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Stalker010
Gast
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 Stalker010 Verfasst am: 07. Nov 2009 08:27 Titel: Extremwertaufgabe, stabiles Gleichgewicht |
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Hallo,
Die Aufgabe lautet:
"Extremwertaufgabe, stabiles Gleichgewicht
In eine waagerecht ausgerichtete Halbkugel mit Durchmesser d wird ein homogener Stab der Länge d gelegt. Bei welcher Lage des Stabes entsteht ein stabiles Gleichgewicht, wenn der Vorgang als reibungfrei betrachtet wird."
Ich sitze jetzt schon seid 4 Tagen an dieser Aufgabe und habe sie immer noch nicht gelöst^^
Ich bin schon soweit dass ich folgende Aussagen machen kann.
Die Mitte des Stabes muss über dem tiefsten Punkt (dieser Punkt variiert da sich die Halbkugel neigt) der Halbkugel liegen muss.
Der Stab berührt die Kugel nur am Rand und im inneren der Kugel.
Wenn man dies als normale Gleichung sieht so muss ich die Gleichung des Stabes herrausfinden oder? Dies müsste dann ja eine Geradenschar sein da es unendlich viele Möglichkeiten gibt.
Und woher kriege ich die zwei Fuktionen damit ich eine Extremwertaufgabe darraus machen kann?
Schon mal Danke im vorraus
-samy |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 07. Nov 2009 09:22 Titel: |
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Nur ein Denkanstoß 
Ich empfehle dir ein Koordinatensystem zu verwenden, welches den Ursprung am tiefsten Punkt des Kugelbodens hat, mit z nach "oben". Ohne die Allgemeinheit einzuschränken, kannst du nun den Auflagepunkt am Rand der Kugelschale auf die (kartesische) Koordinate
 )
setzen.
Für den Auflagepunkt  im Inneren der Kugel hast du zwei Freiheitsgrade. Ich würde hier ein Polarkoordinatensystem verwenden, mit  ,  . Der Punkt r2 hätte dann die (Polar)Koordinaten
und
Der Schwerpunkt berechnet sich aus
Du kannst nun die z-Koordinate des Schwerpunkts durch diese beiden Winkel ausdrücken; d.h.
)
Danach hast du als Bedingungen:
und
PS: sieht zwar sehr kompliziert aus, vereinfacht sich sich aber ungemein!
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Stalker010
Gast
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| Stalker010 Verfasst am: 07. Nov 2009 10:45 Titel: |
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Ja sieht sehr kompliziert aus=) Ich hoffe mien Lehrer erwartet nicht von mir, dass ich mich in das 3 dimensionale kartesische Koordinatensystem oder in das Polarkoordinatensystem hineinarbeite.
Gibt es keinen Lösungsansatz in dem ich einfach nur eine Geradenschar aufstellen kann die dann angibt in welchen Positionen der Gerade ein stabiles Gleichgewicht herrscht?
Wenn nicht könntest du mir dann bitte mit deinem Lösungsvorschlag die Aufgabe einmal durchrechnen? Ich glaube es würde mir leichter fallen es zu verstehen wenn ich es an einem Beispiel sähe.
Dankeschön.
-samy |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 07. Nov 2009 11:01 Titel: |
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Was ist so schwer daran, das ganze bloss mal aufzuzeichnen. Du kommst mit der Kenntnis von Winkelfunktionen voll durch. Und Polarkoordinaten sind ja keine höhere Mathematik. Du musst nicht mal von denen gehört haben, um das Beispiel zu lösen.
Es geht darum, die Lage des Schwerpunkts als Funktion von den zwei unabhängigen Koordinaten aufzuschreiben. Das ist elementar.
Wenn du nicht konkret anfängst, kannst du auch nichts konkretes erwarten...
| Zitat: | | Gibt es keinen Lösungsansatz in dem ich einfach nur eine Geradenschar aufstellen kann die dann angibt in welchen Positionen der Gerade ein stabiles Gleichgewicht herrscht? |
Eine Geradenschar hat eben Scharparameter; diese sind z.B. die beiden Winkel, etc... Und um das Aufufinden genau dieser Parameter im Gleichgewicht geht es die ganze Zeit.
Weisst du denn schon, wie du anhand der Lage des Schwerpunkts den Gleichgewichtspunkt durch Minimieren ermittelst? Was wird dabei minimiert? Was heisst Minimieren denn? Vielleicht beginnst du mal damit!
In welche Klasse gehst du denn eigentlich?
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Huggy
Gast
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| Huggy Verfasst am: 07. Nov 2009 11:19 Titel: |
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Siehe Antwort im Matheboard |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 07. Nov 2009 12:00 Titel: |
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@huggy im matheboard:
| Zitat: | | Das Problem ist - von der Einkleidung abgesehen - wirklich rein mathematisch und tatsächlich nur zweidimensional. |
das Problem ist allgemein formuliert dreidimensional: Der Stab kann ja auch "schief" in der Schale liegen. Dass er dann doch "gerade" zu liegen kommt, liegt daran, dass bei dieser speziellen Lage eben ein Minimum vorliegt.
Am Wesentlichen ändert das aber natürlich nichts, ausser dass die geometrischen Zusammenhänge etwas komplexer werden.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Huggy
Gast
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| Huggy Verfasst am: 07. Nov 2009 13:03 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | @huggy im matheboard:
| Zitat: | | Das Problem ist - von der Einkleidung abgesehen - wirklich rein mathematisch und tatsächlich nur zweidimensional. |
das Problem ist allgemein formuliert dreidimensional: Der Stab kann ja auch "schief" in der Schale liegen. Dass er dann doch "gerade" zu liegen kommt, liegt daran, dass bei dieser speziellen Lage eben ein Minimum vorliegt. |
Das ist prinzipiell richtig. Es ist allerdings ohne Rechnung klar, dass bei schiefer Lage der Schwerpunkt nicht sein Minimum annimmt. Hält man den unteren Auflagepunkt fest und entfernt den oberen Auflagepunkt aus der symmetrischen Lage, verkürzt sich der Abstand zwischen den beiden Auflagepunkten, d. h. die Steigung der Stabgeraden wird größer und damit kommt der Schwerpunkt höher zu liegen. |
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Stalker010
Gast
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| Stalker010 Verfasst am: 07. Nov 2009 13:18 Titel: |
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Die Antwort im Matheforum ist ausreichend denke ich. Ich danke euch beiden. Und noch eine Entschuldigung an schnudl wegen der Faulheit. |
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