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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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 stereo Verfasst am: 15. Nov 2009 17:00 Titel: Fallschirmspringer und der freie Fall |
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Hallo,
wir haben in Mathe folgende Aufgabe bekommen und ich habe gerade ein Brett vorm Kopf.
Ein Fallschirmspringer springt aus 1,5 km Höhe, öffnet den Fallschirm aber erst in 500m Höhe. Wie lange flog er im freien Fall? Benutzen sie folgende Annahmen:
- Die Anfangsgeschwindigkeit ist 0 und es wird nur die Komponente in Richtung Erde betrachtet.
- Der Luftwiderstand ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.
- Die Grenzgeschwindigkeit für t -> oo des freien Falls beträgt (in der Luft) 50 m/s
Zur Lösung:
=h_0 = 1500 ~ \operatorname{m} \quad \text{ ... Anfangshöhe})
=v_0=0)
=h_1 = 500 ~ \operatorname{m})
 = 50 ~ \frac{\operatorname{m}}{\operatorname{s}})
Also habe ich die DGL aufgestellt:
Jetzt wollte ich mit Trennung der Variablen weiter machen:
Hier hänge ich eigentlich gerade. Da das Integral ja nicht so einfach zu lösen ist bin ich mir nicht sicher ob das der richtige Weg zur Lösung wird.
Ich bin über jeden Tip dankbar. |
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Gajeryis
Anmeldungsdatum: 08.10.2009
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| Gajeryis Verfasst am: 15. Nov 2009 17:49 Titel: |
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Erster Tipp:
Du hast die positive Richtung und den Nullpunkt der x Koordinate gleich der Höhe über Grund gesetzt. Demzufolge wird die Geschwindigkeit negativ sein, ebenfalls die Beschleunigungskraft durch Gravitation. Die Beschleunigungskraft durch Luftwiderstand wirkt dann wiederum in positiver x-Richtung.
Damit kriegst du andere Vorzeichen. Die DGL wird zu
Nichts schlimmes, nur damit wir von Beginn weg die Sache richtig machen.
Zweiter Tipp:
Schau dir mal die hyperbolischen Funktionen (bzw. deren Umkehrfunktionen) an, vor allem wie deren Ableitungen aussehen. Wikipedia ist durchaus eine verlässliche Quelle. |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 15. Nov 2009 18:15 Titel: |
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| Gajeryis hat Folgendes geschrieben: | Erster Tipp:
Du hast die positive Richtung und den Nullpunkt der x Koordinate gleich der Höhe über Grund gesetzt. Demzufolge wird die Geschwindigkeit negativ sein, ebenfalls die Beschleunigungskraft durch Gravitation. Die Beschleunigungskraft durch Luftwiderstand wirkt dann wiederum in positiver x-Richtung.
Damit kriegst du andere Vorzeichen. Die DGL wird zu
Nichts schlimmes, nur damit wir von Beginn weg die Sache richtig machen.
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Oh ja stimmt. Fehler von mir 
Ich rechne nicht gern mit den hyperbolischen Funktionen, da wir diese nie richtig eingeführt haben.
Ich versuche das grad mit Picard Lindelöf zu machen, da ich ja weiß dass v beschränkt ist. Also:
 = - g + cv^2)
Jetzt schau ich mir die Lipschitz-Stetigkeit an:
 - \operatorname{f} (t,u) || = || -g +cv^2 +g-cu^2 || = c || u+v || \cdot || u-v ||)
Da die Geschwindigkeiten Beschränkt sind ist auch der Ausdruck  nach oben abschätzbar.
Somit besitzt die DGL eine Lösung. Jetzt bin ich wieder am rätseln. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 15. Nov 2009 18:39 Titel: |
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mit dem Separationsansatz liegst du ja schon auf der richtigen Seite... Wo ist nun das Problem?
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 15. Nov 2009 18:44 Titel: |
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Das Integral kann ich nicht mit den Mitteln lösen, die ich kenne. Nun suche ich mir Sachen aus der Vorlesung zusammen.
Das ist eine Mathematikvorlesung, also in Mathematica reinhauen und hinschreiben ist damit nicht getan - obwohl das Physiker gerne machen  |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 15. Nov 2009 18:48 Titel: |
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Schaffst du es, das Integral auf die Form
zu bringen?
Was kannst du nun anwenden um dieses zu lösen? Der Integrand ist eine rationale Funktion in x, wobei der Grad des Zählers kleiner als Grad des Nenners ist...klingelts's nun?
