Definition des Drehmoments

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Der Drehimpuls eines Systems aus n Massenpunkten ist definiert durch:

Dabei bezeichnet

den Abstand eines i-ten Massenpunktes vom Koordinatenursprung.

Das Drehmoment ist ja nun die zeitliche Ableitung des Drehimpulses, also:

Wobei nur noch äußere Kräfte eine Rolle spielen.

sollte immer noch den Abstand eines i-ten Massenpunktes vom Koordinatenursprung bezeichnen.

Wenn ich dies mit einen anderen Definition vom Drehmoment,

, vergleiche, bezeichnet hier

den Abstand von der Drehachse und nicht mehr vom Koordinatenursprung.

Wie sind diese unterschiedliche Definition von

miteinander vereinbar ?

Rmn · Gast

Das ist keine andere Definition von Drehmoment, da ist genau dasselbe nur für n=1.
r ist ein Ortvektor des Massenpunkt und seine Länge ist der Abstand vom Koordinatenursprung.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich denke dass die zweite Definition des Drehmoments über den Normalabstand der Punkte zur Drehachse nur das Drehmoment in Richtung der Drehachse beschreibt. Man kann ja einen allgemeinen Punkt

immer zusammensetzen aus einem Abstand von einem festen Punkt O auf der Drehachse in Achsenrichtung (z) plus einem Radialvektor R:

Das Drehmoment bezuglich des festen Punktes O ist dann

Seine z-Komponente (in Achsenrichtung) ist dann

was genau der bekannten Definition entspricht.

Aber natürlich gibt es i.A. auch Komponenten des Drehimpulses, welche nicht in Richtung der Drehachse zeigen. Das ist beim starren Körper der Fall, wenn die Drehachse nicht mit einer Hauptachsenrichtung zusammenfällt.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Dies ist auch die Defintion für die Summe der Kraftmomente um einen bliebigen Punkt.

Das Drehmoment ist ein Spezialfall des Kraftmomentes bei dem zusätzlich folgendes gültig ist.

Zur Erinnerung ein drehmoment bildet nur ein Kräftepaar betragsgleich entgegengesetzt und da zählt nur noch der Normalabstand dazwischen.

währendessen aber jede Kraft zu irgendeinen Punkt im Raum ein Kraftmoment erzeugt, was bei der Summenbildung aufdasselbe rauskommt zu

wobei r der Abstand zum Drehlager ist.
Im Drehlager wirkt ja genau die Kraft die die Summe aller Fi=0 vollendet.
für aussenstehende Kräfte.

irgendein Punkt im Raum. F2 = die Kraft im Drehlager, sehr simples Beispiel

Summer aller M= F1* r1 + F2 * r2.
mit summe aller Fi=0 -> F1=F2 und y sei der Abstand vom Drehpunkt zum Koordinatenpunkt.

M=F* (r+y) - F *y = F * r

beim Massenimpuls bezüglich eines Punktes oder beim Trägheitsmoment bezüglich eines Punktes nicht gültig ist.

Das kann man leicht erkennen wenn man eine rotation ausserhalb der Schwerpunktachse beobachtet.
dann haben wir immer eine größere Summe Trägheitskräfte Fi die positiv wirkt und eine kleinere Summe Trägheitskräfte Fi die negativ wirkt oder umgekehrt.. bei betrachtung summer aller F in x Richtung.

Zum Beispiel das Pendel einer Uhr hier liegt ja mehr Masse unter dem Drehpunkt als über den Drehpunkt. die Trägheitskräfte über den Drehpunkt zeigen in eine andere Richtung als unter den Drehpunkt.
Jedoch heben sie sich nicht auf. weil unten viel mehr masse ist und noch viel mehr beschleunigung auftritt weil die Massen alle mehr abstände zum Drehpunkt haben..

Darum ist es auch nicht egal um welchen Punkt ich drehe. wär die Summe aller Fi=0 wie beim Drehmoment, dann wär das Trägheitsmoment um jeden Punkt um den ich drehe immer konstant gleich groß.

ich hoffe ihr versteht was ich meine.

MFG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Physikalisch bezieht sich die Definition von Drehmoment und Drehimpuls natürlich meist auf eine physikalisch festgelegte Drehachse.

