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Solaris2010
Anmeldungsdatum: 14.03.2010
Beiträge: 1
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 Solaris2010 Verfasst am: 14. März 2010 19:23 Titel: Bewegungsgleichung für Regentropfen |
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Meine Frage:
Hallo!
Es geht darum eine Bewegungsgleichung für einen Regentropfen aufzustellen, der in eine übersättigte Luftschicht fällt und daher an Masse zunimmt (Luftwiderstand soll aber nicht berücksichtigt werden).
Für die Massenzunahme gilt  = m_{0} *e^{\frac{t}{k} })
Meine Ideen:
Es wäre nett, wenn ihr mir einen Anstoss geben könntet, warum
i) Die Masse überhaupt von belangen ist. Wenn kein Luftwiderstand herrscht, dann gilt doch nur:  = -v_{o}*t-\frac{g}{2}*t^{2}) Ist es nicht völlig egal, ob die Masse zunimmt, oder nicht?
ii) Da wohl bei i) irgendwas nicht stimmt, sonst wäre die Massenabhängigkeit wohl nicht angegeben, könnt ihr mir irgendeinen Tipp geben? Für die Kraft gilt doch:
 = m(t) * x^{''}(t) + m^{'}(t)*x^{'}(t))
Ich seh nur noch nicht so ganz was mir das bringen soll.
Vielen Dank für eure Hilfe! |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 14. März 2010 19:53 Titel: |
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ohne Luftwiderstand zu rechnen ist bei einem Regentropfen ziemlich falsch...
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Solaris2011
Gast
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| Solaris2011 Verfasst am: 14. März 2010 20:24 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | ohne Luftwiderstand zu rechnen ist bei einem Regentropfen ziemlich falsch... |
Hallo Schnudl,
das stimmt sicherlich, aber in der Aufgabe war explizit darauf hingewiesen, dass der Luftwiderstand nicht betrachtet werden soll, das ist auch ein Mitgrund für meine Fragen. |
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Solaris2012
Gast
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| Solaris2012 Verfasst am: 14. März 2010 20:29 Titel: |
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Ergänzung: Gefragt war auch noch, wie  zu wählen ist, damit eine konstante Geschwindigkeit möglich ist. AU hchier habe ic hkeinerlei Idee, wie ich daran gehen soll, da sich mir nicht erschliesst, warum die Geschwindigkeit konstant sein sollte.
Oder ist es eine Fangfrage und = Lichtgeschwindigkeit? |
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K89
Gast
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| K89 Verfasst am: 14. März 2010 20:58 Titel: |
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Ich würde sowas probieren
ma=mg-dm/dt*v
Das gegebene m bzw dm/dt einsetzen
Durch die aufgenommene Masse ensteht eine Gegenkraft |
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Solaris2013
Gast
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| Solaris2013 Verfasst am: 14. März 2010 21:20 Titel: |
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| K89 hat Folgendes geschrieben: | Ich würde sowas probieren
ma=mg-dm/dt*v
Das gegebene m bzw dm/dt einsetzen
Durch die aufgenommene Masse ensteht eine Gegenkraft |
Warum entsteht durch die aufgenommene Masse eine Gegenkraft? Der freie Fall ist doch unabhängig von der Masse? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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| VeryApe Verfasst am: 15. März 2010 03:33 Titel: |
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| Solaris hat Folgendes geschrieben: |
Warum entsteht durch die aufgenommene Masse eine Gegenkraft? Der freie Fall ist doch unabhängig von der Masse?
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ich denke mal damit der Tropfen überhaupt an Volumen zunehmen kann muß er ja einen Wassertropfen treffen der langsamer ist als er.
