Herleitung Navier-Stokes-Gleichung

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Hey Leute, ich hab eine kleine Frage zur Herleitung der Navier-Stokes-Gleichung aus Impulsbilanz und Reibungsgesetz:

Also, hier wollen wir hin:

Wir gehen aus von der Impulsbilanz:

und dem Reibungsgesetz:

Wenn ich das nun ineinander einsetze bekomme ich schon fast die Navier-Stokes-Gleichung, es muss nur noch gelten:

aber da seh ich die Gleichheit spontan nicht... Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?

thx a lot!

PS: Anscheinend ist das Tex hier kaputt, dann poste ich hier mal noch den Tex-Code, den ich oben verwendet habe:
\rho \left( \dot{v_i} + v_l \frac{\partial v_i}{\partial x_l}\right) = - \frac{\partial p}{\partial x_i}+\eta\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_l \partial x_l} + \frac{1}{3} \eta \frac{\partial^2 v_k}{\partial x_i \partial x_k} + \rho F_i

\rho \frac{d v_i}{dt}=\frac{\partial R_{ik}}{\partial x_k}- \frac{\partial p}{\partial x_i} + \rho F_i

R_{ik}=\eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial v_k} + \frac{\partial v_k}{\partial v_i} \right) + \eta' \delta_ik \frac{\partial v_l}{\partial x_l}

\frac{1}{3} \eta \frac{\partial^2 v_k}{\partial x_i \partial x_k}=\eta\frac{\partial^2 v_k}{\partial x_k \partial x_i} + \eta' \delta_ik \frac{\partial^2 v_l}{\partial x_k \partial x_l}

evelyn89 · Anmeldungsdatum: 09.04.2010 Beiträge: 11

Sorry, wenn ich einen älteren Thread ausgrabe, aber ich wäre auch sehr an einer vollständigen Herleitung der Navier-Stokes Gleichung interessiert.

Im Internet konnte ich leider nichts dazu finden.
Immer steht die Navier-Stokes Gleichung einfach so da, aber niemand erklärt wo sie herkommt und wie sie hergeleitet wird.

Kann mir da jemand helfen und mir vielleicht Links oder Literaturtipps geben?
Danke

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

LANDAU LIFSCHITZ 6, § 15 (Bewegungsgleichungen für eine zähe Flüssigkeit). Kontinuitätsgleichung + modifizierte EULER Gleichung: Ergänzung des Impulsstroms mittels zähem Spannungstensor, dessen plausible Darstellung und gewisse Vereinfachungen. Dort übrigens auch in Zylinder- und Kugelkoordinaten.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Kurze Suche liefert z.B. das hier: http://www.math.unibas.ch/~cohen/Teach/FEM09/navir2.pdf

Ich kenne mich in Hydrodynamik nicht aus - allerdings verwendet der Autor dort 10 Folien auf die Herleitung - sie könnte also durchaus vollständig genug sein.

Gruß
MI

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Danke für den Hinweis. Als Stenogramm sicher OK; ob man es physikalisch versteht - Geschmackssache. smile

evelyn89 · Anmeldungsdatum: 09.04.2010 Beiträge: 11

@MI: Danke für den Link. Das sieht sehr hilfreich aus. Werde es mir auf jeden Fall durcharbeiten, wobei ich jetzt schon sehe, dass mir einige Vorkenntnisse fehlen.

@franz: Danke für den Literaturtipp. Leider ist dieses Buch verdammt teuer - 50€.
Werde mal demnächst schauen, ob ich es an der Uni wiederfinden kann.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

@ franz:

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OT

evelyn89 · Anmeldungsdatum: 09.04.2010 Beiträge: 11

@MI: Danke. Der 2.Link, den du mir geschickt hast, ist wohl sogar noch hilfreicher und ausführlicher und wenn er sich an Landau und Lifschitz anlehnt umso besser.

@franz: genau! ich bin schließlich ein armer student. Hilfe