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Mr.Mechanik
Gast
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 Mr.Mechanik Verfasst am: 09. Feb 2010 13:33 Titel: Drehzahl einer Scheibe |
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Eine horiztonal gelagerte Scheibe der Masse 100kg als Experimentierfläche dreht sich um die Achse A und vollführt 10 Umdrehungen pro Minute. Eine Person (60kg) steht dabei auf dem Rand der Scheibe mit einem Radius von 3m.
Wie groß ist die Drehzahl der Scheibe pro Minute, wenn sich die Person vom Rand der Scheibe bis auf einen Abstand von 0,5m der Achse genähert hat? Die LAgerung der Scheibe sei reibungsfrei und die Person werde als Massenpunkt angesehen.
So dazu habe ich den Lösungsweg, kann aber nicht nachvollziehen, wieso man bei J= 1/2 mr² ein 1/2 einsetzt. Eigentlich ist die Konstante doch nur mr²! Da komm ich einfach nicht weiter. |
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Mr Mechanik
Gast
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| Mr Mechanik Verfasst am: 09. Feb 2010 13:35 Titel: |
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Pardon ich meine nicht Konstante sondern Trägheitsmoment. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 09. Feb 2010 14:38 Titel: |
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Weil sich die Masse einer Scheibe nicht komplett im Radius R befindet sondern kontinuierlich von Mittelpunkt bis zum Radius R verteilt ist. |
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Mr Mechanik
Gast
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| Mr Mechanik Verfasst am: 09. Feb 2010 16:22 Titel: |
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Und wieso dann ausgerechnet die Hälfte? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 09. Feb 2010 16:36 Titel: |
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Um diese Frage dir beantworten zu können, musst du mich über deinen Wissensstand informieren. Was weißt du über die Berechnung von Trägheitsmomenten ? Kennst du dich mit Integration aus ?
Solltest du keine wirkliche Kenntnis davon haben, dann musst du dich leider damit abfinden, dass dieser Wert (1/2) auf jeden Fall kleiner sein muss als 1, warum er aber gerade 1/2, kann ich aber nicht erklären ohne viel zu weit auszuholen. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 09. Feb 2010 16:51 Titel: |
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m*r² gilt ja nur für eine Punktmasse.
Die Scheibe kannsd du genauso in kleine Punktmassen dm zerlegen für die gilt das.
Die Massepunkte der Scheibe liegen aber nicht alle am selben Radius manche liegen weiter innen manche liegen weiter aussen.
Die die weiter aussen liegen haben ein viel größeres dm*r² als die die innen liegen im Durchschnitt über alle kann man rechnen die gesamtmasse = summe aller dm -> m/2 * r². Gilt aber nur für eine Scheibe.
Den Menschen der da drüber geht darfsd du eigentlich auch nicht als punktmasse betrachten. Den müßtest du auch in kleine Punktmassen dm->0 zerlegen und berücksichtigen das alle einen anderen radius zum drehpunkt haben.
Aber in der Schulphysik macht man halt Vereinfachungen sonst blicken die Schüler gar nicht mehr durch |
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Mr Mechanik
Gast
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| Mr Mechanik Verfasst am: 09. Feb 2010 17:55 Titel: |
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Ok Dankeschön, ich studier Ingenieurwissenschaften. Und gerade das dm hat mir auch Probleme bereitet.
Habe nämlich eine Aufgabe, in der ich den Trägheitsmoment ausrechne und da muss ich x integrieren und das würde r² entsprechen. Hab dann die Integration aus r²dm und nebendran haben wir aufgeschrieben dm=roh * dv und dv=A*dx! Kann ich überhaupt nicht nachvollziehen, dv soll doch die Geschwindigkeitsveränderung darstellen. Und wie ich da auf die Massenveränderung mittels roh komme?