Dadurch ereignet sich ein plastischer Stoss. wodurch der gesamte Wassertropfen dann einen langsameren Impuls haben muß.
geht man jetzt davon aus das der Wassertropfen durch die übersättige Luftschicht Wasser aufnimmt, so müßte man dieses Wasser Impuls los betrachten v=0. denn die Luftschicht steht ja über den Boden, wobei diese Betrachtung wahrscheinlich auch nicht real ist, aber was solls, wenn wir schon auf den Luftwiderstand verzichten.
| Solaris hat Folgendes geschrieben: |
Für die Massenzunahme gilt  = m_{0} *e^{\frac{t}{k}}) |
Bei aufgenommenes Wasser ist Impulslos.
entspricht die Impulsänderung der momentan wirkenden Gewichtskraft*(dt->0)
=\sum^{t/dt}_{n->1} dp_{n}+m_{o} \cdot v_{0} )
=m_{0} \cdot g \int^{t}_{0} e^{\frac{t}{k}} + m_{o} \cdot v_{0} )
=\frac {p(t)}{m(t)} )
welche Anfanggeschwindigkeit benötigt man damit v(t)=konst =v0
v(t)'=0 |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 15. März 2010 09:46 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | ich denke mal damit der Tropfen überhaupt an Volumen zunehmen kann muß er ja einen Wassertropfen treffen der langsamer ist als er. |
Und Gott sandte den ersten Tropfen?
mfG |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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| VeryApe Verfasst am: 15. März 2010 12:03 Titel: |
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@ Franz,  ?
woher der erste Regentropfen kam ist eigentlich egal, fakt ist das einer da gewesen ist und den beschreibt man auf den Zeitursprung zu t=0 mit m0*v0. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 15. März 2010 14:03 Titel: |
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Beim Aufstellen der Differentialgleichung für diese Aufgabe wird es vor allem darum gehen, zu beschreiben, wie der Tropfen durch Aufnahme neuen Wassers aus der übersättigten Luft langsamer wird.
Um das rechnen zu können, würde ich folgende Annahmen und Überlegungen reinstecken:
* Die Dichte von Wasser in der übersättigten Luft sei bekannt (oder aus Überlegungen zu übersättigter Luft bestimmbar oder abschätzbar)
* Alles Wasser aus dem Luftvolumen, das der Tropfen auf seinem Weg durchstreicht, wird in den Tropfen mit aufgenommen.
* Die Wasserteilchen in der übersättigten Luft sollen die Geschwindigkeit Null haben, also in der Luft schweben.
* Wenn der Wassertropfen Wasser aus der Luft aufnimmt, gilt die Impulserhaltung wie bei einem inelastischen Stoß, der Wassertropfen nach Aufnahme von ein bisschen Wasser ist also nicht nur größer, sondern hat durch die Impulsmittelung denselben Impuls und damit eine kleinere Geschwindigkeit als zuvor.
Das Aufnehmen von neuem Wasser hat also einen bremsenden Effekt auf den Wassertropfen.
Wie groß dieser bremsende Effekt ist, wird in den Gleichungen von der Geschwindigkeit des Tropfens und von der Querschnittsfläche des als Kugel angenommenen Tropfens abhängen, denn diese beiden Größen bestimmen, wieviel Wasser pro Zeit der Tropfen aus der übersättigten Luft aufnimmt.
* Durch die Gravitationskraft wird alles Wasser, das sich bereits im Tropfen befindet, nach unten hin beschleunigt. Diese Beschleunigung wirkt dem bremsenden Effekt durch Aufnahme von neuem Wasser entgegen. Auch das wird also in die aufzustellende Bewegungsdifferentialgleichung einfließen müssen.
Solaris, magst du mal versuchen und hier zeigen, wie weit du damit bisher selbst schon kommst, wenn du versuchst, mit solchen Überlegungen anzufangen, die Bewegungsgleichung für diese Aufgabe aufzustellen und hinzuschreiben?
Schreibe übrigens gerne auch den vollständigen wörtlichen Text der Aufgabenstellung hier auf, denn von dem hängt es natürlich entscheidend ab, welche Größen bereits gegeben sind, welche Größen du selbst einführen musst, und welche Schritte du beim Aufstellen der Differentialgleichung selbst finden musst, im Gegensatz zu den Schritten, die in der Aufgabenstellung bereits alle angedeutet sind als Hilfen zur Vorgehensweise, die du bereits durch die Aufgabenstellung bekommst. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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| VeryApe Verfasst am: 15. März 2010 14:16 Titel: |
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@Markus Differentialgleichung? die Massenzunahme ist doch schon bekannt und hängt von der Zeit ab. Was ist überhaupt dieser k Faktor.
