Kugel rollt zwischen zwei Platten

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Werte Forumleser,

ich habe ein Problem, bei dem ich Eure Hilfe benötige...

Eine Kugel ist zwischen zwei Platten gelagert, wobei die obere Platte als fest eingespannt gilt. Durch eine horizontale Verschiebung der unteren Platte nach rechts wird die Kugel zwangsläufig gegen den Uhrzeigersinn mit bewegt. Die Platten werden durch die Kraft

zusammengehalten. Die Reibung soll nicht vernachlässigt werden und ist durch \mu gegeben, sowohl für Gleit als auch für Rollreibung.

Frage: Wie hoch muss

mindestens sein, damit die Kugel rollt und nicht gleitet?

Ich habe das Problem bisher versucht zu zerlegen:

Die Kugel übt zwei Bewegungen aus: Translation und Rotation

Der Translation entgegen wirkt die Reibungskraft

, jeweils unterhalb und oberhalb der Kugel

Für die Translation gilt:

bzw.

Die Reibungskraft

bewirkt zusammen mit

zusätzlich ein Drehmoment auf die Kugel aus:

Für meine Reibungskraft gilt:

, so dass ich ein Moment in Abhängigkeit von

erhalte

Die allgemeine Rollbedingung lautet:

v sei in diesem Kontext gegeben

Weiterhin ist mir bekannt, dass

ist.

Doch wie bekomme ich meine Translation und Rotation vereint, sodass das Drehmoment berücksichtigt wird? Der Ansatz mit dem Energieerhaltungssatz kann meiner Meinung nach nicht angewendet werden, da die Reibung berücksichtigt werden muss.

Ich hoffe man kann das Problem mit Hilfe der Skizze ein wenig besser nachvollziehen.

Gruß

belsebub01

zuiuz · Gast

Hallo,, ich hätte es so gemacht:
1. annehmen, kügel mit beschleunigung A rollt
2. die dazu nötige kräfte Fo oben und Fu unten berechnen
3. prüfen wann die kräfte (oder eine von beiden) > als FRmax=Fn*mu ist

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Okay, wenn ich dich richtig verstanden habe meinst du:

1.

2. Kräfte die eine Beschleunigung bewirken:

3.

Wenn ich das jedoch richtig interpretiere, berechne ich so ob die Kugel zwischen den Platten überhaupt beschleunigt wird. Da das einwirkende Drehmoment nicht berücksichtigt wird,könnte es sich hier um Gleiten der Kugel handeln.

Aber was ist mit dem Drehmoment und der Rollbedingung? grübelnd

hjhjhgjhg · Gast

Ich habe es mir anders gedacht.
vor allem eine frage: geht es um eine beschleunigte bewegung oder um eine stationäre? in letztem fall reibungen für roll und gleit bewegung können nicht gleih sein. das folgende für die beschleunigte bewegung
1. welche kräfte wirken AUF die kugel?
1a. Oben - reibungskraft Fro, richtung rechts, horisontal und
reaktion der Platte, No vertikal, richtung unten. dabei gilt
Fro <= No * mu;
1b. Unten - reibungskraft Fru, richtung rechts, horisontal und
reaktion der Platte, Nu vertikal, richtung oben. dabei gilt
Fru <= Nu * mu;
1c. der mittelpunkt der kugel bewegt sich mit beschleunigung a, richtung rechts
2a. Fro + Fru = ma - so was ist klar
2b. Zum drehmoment. berechnet wird relativ zum oberen kontanktPunkt
Bewegungsgleichung M=J*e;
M=Fro*0 + Fru*2r;
e=(winkelbeschleunigung)=a/r;
J=Jkugel + m*r^2 = 0,4 m*r^2 + m*r^2=1,4 m*r^2
2c. zusammengesetzt, haben wir Fru=0,7 ma und aus 2a: Fro=0,3 ma.
2d. Fp=Fru (wenn die masse der platte =0 ist) und Fro=~0,43 Fp
3. jetzt zu F reibung max:
Fn*mu>=Fru=Fp also Fn>= Fp/mu und
(Fn-mg)*mu >=Fro=0,43 Fp also Fn>= 0,43 Fp/mu + mg;
Lösung: wenn Fp klein ist, dann Fn >= 0,43 Fp/mu + mg;
wenn Fp gross ist, dann Fn>= Fp/mu