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Gajeryis
Anmeldungsdatum: 08.10.2009
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| Gajeryis Verfasst am: 15. Nov 2009 19:49 Titel: |
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Picard Lindelöf und Lipschitz sagt mir leider nix.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Der Integrand ist eine rationale Funktion in x, wobei der Grad des Zählers kleiner als Grad des Nenners ist...klingelts's nun? |
Daran hatte ich nicht gedacht.
Als ich mir diese Aufgabe mal gestellt habe, habe ich eine elegante Lösungsvariante gefunden:
Riccati-DGL
Man hat eine Gleichung in der Form:
 \cdot y^{2}(x) + g(x) \cdot y(x) + h(x))
Statt diese DGL zu lösen, löst man folgende DGL:
 + \frac{f{'}(x)}{f(x)} \right] \cdot z{'}(x) + [f(x) \cdot h(x) ] \cdot z(x) = 0)
Dann ist
 = - \frac{ z{'}(x) }{f(x) \cdot z(x) })
Okay, schauen wir uns die Sache mal an (ich habe  ersetzt):
 = c) ;  = 0) ;  = 0) ;  = a)
Damit ist die Ersatz-DGL:
Damit wirds sehr sehr einfach.
Des Weiteren muss man eben folgende Verbindung zwischen den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen kennen (welche sich übrigens mit komplexen Identitäten herleiten lassen):
 ; 
Ich habe die ganze Berechnung der Aufgabe als vorbereitetes Posting bei mir in petto, falls du's nötig haben solltest. Sind nur ein paar Zeilen mehr. |
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Röhrenfan
Anmeldungsdatum: 29.09.2009
Beiträge: 129
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| Röhrenfan Verfasst am: 15. Nov 2009 20:51 Titel: |
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Ich werfe mal das Stichwort Trennung der Variablen und Partialbruchzerlegung in die Debatte, das funktioniert ...
Ist es das, was schnudl in Sinn hatte? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 15. Nov 2009 20:59 Titel: |
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| Röhrenfan hat Folgendes geschrieben: | | Ist es das, was schnudl in Sinn hatte? |
ja
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 15. Nov 2009 21:10 Titel: |
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Danke für eure zahlreichen Lösungsvarianten, aber ich schau mir das jetzt erstmal mit dem Satz aus der Vorlesung an. Da ich es bestimmt damit lösen muss.
Ich melde mich morgen nochmal  |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 16. Nov 2009 23:00 Titel: |
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Ok, der Picard Lindelöf sagt nur was zur Existenz. Das war dann wohl ein Fehler meinerseits Entschuldigung.
Ich setzt hier ein:
NR:
So dann komme ich jetzt zum Schluss sowas:
-c_2 \right))
Ja, bin ich auf dem richtigen Weg? Ich muss auch mal schauen inwieweit ich das jetzt noch vereinfachen kann |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 17:43 Titel: |
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Die Integrale werden so kompliziert und selbst Mathematica ist mir hier keine Hilfe da es bestimmt einige Identiäten zu den hyperbolischen Funktionen gibt, welche ich nicht kenne.
Was nützt mir die Form
Ich schaffs auch nicht die so zu erzeugen, das einzige was ich zu dem Integral weiß ist:
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 17. Nov 2009 18:29 Titel: Re: Fallschirmspringer und der freie Fall |
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Du hast ja das Integral
(korrigiert; siehe unten)
nun kannst du setzen
und bekommst
Nun verwendest du
)
und kannst leicht integrieren:
- \ln(1+x) \right))
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Zuletzt bearbeitet von schnudl am 17. Nov 2009 20:01, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 18:33 Titel: Re: Fallschirmspringer und der freie Fall |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Du hast ja das Integral
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Danke für deine Hilfe. Das m ist doch zuviel bei dir in der Gleichung. Ansonsten versuch ich es doch mal analog
edit: Du hast auch andere Vorzeichen, also du legst deine Achsen anders.
edit2: hat sich geklärt |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 17. Nov 2009 18:37 Titel: |
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Ich habe mich an deiner ersten geposteten Gleichung orientiert. Dass man es auch andersrum machen kann, wurde schon erwähnt. Es geht ja hier bloss um das Prinzip.
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 18:42 Titel: |
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Ja stimmt.
Also das Integral habe ich ja auch gelöst und sofort eine formel für v raus bekommen. Du müsstest auf das Gleich kommen, sieht stark danach aus.
Mir geht es jetzt darum dass ich noch eine Geschwindigkeit angeben muss und die Beziehungen mit dem Ln so verzwickt sind dass man auf die hyperbolischen Funktionen greifen muss wenn man nicht 3 Blätter rechnen will.