Gibt man in einer Aufgabe oder in einer Formel aber mal nicht explizit an, was genau diese Drehachse ist, auf die sich das beziehen soll, ist meiner Erfahrung nach dann meistens eine Drehachse gemeint, die durch den Koordinatenursprung geht und senkrecht auf dem Verbindungsvektor vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt des betrachteten Körpers steht.

Eine Angabe eines Drehimpulses oder eines Drehmomentes ohne explizite Angabe der zugehörigen Drehachse geht also normalerweise davon aus, dass die Lage dieser Drehachse eindeutig genug aus dem Zusammenhang klar ist oder der naheliegendsten Konvention wie eben genannt entspricht.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Kleine Ergänzung:
Ich denke, dass zur Eindeutigen Festlegung von Drehimpuls und Drehmoment nicht eine Achse gegeben sein muss, sondern lediglich ein Referenzpunkt, auf den sich die Grössen Beziehen. Natürlich gibt es bei Drehungen immer eine momentane Drehachse, aber diese kann sich mit der Zeit räumlich ändern und ist i.A. nicht fix orientiert (Kreisel).

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt, danke, schnudl smile

Damit kann ich meinen Gedanken von oben wie folgt besser formulieren:

Drehimpuls und Drehmoment sind bezüglich eines Bezugspunktes definiert. In den Fällen (Aufgaben, Situationen, ...), in denen dieser Bezugspunkt nicht explizit erwähnt wird, und in denen er sich nicht "von selbst" aus dem Zusammenhang ergibt, ist mit diesem Bezugspunkt im Zweifelsfall einfach der Ursprung des gewählten Koordinatensystems gemeint.

In manchen Fällen und Zusammenhängen kann es obendrein Sinn machen, von einer Drehachse zu sprechen, insbesondere in den Fällen, in denen diese Drehachse konstant bleibt, zum Beispiel weil sie durch eine mechanische Vorrichtung vorgegeben ist. Dann geht diese Drehachse durch den oben genannten Bezugspunkt und hat dieselbe Richtung wie die Vektoren

und

.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Danke fürs schnelle korrigieren, schnudl smile

Was ich oben zur Drehachse geschrieben hatte, stimmt so in der Tat nur in vielen Spezialfällen, aber nicht als allgemein gültige Aussage.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Nachsatz ich will festhalten das es egal ist um welchen Punkt man dreht das, Drehmoment bleibt immer gleich, weil es aus paarweisen Kräften besteht, die sich gegenseitig aufheben und somit nur der Abstand zwischen diesen zählt, aber nicht der Abstand zu einem beliebigen Punkt im Raum.

Beim Trägheitsmoment bzw Drehimpuls ist das anders der hängt von der Drechachse ab als der Punkt der drehenend wirkt.

der Unterschied ist eben darin das bei einem gilt
Summer aller Fi=0

und beim anderen gilt das nicht.

deswegen kann man auch beim statischen Gleichgewicht jeden x beliebigen drehpunkt wählen und hierfür die Kraftmomente einsetzen und erhält immer dasselbe.

das hab ich hier schon mal wem erklärt aber ich wer das jetzt sicher nicht nochmal ausführen.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Ich vermute aber das in diesem Forum nicht unterschieden wird zwischen Drehmoment und Kraftmoment. das tun übrigens den wenigsten.

Mechanic Basics.

Kraftmoment ist Kraft mal Normalabstand.

Drehmoment ist Kräftepaar mal Normalabstand zwischen diesen,

Ein Drehmomen dreht den Körper auf der Stelle ohne Translation.

Ein Kraftmoment ist hingegen eine einzelne Kraft mal Normalabstand.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Der Unterschied nach Mechanik Lehrbuch, damit niemand glaubt ich erzähl blödsinn Augenzwinkern

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Das Kraftmoment

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

demnach haben die beiden Kräfte im Schaubild des Drehmoments.

zu jeden beliebigen Bezugspunkt unterschiedlich große Kraftmoment.

Sie besitzen aber zu jeden Bezugspunkt nur ein Drehmoment und das ergibt sich aus der Differenz der zwei Kraftmomente des Paares.
und ist immer gleich groß, egal welcher Bezugspunkt. Nur der zwischen Abstand zählt, leicht mathematisch zu beweisen.