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

mmh, also die ein oder andere Sache habe ich noch nicht richtig verstanden:

zu 1b) Warum berücksichtigst du an dieser Stelle

nicht?

zu 2d) "Fp=Fru (wenn die masse der platte =0 ist) und Fro=~0,43 Fp "

Die Platte soll nicht als masselos angenommen werden. Daher sicher dann

Wieso aber Fro=~0,43 Fp???? Ich komme nach einsetzen mit dem alten bzw. jetzt "neuen"

in 2c auf

zu 3) Könntest du mir bitte den Hintergrund deiner Fallunterscheidung erklären?

Junge · Anmeldungsdatum: 16.11.2009 Beiträge: 39

Zu 1b) warum soll ich? Fp wirkt auf die Platte, Fru – von der Platte auf die Kugel.
Wenn die Platte ist nicht masselos, dann Fp – Frau = M platte * (2a); (die beschl. von der Platte 2-mal großer als a) und wir haben ein Problem mehr.
bei Fn soll dann die Masse auch berücksichtig werden.

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Okay, 1b) seh ich genauso

Allerdings denke ich wurde eine wichtige Sache beim Aufstellen des Drehmomentes vergessen:

, denn

bewirkt ein Drehmoment der Kugel

Eingesetzt und vereinfacht gibt das:

Wenn für die Translation der Kugel gilt:

, so ergibt sich:

Somit sind

mit

ausgedrückt

Daraus ergibt sich für die Reibung,wenn

als eine gegebene Kraft angenommen werden kann:

analog für

:

Das bedeutet:

Somit muss die Kugel mindestens mit einem

belastet werden, dass

überwindet!

Einverstanden???

Somit bräuchtest du

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

ich mische mich hier mal ein.

1)

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Im Laufe der Diskussion hat sich die oben beschriebene Skizze etwas gewandelt. Um den aktuellen Stand nachzuvollziehen habe ich einmal die Bilder angehängt.

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

wo siehst du bitte in meiner skizze das die Kugel nach links verschoben wird.

m*a ist der Kraftvektor der gegen die Beschleunigungsrichtung wirkt

wenn die Kraftvektoren der Trägheitskraft nach links zeigen ist die Beschleunigung nach rechts.

Aber anscheinend kennst du dieses System nicht. Naja wie ich sehe hast du die Lösung schon.

Wer hat das berechnet, scheint komplett falsch zu sein!

Alleine schon durch die Einbeziehung der Kraft FP auf das Drehmoment der Kugel.

MFG

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Ich hatte damals ein Problem, dass ich alleine nicht lösen konnte daher habe ich es hier gepostet. Ich fand es sehr gut und hilfreich, dass sich überhaupt jemand dazu gemeldet hat. Die obige Lösung schien mir bis dato nachvollziehbar.
Wenn du jetzt sagst,dass das totaler Blödsinn ist, ist das okay. Schließlich ist das Forum zum diskutieren da.

Vielleicht kannst du mir auch sagen, warum Fp denn nicht mit eingeht ins Drehmoment, weil sie nicht direkt auf die Kugel einwirkt???

Werde jetzt mal versuchen deinen Ansatz zu rechnen,mal schaun was ich herausbekomme.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Das das totaler Blödsinn ist hab ich ja nicht gesagt. Man merkt das du ahnung hast nur das Kraftverständnis haut nicht so hin. ich bin da jetzt auch nur schnell drüber geflogen. aber FP auf das Kugeldrehmoment mit einzubeziehen
Du mußt eins bedenken. das FP ja auf die kugel wirkt per Reibung. FP ist praktisch die untere Reibkraft die auf die Kugel wirkt.

wenn ein Tisch zum Beispiel auf Rollen steht und es liegt ein Buch darauf und ich verschiebe das Buch. dann wirkt per Reibung auf den Tisch unten eine Kraft die den Tisch mit der Bewegung mitnehmen will. diese Kraft kommt ja aufgrund meiner Kraft. meine Kraft spaltet sich auf in die Beschleunigung des Buches der Rest meiner Kraft wird auf den Tisch übertragen und beschleunigt diesen mit.