Das krieg ich nicht so ganz hin von Hand, da wir noch nie damit gerechnet haben, geschweige denn eingeführt.
Zum Thema:
Man hat jetzt t(v), aber man sucht ja t(x). |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 19:25 Titel: |
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Hab nachgeprüft, sind die gleichen Integrale.
Ich stecke jetzt hier:
Oder halt bei dem was ich oben geschrieben habe, dort habe ich noch die Integrationskonstanten mit drin. Welche ja die Anfangsbedingungen sein müssten.
Ich habe kein Plan wie ich weiter machen soll. Also ich weiß schon was ich machen muss, aber mir fehlen grad bisschen die mathematischen Grundlagen. |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 17. Nov 2009 20:11 Titel: |
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Du kannst z.B. aus deiner nun bekannten Beziehung t(v) die Umkehrfunktion v(t) ausrechnen. v(t) integriert ergibt s(t).
Das wäre die Umkehrfunktion der gesuchten Beziehung t(s). Ist das nicht ausreichend?
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 20:20 Titel: |
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Ich habe:
)
Wenn ich das in Mathematica integriere komme ich auf den Logartihmus vom Cosinus Hyperbolicus. Ich kann das halt nicht nachvollziehen. Das sind Sachen die mich an meinem Ergebnis zweifeln lassen.
Ich glaube ich tippe das jetzt einfach bei Mathematica durch und schreibe das mit den hyperbolischen Funktionen ab, ich verbringe zuviel Zeit mit dem Zeug.
Danke für deine Hilfe |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 17. Nov 2009 20:33 Titel: |
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naja, wenn ich es aurechne komme ich auf etwas was ca so aussieht, wenn man zwecks Wegfall der lästigen Vorfaktoren normierte Variablen für t und v, t' und v' nimmt:
Das Integral
 = \int v' \dd t' = \int \frac{1-e^{t'}}{1+e^{t'}} \dd t')
ist aber nicht so wild...
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stereo
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 20:44 Titel: |
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Naja gut, du kennst dich sicherlich mit den hyperbolischen Funktionen aus. Und wie ich das Integral dort ausrechne wüsste ich jetzt auf Anhieb nicht. |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 17. Nov 2009 20:52 Titel: |
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was hat das mit hyperbolischen Funktionen zu tun? Ich hab einfach ent-logarithmiert und die v auf eine Seite geschaufelt.
Das verbleibende Integral kann man mit der Substitution
leicht knacken 
PS: Ich gebe aber zu, dass diese Gesamtrechnung nicht gerade viel Freude bereitet...Eine elegantere Lösung habe ich aber nicht. Siehe oben bez. Alternativen...
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 20:58 Titel: |
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Ach ich bin grad stark deprimiert. Ich rechne das einfach nochmal alles durch.
Danke für deine Tips. |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 21:08 Titel: Re: Fallschirmspringer und der freie Fall |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
und kannst leicht integrieren:
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- \ln(1+x) \right))
So ist doch richtig. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 17. Nov 2009 21:26 Titel: Re: Fallschirmspringer und der freie Fall |
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da
ist, folgt daraus
- \ln(1+x) \right])
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 21:33 Titel: |
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Danke |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 17. Nov 2009 21:37 Titel: |
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Was passiert hier mit den Integrationskonstanten? Die kann man doch nicht einfach weglassen?
Woher weißt du dass x immer zwischen 0 und 1 ist?
Ich weiß dass |v|<50ms^(-1) ist. |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 17. Nov 2009 22:19 Titel: |
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Allgemein natürlich:
Da t(v=0) = 0 sein muss, folgt C=0
Die Grenzgeschwindigkeit ist erreicht, wenn
also
oder
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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 15. Jun 2017 19:48, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
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| stereo Verfasst am: 18. Nov 2009 16:54 Titel: |
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So, ich hab jetzt die gleichen Integrale und alle gelöst
Heute ging es viel besser.
Dann komme ich auf das:
=\sqrt{\frac g c} \cdot t - \ln[1+ \exp(2\sqrt{gc} \cdot t)] \cdot \frac{1}{c^2} + \frac{c^2-1500}{\ln 2})
Die Einheiten müssen SI-Einheiten sein, dann stimmt das alles.
Wie stelle ich jetzt nach t um wenn ich x(t)=500 setze.
Irgendwie schaff ich es nicht |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 18. Nov 2009 19:02 Titel: |
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bei diesem Ergebnis bin ich sehr skeptisch:
a)
Für t=0 müsste sich doch x(0)=1500 ergeben...
