Arbeit beim Heben einer Ankerkette

Nobby123 · Gast

Bei folgender Aufgabe bin ich mir bei meiner Überlegung nicht wirklich sicher:

Eine Fähre ankert an einer 400m langen Ankerkette in 50m tiefen Wasser. Die Kette wiegt ca. 8t, der Anker zusätzlich 1t. Das Material der Kette ist Stahl mit einer Dichte von ca. 8t/m³. Die Fähre lichtet den Anker. Nehmen sie an, die Kette wird dabei exakt senkrecht gehoben. Wie groß ist die verrichtete Arbeit?

Zu meiner Überlegung: Die Kette ist ja viel länger als das Wasser tief ist, demnach liegt die da unten ja zu 350m rum. Wenn ich die Kette jetzt hebe, hebe ich doch immer nur 50m Kette und das solange, bis die 350m oben sind, dann kommt noch der Anker dazu. Da würde ich jetzt 7 mal die Arbeit für 50m Kette berechnen und einmal für 50m Kette+ Anker.
Das kommt mir allerdings zu leicht und damit falsch vor, mein Gewissen sagt mir irgendwas mit Integral und variabler Masse, aber das kann ich nicht sinnvoll formulieren, geschweige denn die Rechnung realisieren.

vielen Dank schonmal im vorraus!

StudentT · Anmeldungsdatum: 02.03.2009 Beiträge: 148

Hallo!

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Wenn 350m Kette in 50m Tiefe liegen, dann müssen diese 350m UND der Anker über die gesamte Höhe hochgezogen werden. Leider fehlt die Angabe der Dichte oder des Volumens für den Anker. Wahrscheinlich soll die Dichte dieselbe wie die der Kette sein. Diese Angabe brauchst Du nämlich, weil die Gewichtskraft unter Wasser gleich der Gewichtskraft in Luft minus der Auftriebskraft ist. Also insgesamt ist die Gewichtskraft der angegebenen Stahlsorte in Wasser gerade 7/8 der Gewichtskraft in Luft.

Nur bei den ersten 50m der Kette musst Du integrieren, da das Gewicht über die Länge verteilt ist.

Nobby123 · Gast

Ich zieh doch die Kette senkrecht hoch, 50m bilden ja quasi schon eine orthogonale zum Meeresboden. Wenn ich jetzt ziehe und die Kette in die Fähre hole, dann bleibt diese orthogonale doch für 350m gleich schwer, sobald ich aber noch 50m habe und 350m in der Fähre, dann geht doch erst der Anker mit rein, oder stell ich mir das gerade falsch vor? Wie intergrier ich denn da? und vorallem was? hab noch nie in der art mit integralen gearbeitet.

Wie soll man denn die potentielle energie vorher und nachher berechnen? Epot=m*g*h, mein m variert doch ständig oder nicht?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Es ist doch ganz egal, in welcher Reihenfolge Du die Energieanteile aufsummierst. Eines ist doch klar: 350m Ankerkette plus Anker liegen zunächst in 50m Tiefe und nach Abschluss des Vorgangs an Bord des Schiffes, also 50m höher. Dafür muss eine Arbeit (Energie) von W1=Fg*h aufgewendet werden. Die Gewichtskraft in Wasser ist aber gerade, wie wir schon festgestellt haben, 7/8 der Gewichtskraft in Luft. Also

W1 = (7/8)*m1*g*h

Dabei ist m1 die Masse von 350m Ankerkette plus Anker (von dem wir angenommen haben, dass er dieselbe Dichte wie die Kette hat; das mussten wir annehmen um den Auftrieb bestimmen zu können). h ist die Tiefe von 50m.

Fehlt noch der Energieanteil W2, der notwendig ist, um 50m über h verteilte Ankerkette zu heben.

Der Gewichtsanteil (in Wasser, also 7/8 dessen in Luft) eines differentiell kleinen Kettenstückes in der Tiefe s ist

dF = (7/8)*dm*g

Wenn ich dieses differentiell kleine Stück aus der Tiefe s heben will, muss ich eine (differentiell kleine) Energie dW aufwenden.

dW = (7/8)*dm*g*s

Dabei ist die differentiell kleine Masse dm dieses winzig kleinen Kettenstückchens

dm = rho*dV = rho*A*ds (A=Kettenquerschittsfläche)

Also

dW = (7/8)*rho*A*g*s*ds

Den gesamten Energieanteil W2 erhalte ich, wenn ich alle kleinen Energieanteile dW über die gesamte Kettenlänge h integriere:

W2 = (7/8)*rho*A*g*integr(s*ds) (von s=0 bis s=h)

---> W2 = (7/8)*rho*A*g*(1/2)*h²

Dabei ist rho*A*h gerade gleich der Masse m2 von 50m Ankerkette, also

W2 = (7/8)*m2*g*(1/2)h

Darauf hätte man auch ohne Integration durch die Überlegung kommen können, dass die gleichmäßig verteilte Kettenlast zu heben dasselbe ist, als wenn ich die halbe Last aus der Tiefe h hebe bzw. die ganze Last aus der halben Tiefe h/2.

Die gesamte aufzuwendende Arbeit ist

Wges = W1 + W2 = (7/8)*m1*g*h + (7/8)*m2*g*0,5*h

Wges = (7/8)*g*h*(m1+0,5*m2)

Jetzt muss man nur noch überlegen, wie groß m1 und m2 sind. m1 war ja die Masse von 350m Ankerkette (7t) plus Anker (1t), also insgesamt 8*10^3kg und m2 die Masse von 50m Ankerkette (1t), also 10^3kg. Das kann man alles schön einsetzen und erhält

Wges = 3,65 MJ

Das ist ungefähr eine Kilowattstunde.