Wenn du das Drehmoment der Kugel berechnen willsd dann berücksichtigst du bereits die Kraft FP, denn diese ist ja die Kraft FR unten oder besser gesagt erzeugt diese. Dieser Kraftanteil also FR unten ist der Anteil der von FP auf die Kugel wirkt.

Ich werd mir da morgen zeit nehmen und das durchrechnen mit erklärungen. heute nicht, weil sonst haut mei Freundin ane auf di Birn.

Man hat schliesslich auch ander Verpflichtungen Big Laugh

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Moment um den oberen Kontaktpunkt:

Kräftegleichgewicht:

Dann bekomme ich für

und für

raus

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Das wichtigste ist zunächstmal das Freimachen und das Kraftverständnis, wo wirkt was in welche Richtung.

Zum Beispiel hab ich FRo falsch angenommen, da ich schon weiß das es 100% in die andere Richtung wirkt, aber egal dann erhalten wir halt minus.

Wichtig ist aber doch das man zumindest die Bekanntengrößen richtig einträgt.

Wir wissen wie FRunten wirken muß, wir wissen was hier für eine Bewegungsart zustande kommt. ein nach rechts bewegen und ein Drehen gegen den Uhrzeigersinn. und im obersten Punkt soll mal die Rollbedingung gültig sein.

Dazu das Kraftbild.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Okay damit das jetzt verstehst mit Einführung der Trägheitskraft m*a und Einführung des Trägheitsdrehmomentes I*alpha. erhält man einen Gleichgewichtsfall.

Rollbedingung oben:

mit Is=2/5 m r²

Das Minus sagt uns jetzt das FR oben in die andere Richtung wirkt also sogar aufgrund der drehung beim beschleunigen hilft.

Das hängt deswegen so aalglatt zusammen weil beide sowohl FRoben als auch FR unten am selben Radius angreifen

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Als nächstes macht man die Platte frei.
Die senkrechten Kräfte interessieren uns bis auf FN unten nicht. Auch die Drehmomente der einzelnen Kräfte samt Gewichtskraft der Platte. Das ist nur von Belangen wenn du wissen willsd wo du die Stützkraft ansetzen mußt das sich die Platte selbst nicht dreht. Das setzen wir voraus.

Magst du mal die gleichungen in x Richtung ansetzen. und die Gleichung aus dem ersten Teil für FN unten ansetzen.

Hier muß ebenfalls im Auflagepunkt die relative Geschwindigkeit null sein damit das ganze abrollt. Was bedeutet das für die Beschleunigung der Platte im Vergleich zum alpha der Kugel.

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Kräftegleichgewicht in x-Richtung:

Rollbedingung:

Daraus bekomme ich mein

in Abhängigkeit von

Dann gilt:

Noch eine Frage zu deinen Rechnungen: warum berücksichtigen wir beim Trägheitsmoment J nicht noch das Steinerglied, da wir die Kugel ja eigentlich um den oberen Punkt abrollen?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Also zunächst mal betrachte ich die Kugel nicht um den oberen Punkt abrollend sondern um den Schwerpunkt.

Ich setze lediglich die Momentengleichung für den oberen Punkt an.

Das mußt du dir vorstellen wir in der Statik jeder beliebige Pol liefert dasselbe. Ich suche mir den aus der mir die Momentengleichung am meisten vereinfacht.

Der Unterschied zur betrachtung einer Drehung um den oberen Punkt liegt das du hier ein einheitliches alpha um den oberen Punkt betrachtest.

Du schreibst also gleich

I=Is + m*r²

und das mal alpha und hast somit die Rollbedingung eigentlich festgelegt.

Ich führe aber die Trägheitskraft, die im Schwerpunkt wirkt und ein Drehmoment von m*a*r verursacht.

durch die Rollbedingung ist a vordefiniert mit.
a=alpha *r

somit erhalte ich für das Drehmoment der Trägheitskraft aufgrund geradliniger Beschleunigung.

m*alpha*r²

das plus mein Trägheitsmoment um den SChwerpunkt ergibt.