Tut es das?
b)
Wenn c=0 ist (keine Dämpfung), so müsste sich das normale Fallgesetz ergeben:
x(t) = 1500 - (g/2) t^2
Tut es das?
_________________
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 18. Nov 2009 19:22 Titel: |
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a) tut es
b) c darf gar nicht 0 sein, hm
Also:
 = \sqrt{\frac g c} \cdot \frac{1-\exp(2 \sqrt{gc} t)}{ 1+\exp(2 \sqrt{gc} t)})
Die Gleichung kommt von (bei mir ist v negativ)
)
}{(\sqrt{\frac g c}v+1)})
Ich denk mal da hab ich was mit den Beträgen falsch gemacht. Bin mir aber grad unsicher |
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Steel93
Anmeldungsdatum: 30.03.2009
Beiträge: 166
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| Steel93 Verfasst am: 18. Nov 2009 19:41 Titel: |
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Hey,
ich guck mir den Artikel auch schon seit ein paar Tagen an^^ (inzwischen habe ich mir deshalb sogar Integration durch Substitution etwas beigebracht )
Meine Frage ist allerdings was anderes:
Wie kommt man eigentlich auf diese erste DGL, also die im ersten Beitrag? Ich habe schon überlegt, wegen Kräftegleichgewicht und so, aber ich weiß nicht... kann mir jemand das erklärn?
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10. Klasse |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 18. Nov 2009 19:47 Titel: |
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Das ist das zweite Newtonsche Axiom.
Du betrachtest die Kräfte. Du hast einen Reibungsterm und die Gewichtskraft. Wenn man diese Kräft addiert erhält man eine Beschleunigung, Diese ist gerade F = a*m.
Und Wenn man den Weg 2 mal ableitet erhält man eine Beschleunigung. |
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Steel93
Anmeldungsdatum: 30.03.2009
Beiträge: 166
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| Steel93 Verfasst am: 18. Nov 2009 19:50 Titel: |
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Okay danke! Klar!
Aber wie kommt man auf den hinteren Term, also cmv^2?
Der Luftwiderstand berechnet sich doch anders, oder?
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10. Klasse |
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Gajeryis
Anmeldungsdatum: 08.10.2009
Beiträge: 194
Wohnort: CH - Bern
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| Gajeryis Verfasst am: 18. Nov 2009 20:19 Titel: |
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| Steel93 hat Folgendes geschrieben: | Okay danke! Klar!
Aber wie kommt man auf den hinteren Term, also cmv^2?
Der Luftwiderstand berechnet sich doch anders, oder? |
Luftwiderstandskraft ist 
Die Beschleunigung ist 
Wenn du nun c wie folgt definierst:
kriegst du
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 18. Nov 2009 20:23 Titel: |
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@stereo:
ich habe rausbekommen
-x_0 = \sqrt{\frac{g}{c}} \cdot t - \frac{1}{c} \ln{\frac{e^{2 \sqrt{gc}t}+1}{2}} )
Das ist sehr ähnlich aber nicht identisch mit deinem Resultat!
Trotzdem hast du es gut gemacht
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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 18. Nov 2009 20:48, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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Steel93
Anmeldungsdatum: 30.03.2009
Beiträge: 166
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| Steel93 Verfasst am: 18. Nov 2009 20:23 Titel: |
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Also mir is gerade aufgefallen, dass man doch dort auch so rangehen kann:
Wenn F_L proportional zu v^2 ist, dann muss doch gelten:
^2=\frac{F_L}{F_{L,End}}=\frac{F_L}{G}) <=> ^2)
Dann gilt doch als DGL:
^2=m \cdot g \cdot (1-(\frac{v}{v_{End}})^2))
<=> ^2))
Dann nach dt umformen und integrieren und den ganzen Rest...
Ist dies denn möglich auf diese Art?
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10. Klasse |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 18. Nov 2009 20:39 Titel: |
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@steel93:
natürlich kann man es auch so schreiben, aber du landest bei exakt der gleichen Differenzialgleichung.
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 18. Nov 2009 20:50 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | @stereo:
ich habe rausbekommen
Das ist sehr ähnlich aber nicht identisch mit deinem Resultat!
Trotzdem hast du es gut gemacht |
Danke, den Rest werde ich einfach versuchen in der Übung zu verstehen, meine Lust ist langsam erschlöpft
Vielen Dank für deine Hilfe. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 18. Nov 2009 20:54 Titel: |
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Als Kontrolle kann dienen:
 = x_0 - \sqrt{g/c} \cdot t)
da sich der Springer dann schon sehr lange mit seiner konstanten Endgeschwindigkeit bewegt hat.
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