Fragen zu den Herleitungen der Trägheitsmomente

Philister · Anmeldungsdatum: 29.11.2009 Beiträge: 6

Hi, ich durchkämpfe mich gerade durch die Trägheitsmomente,
und bin auf Matroids Matheplanet auf eine relativ brauchbare Erklärung und Herleitung für simple Zylinder gekommen.

Für Integrale der Trägheitsmomente wird ja zuerst von der Grundformel für punktförmig verteilte Massen ausgegangen, also:

Da wir da den Körper als eine Summe aus nahezu unendlichen, infitesimal kleinen Maßestücken in den varierenden Abständen

betrachten können wir die Formel als Integral schreiben:

Da die Masse M umschreibbar ist als:

Lässt sich also schreiben:

Soweit so gut, nun komm ich auf mein Verständnisproblem.
Das Trägheitsmoment des Zylinders wird berechnet indem man nach den einzelnen Koordinaten des Zylinderkoordinaten integriert. Wobei r^2 für den Bezug auf die z-Achse als r^2 = x^2 + y^2 umgedeutet werden kann, was allerdings ausnahmsweise vernachlässigbar ist, da durch einsetzen der Transformationen von Zylinderkoordinaten (x = r*cos a; y= r+sin a) in kartesische Koordinaten letzendlich wieder r^2 rauskommt.

Nun wird bei Matroid dV ersetzt mit:

Ich verstehe allerdings nicht, warum das r nochmals mit in die Formel reinkommt und dann letzendlich aus der Formel folgender Term wird:

Ich bin äußerst dankbar für alle Antworten und Erklärungen, die mir schildern, warum r^2 nochmals mit r multipliziert wird. Wahrscheinlich werd ich im Verlauf des Threads auch noch weitere Fragen zu den Herleitungen der Trägheitsmomenten stellen, da mir Volumenintegrale noch ein bisschen Kopfzerbrechen bereiten.

Nerto · Anmeldungsdatum: 29.10.2009 Beiträge: 34

Hi
also

das r entsteht bei der Herleitung des Integral in Zylinderkoordinaten. (finde gerade keine Herleitung aber falls ich eine finde füge ich sie ein)

Sehr einfache Erklärung:
Du integrierst über ein Volumen also brauchst du drei Längeneinheiten, aber da du auch über einen Winkel integrierst, braucht man noch eine zusätzliche Längeneinheit deswegen steht ein doch ein r.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Ich würde das ganze eher physikalischer erklären, was es glaub ich verständlicher macht.

Das drehmoment eines Massenpunktes bezüglich einer Drehachse ist nach den newtonschen Axiom.

dM=dm*a*r

Da bei der Kreisbewegung jeder Massepunkt dm der nicht auf denselben Radius zur Drehachse liegt eine andere Beschleunigung erfährt ist das unmittelbare Mass also die Konstante für die Kreisbeschleunigung die Winkelbeschleunigung alpha, sie ist das Gegenstück zu der konstanten Beschleunigung a bei der Translation. da sich a immer aus a=alpha *r berechnen lässt.

somit erhalten wir für das Drehmoment.

dM=dm* alpha * r²

Da man eine Formel wollte die der Translation gleich steht,
nämlich

dF=dm*a

Müssen wir die Gleichung dM=dm* alpha * r² umstellen zu

dM= dm*r² * alpha

dm*r² enstpricht dem Widerstand gegen die Drehbeschleunigung entspricht also der Drehmasse, was man später als Trägheitsmoment umbenannt hat

dM=dI * alpha

dI=dm*r²

Wie du schon erwähnt hast kann man auch für

schreiben

Nun ist es aber nicht ein leichtes über sämtliche unendliche Massepunkte eines Körpers zu rechnen. Deswegen fasst man zunächst die Massepunkte zusammen die alle am selben Radius zur Drehachse liegen, weil sie alle den gleichen Radius und die gleiche Beschleunigung als Konstante haben.
Das wär bei einem Zylinder der sich um seine Längsachse rotiert immer ein Zylindermantel. Also als Fläche ein Kreisring und das über eine Konstante Breite b ergibt das Volumen eines Zylindermantels.
Die Kreisringfläche ist aber abhängig von Radius und somit auch das Volumen des Zylindermantels. Sie nimmt mit dem Radius zu also A(r) eine Funktion von r. somit kommt hier das dritte r ins Spiel.

Nun zur Zusammenfassung. zur Erinnerung

dM= dm*r² * alpha
dI=dm*r²

In dem r² stecken 2 r.

1. Das erste r ergibt sich aus dem Grundgesetz des Drehmomentes Kraft * RADIUS.

2. Das zweite r ergibt sich daraus das es bei der Drehbewegung keine konstante Beschleunigung a gibt sondern nur eine konstante Winkelbeschleunigung alpha und die multipliziert erst mit RADIUS die benötigte beschleunigung für das Drehmoment ergibt. denn man mulitpliziert ja das ganze zum Schluss M=I * alpha.

3.

das dritte r kommt dadurch zustande da man alle Massepunkte die am selben Radius liegen zusammenfassen kann. Da aber die Anzahl der Massepunkte mit dem Radius zusammenhängt, ist also die Zusammenfassung Radius abhängig.

Es kann natürlich auch noch Körper geben bei dem ein viertes r ins spiel kommt oder ein 5 r.

Das wär zum Beispiel wenn die Breite nicht konstant wär sondern auch noch von Radius abhängt b(r). oder wenn die Flächefunktion A(r) r² oder r³ beinhalten würde

Gajeryis · Anmeldungsdatum: 08.10.2009 Beiträge: 194 Wohnort: CH - Bern