Is*alpha+m*alpha*r² = alpha !!!!!(Is+ m*r²)!!!!!

Es ist also gleichwertig.

sieh dir mal folgende Zeile an:

was sagt dir der untere Term.

Ist das nicht genau das Steinersche Trägheitsmoment Augenzwinkern

Ich weiß ich hab ein eigenwilliges System, das Problem ist ich kann dir nicht mal sagen wo du das nachlesen kannsd. weil ich das selbst erarbeitet habe.

Aber bei dir lags ja eigentlich nur am Kraftverständnis , wenn du die Skizzen anschaust, wirsd dus wahrscheinlich begreifen was du falsch gemacht hast.

belsebub01 · Anmeldungsdatum: 16.05.2010 Beiträge: 11

Danke für die Mühen! Bringt mich ein ganzen Stückchen weiter! Thumbs up!

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

also ich bekomme zunächst mal die Rollbedingung:

passt

Also fliegt es unten zuerst raus. Das liegt daran das die Kraft FR_unten bereits das obere Abrollen fast alleine ausführt und dazu nur wenig Kraft von der oberen Platte braucht damit der Abrollvorgang gesichert ist.

Alternativ gehts auch über die Energieerhaltung.

Willsd du das mal probieren?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

@VeryApe:

Ich bin mit deinem Ansatz voll und ganz einverstanden (nachgerechnet hab ich es nicht, aber es sieht wasserdicht aus).

Dieses Beispiel hat aber wieder mal meine tiefe Unkenntnis mechanischer Zusammenhänge zutage gebracht. Wie ist das nun mit der Reibung?

Du bist davon ausgegangen, dass die Kugel durch die untere Kraft die Bewegung erfährt, während sich die obere Kraft als Reaktion auf die Rollbedingung einstellt. Alles soweit OK (dass man zuguterletzt noch die untere Platte samt Masse dazunimmt, ist meines Erachtens nicht wirklich gefragt).

Die Kräfte auf die Kugel sind aber Kontaktkräfte, die durch Haftreibung entstehen. Für Haftreibung gilt

Auch OK.

Das heisst aber in deinem Modell, dass man, um die Kugel zu bewegen nur Beschleunigungskräfte überwinden muss: Keine Beschleunigung-> keine Kraft (siehe deine hergeleitete Formel für a).

Wenn ich mir aber vorstelle, dass ich eine Schienenfahrzeug mit 10t belaste, dann glaube ich nicht, dass man bei gleichförmiger Geschwindigkeit keine Kraft benötigt. Ist da nicht die Rollreibung gefragt? In der Aufgabenstellung ist davon die Rede...Ist denn die Rollreibung nicht dafür verantwortlich, dass ein Fahrzeug gebremst wird? Falls ja, wie ginge das in die Aufgabe ein? In deinem Ansatz ist F=0 wenn a=0...

***mechanischer Laie bin ***

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Hrhr, Laie, und ich bin experte LOL Hammer

ich mach das auch nur gerade als hobby.

Aber das ganze betrachtet natürlich wirklich nur die äussere Reibung, Rollwiderstand ist da nicht inkludiert.

Der Rollwiderstand äußert sich in Verformung der Kugel sodass hier die y Kräfte Fnu und Fno (Versatz) ebenfalls drehmomente auf die Kugel bewirken und zwar drehmomente die verlangsamen.

Dadurch wird für die selbe beschleunigung der Platte nach Erfüllung der Rollbedingung mehr Kraft notwendig. da viel mehr Kraft auf die Kugel übertragen werden muß.

wenn Fp null ist dann wirken die Drehmomente der y Kräfte trotzdem noch weiter und bremsen

Das in der Aufgabenstellung auch nach der Rollreibung gefragt war , hab ich anscheinend überlesen.

Dazu müsste man das System geringfügig erweitern, indem wir einfach mti dem Rollwiderstands wert ermitteln wie stark dieses verzögerunsmoment ist und das einfach in der Momentengleichung abzuziehenl
und weiter so tun als ob die Kräfte schön auf einer Wirklinie wirken.