Haben dann weiter dort stehen Integration aus roh A*dx*dm und haben letztendlich raus roh*a*1/3*L³, was wir dann zu 1/3 ml²*3 formen? Kann ich nicht nachvollziehen.
Jedenfalls kann ich das mit dm und dv überhaupt nicht nachvollziehen. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 09. Feb 2010 18:37 Titel: |
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Trägheitsmoment berechnen von was.
Bei der Trägheitsmomentberechung kann man ja alle Massepunkt dm die denselben Radius haben zusammenfassen.
Sprich bei einem Zylinder wären das lauter kleine Kreisringe mit der Dicke dr.
Das Volumen eines solchen Kreisringes nimmt ja mit dem Radius zu.
Betrachtest du nun wie das Volumen des Kreisringes über den Radius zunimmt hast du.
= ((r+dr)² -r²) \cdot \pi \cdot b )
b....Breite der Scheibe...eine Konstante
= (r²+2 r dr +dr² -r²) \cdot \pi \cdot b )
= (2 r dr +dr²) \cdot \pi \cdot b )
wobei bei dr->0 dr² zu vernachlässigen ist weil es selbst mit einer unendliche großen Zahl multipliziert immer noch eine Zahl gegen 0 ergibt.
0,0001*10000 =1
(0,0001)² *10000=0,0001
Somit kann man schreiben:
= 2 r dr \cdot \pi \cdot b )
= \varrho \cdot \pi \cdot b \cdot 2 r dr )
da alle massepunkte in diesem Kreisring denselben Radius zur drehachse haben gilt:
= \int \varrho \cdot \pi \cdot b \cdot 2 r³ dr )
Das ganze braucht nur durch integration aufsummiert werden.
Man erhält.
= \varrho \cdot \pi \cdot b \cdot 2 \frac {r^{4}}{4})
Das Trägheitsmoment über den festdefinierten Radius R
= \varrho \cdot \pi \cdot b \cdot \frac {R^{4}}{2})
Die Masse des Gesamtkörpers über R:
das in die obige gleichung eingesetzt.
= M \cdot \frac {R^{2}}{2}) |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 09. Feb 2010 19:14 Titel: |
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| Mr Mechanik hat Folgendes geschrieben: |
Habe nämlich eine Aufgabe, in der ich den Trägheitsmoment ausrechne und da muss ich x integrieren und das würde r² entsprechen. Hab dann die Integration aus r²dm und nebendran haben wir aufgeschrieben dm=roh * dv und dv=A*dx! Kann ich überhaupt nicht nachvollziehen, dv soll doch die Geschwindigkeitsveränderung darstellen. Und wie ich da auf die Massenveränderung mittels roh komme?
Haben dann weiter dort stehen Integration aus roh A*dx*dm und haben letztendlich raus roh*a*1/3*L³, was wir dann zu 1/3 ml²*3 formen? Kann ich nicht nachvollziehen.
Jedenfalls kann ich das mit dm und dv überhaupt nicht nachvollziehen. |
Also du berechnest das Trägheitsmoment ja wie folgt:
Nun kannst Massenelement dm als Dichte mal Volumenelement schreiben (dV ist also keine Geschwindigkeit, sondern ein Volumenelement):
Nun bieten sich Polarkoordinaten an und du integrierst entsprechend von 0 bis R und von 0 bis 2 Pi. Das Volumenelement kannst du durch das entsprechende Flächenelement in Polarkoordinaten mal der Breite b der Scheibe ersetzen, damit erhältst du:
Wenn du das nun ausrechnest und beachtest, dass gilt:
dann kommst du auf das Endergebnis:
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Mr Mechanik
Gast
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| Mr Mechanik Verfasst am: 09. Feb 2010 20:45 Titel: |
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Ah sehr cool, danke!
Mensch, die Dozentin schreibt dv und nicht dV, da muss man erstmal draufkommen, wenn die das auch nicht bei Namen nennt. 
Vielen Dank euch!!!! |
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