die aktuale Temperatur T(t) ein.

Auflösen liefert

fastbit66 · Anmeldungsdatum: 16.03.2011 Beiträge: 3

@TomS

Boahh - super !

Du bist spitze!

Vielen Dank !!!!!!

Gruß
Andi