Hängt das k von der Geschwindigkeit ab?. -> Differentialgleichung
Wenn er konstant ist -> Lösung siehe oben.
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 15. März 2010 14:23, insgesamt einmal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 15. März 2010 14:22 Titel: |
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Danke, VeryApe, für den Tipp, dass die Form der Massenzunahme ja auch schon mit angegeben war. In dieser Gleichung scheint das k vom Aufgabensteller möglicherweise als Konstante annehmbar vorgegeben worden zu sein. Dann vereinfachen sich dadurch einige der Schritte, die ich bisher erwähnt habe.
Auch dies spricht weiter dafür, dass es das Helfen sehr erleichtern würde, wenn du die komplette wörtliche Aufgabenstellung hier reinstellen würdest, Solaris. Dann müssten wir uns viel weniger Gedanken über Dinge machen, die vielleicht einfach schon fertig in der Aufgabenstellung vorgegeben sind, und könnten dir viel schneller anfangen, diejenigen Tipps für diejenigen Stellen zu geben, an denen es bei dir beim Bearbeiten und Lösen dieser Aufgabe bisher noch haken könnte.  |
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Solaris2014
Gast
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| Solaris2014 Verfasst am: 15. März 2010 19:40 Titel: |
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Danke für eure Hilfen ich denke ich habe die Aufgabe jetzt gelöst.
k ist eine Konstante und nicht von anderen Grössen abhängig.
Gegeben in in der Aufgabe war: x(0) = 0 und Startgeschwindigkeit ist . Ausserdem wurde noch geschrieben, dass während des Fall die Gravitationskraft m(t) * g wirke.
Meine Lösung:
 = m(t) * x^{''}(t) + m^{'}(t)*x^{'}(t) ) ist gleich gross wie die Graviationskraft:
 * x^{''}(t) + m^{'}(t)*x^{'}(t) = m(t) * g)
Dann habe ich für m(t) den obigen Ausdruck eingesetzt integriert. Die dann erhalten Differentialgleichung war mit Variation der Konstanten zu lösen. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 15. März 2010 20:50 Titel: |
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Frage am Rande
| Solaris2014 hat Folgendes geschrieben: | | k ist eine Konstante und nicht von anderen Grössen abhängig. |
Mir erschließt sich beim flüchtigen Überblättern dieser vorgegebene Massenzuwachs nicht. (Bei der früheren Aufgabe war dm/dt ~ Oberfläche.)
mfG |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 16. März 2010 01:35 Titel: |
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| Solaris2014 hat Folgendes geschrieben: |
Meine Lösung:
ist gleich gross wie die Graviationskraft:
Dann habe ich für m(t) den obigen Ausdruck eingesetzt integriert. Die dann erhalten Differentialgleichung war mit Variation der Konstanten zu lösen. |
Einverstanden, dieser Ansatz erscheint mir korrekt
Vielleicht magst du gerne noch zur Kontrolle deines Endergebnisses mit dem Weg vergleichen, den VeryApe hier schon beschrieben hat? (Die beiden Zwischenschritte mit den Summenzeichen kann man dabei natürlich auch weglassen, wenn man sich auch so überlegen kann, dass die Integrationskonstante so zu wählen ist, dass  ist.)
ich würde vermuten, die Differentialgleichung aus VeryApes Ansatz ist nochmal ein gutes Stück einfacher zu lösen, da man sie direkt integrieren kann. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 16. März 2010 01:38 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Frage am Rande
| Solaris2014 hat Folgendes geschrieben: | | k ist eine Konstante und nicht von anderen Grössen abhängig. |
Mir erschließt sich beim flüchtigen Überblättern dieser vorgegebene Massenzuwachs nicht. (Bei der früheren Aufgabe war dm/dt ~ Oberfläche.)
mfG |
Da das vom Aufgabensteller so vorgegeben war, braucht man sich natürlich als Lösender hierum nicht unbedingt zu kümmern. Ich würde aber nicht ausschließen, dass diese Wahl für die Form des m(t) schlicht eine geschickt gewählte Vorgabe oder Näherung des Aufgabenstellers ist, mit der man die Aufgabe prima auf recht einfache Art und Weise analytisch lösen kann. |
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