Kapazität einer Lecher Leitung aus Geometrie berechnen

MrWhite · Anmeldungsdatum: 06.06.2010 Beiträge: 3

Meine Frage:
Hallo,
es geht darum anhand der Geometrie einer Zwei-Leiter-Anordnund ihre Kapazität zu berechnen.
Man hat zwei zylindrische Leitungen mit dem selben Radius R die parallel zueinander entlang einer geraden Linie verlaufen, ihre Achsen haben den Abstand D voneinander. Die Länge der Anordnung beträgt L. Die Ladung einer der einen Leitung beträgt Q und die der anderen -Q. Randeffekte der Felder werden vernachlässigt.

Meine Ideen:
Wenn ich nun das Problem löse über:
C = Q/U
U = Integral( E * ds) (beides Vektoren, * ist ein Skalarprodukt)
Q = closedIntegral( D * dA), mit der richtigen Oberfläche => Q = D*A, A=2*pi*r*L
D = epsilon * E
ist des Problem reduziert darauf E nach einem Weg aufzuintegrieren, der kürzeste ist der einfachste

U = Q/(2*pi*L*epsilon) * Integral( 1/abs(r+D/2) + 1/(abs(D/2-r)) )dr von (-D/2+R) bis (D/2-R)
U = Q/(pi*L*epsilon) * ln(D/R - 1)

C = (pi*L*epsilon) * 1/ln(D/R - 1)
Dieses Ergebnis weicht von anderen Ergebnissen die ich im Internet gefunden habe ab, warum?
Führt eine der anfänglichen vereinfachenden Annahmen dazu?

von http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Kapazität#Kapazit.C3.A4t_bestimmter_Leiteranordnungen
und http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitance#Capacitance_of_simple_systems

C = pi*L*epsilon * 1/arcosh(D/(2R)) = pi*L*epsilon * 1/ln(D/(2R) + sqrt(D^2/(4*R^2) -1))

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

Die elektrische Feldstärke, die Du da berechnet hast, verstehe ich nicht.
Könntest Du das bitte näher erläutern?
Fragen: 1. Radius der Drähte r?
2. Integrationsvariable?

MrWhite · Anmeldungsdatum: 06.06.2010 Beiträge: 3

r ist die Integrationsvariable, folgt dem Einheitsvektor von einem Drahtmittelpunkt zum anderen und beginnt inmitten, bei D/2

Q = closedSurfaceIntegral( E * epsilon * dA)
Als Oberfläche wähle ich einen Zylinder, durch Auswertung des Skalarprodukts erhält man, dass nur die Mantelfläche (2*pi*r*L) relevant ist.
Nun kann man schreiben:

Q = E * epsilon * (2*pi*r*L)
=> E = Q/ (epsilon * 2*pi*r*L) dies ist die Stärke von E eines Leiters, die Richtung ist Radial nach außen

nun Ist ein Leiter in meinem Koordinatensystem an der Stelle -D/2 damit muss r zu abs(r-D/2) modifiziert werden:
E_1 = Q/ (epsilon * 2*pi*abs(r-D/2)*L)

für den Zweiten Leiter erhält man:
E_2 = -Q/ (epsilon * (-1)*2*pi*abs(D/2+r)*L)
da die Ladung hier negativ ist, und das Skalarprodukt zwischen den einheitsvektoren D und A: (-1) ist
=> E_2 = Q/ (epsilon *2*pi*abs(D/2+r)*L)

E_sum = E_1 + E_2
E_sum = Q/ (epsilon *2*pi*L) * (1/abs(r-D/2) + 1/abs(D/2+r))

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

Ah, jetzt habe ich Deine Nomenklatur verstanden.

Deine Formel stimmt so ungefähr, wenn die Drähte sehr dünn sind im Verhältnis zum Abstand D, also R << D

Warum ist das so?
Weil das Feld des Gegendrahtes jeweils eine Influenz auf der Oberfläche des Drahtes erzeugt, auf der zugewandten Seite sind mehr Ladungsträger als auf der abgewandten.

Wie berücksichtigt man das?
Man verschiebt die gedachte linienförmige Ladung. Die Feldstärke ist dann auf der x-Achse:

MrWhite · Anmeldungsdatum: 06.06.2010 Beiträge: 3

Die Erklärung macht Sinn, könntest du kurz die einzelnen Terme in der Formel aufschlüsseln.
Bzw muss es ja eine Bedingung geben bei der die Anordnung der Ladungen wieder Statisch verharrt, wie lautet diese hier?

Habe die gleiche Abweichung in der Formel auch für die Induktivität der Lecher Leitung erhalten, kann man das dort auch als Influenz unter den bewegten Ladungen anschreiben oder gibt es eine einfachere Methode?

Kennt eventuell jemand ne Website/Dokument in dem man die Herleitung online nachlesen kann?

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

Die Theorie ist so, dass Du für jedes x einen Radius rä der Äquipotentialfläche bestimmen musst.

Damit findet man den Mittelpunkt rechts mit x+rä.
Wie groß ist rä?
Aus dem umgekehrten Weg: Linienladungen bei den beiden Mittelpunkten M1 und M2, daraus die Äquipotentialfläche so bestimmen, dass sie mit dem Umfang des Leiters (Radius r) zusammen fällt.
rä² + D²/4 = (rä+x)²