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Beta
Anmeldungsdatum: 26.05.2007
Beiträge: 9
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 Beta Verfasst am: 05. Jun 2009 17:06 Titel: Spin + Vektorvorstellung |
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Hi,
ich habe momentan ein kleines Verständnisproblem mit dem Spin. Und zwar geht es um folgendes:
Es gibt ja oft das Bild, dass der Spin als Vektor dargestellt wird, der einen Winkel mit der z-Achse einschließt. Die Projektion des Vektors auf die z-Achse ergibt dann die Eigenwerte  bzw  . D.h. wenn ich die z-Komponente des Spins messen könnte, würde ich, falls sich das System in einem Eigenzustand befindet, immer diesen Wert messen.
Wenn jetzt der Spin aber nicht wie im Bild spin1.png im Raum steht, sondern quasi "flacher" wie in spin2.png, ist dann der Eigenwert immer noch obwohl die Projektion auf die z-Achse ja eigentlich weniger ist? Oder schließen alle Spins immer den selben Winkel ein und es gibt somit zum Beispiel nur Spins, wie im 1.Bild?
Und noch eine Frage: Beim Anlegen eines B-Feldes in z-Richtung ist oft davon die Rede, dass sich der Spin "parallel" bzw "antiparallel" zum Feld ausrichtet. Der Spin schließt doch aber im Zustand m=1/2 bzw m=-1/2 einen Winkel mit der z-Achse so. Also ist er doch gar nicht wirklich parallel?
Grüße,
beta
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 05. Jun 2009 18:17 Titel: Re: Spin + Vektorvorstellung |
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| Beta hat Folgendes geschrieben: |
ich habe momentan ein kleines Verständnisproblem mit dem Spin. Und zwar geht es um folgendes:
Es gibt ja oft das Bild, dass der Spin als Vektor dargestellt wird, der einen Winkel mit der z-Achse einschließt. |
Das ist so nicht ganz korrekt. Dieses Bild, das natürlich nur eine Veranschaulichung ist, hat erst mal überhaupt nichts mit Spin zu tun, sondern das ist eine Verbildlichung um den Rotationsoperator zu veranschaulichen 
 http://upload.wikimedia.org/math/0/3/2/03275305f5522108426066faa4e5ce2d.png
Obige drei Matrizen haben nichts, absolut gar nichts mit dem Spin zu tun. (Einer von vielen Fehlern aus Wikipedia und genügend anderen Quellen)
Was du da siehst sind Rotations-Operatoren, welche Elemente von H sind. Wir haben es hier mit den hyper-komplexen Hamiltonschen Quaternionen zu tun und dein oben genanntes Bild kann erklären weshalb diese Quaternionen Rotationen repräsentieren.
Sie sind heute nicht mehr fort zu denken. Ohne Quaternionen würde die Luft- und Raumfahrt Technik zusammen brechen. Ein Mythos unter Physikn ist, dass irgendwer tatsächlich Drehmatrizen, oder Euler-Winkel braucht. Das liegt daran, weil sie keinen bezug zum Ingenieurswesen haben, oder sich nicht dafür interessieren. (nehme ich an)
Die Gruppe der Matrzizen derer Determinante 1 ist und orthogonal sind ist tod. Genau so wie ein starrer Körper zum Beispiel nicht mit Euler Winkeln beschrieben wird.
Erst die Vorfaktoren machen das Spiel interessant. Die Bildliche Vorstellung die du hast kann man sich wunderbar herleiten, jedoch ist das sehr schwer in obiger Darstellung als komplexe 2x2 Matrizen.
Besser sind Vierer Vektoren, (z.B. ist der Minkowski Raum ein Nicht kommutierernder Divisionsring) um dann aus Vierervektoren zu zeigen, dass zu jedem Quaternionen (in Vierer Vektor-Darstellung) eine Rotation zugeordnet werden kann. Dann sieht man unmittelbar, wie dein obiges Modell zu stande kommt.
Also heißt das für dich:
Dich mit dem Hamiltonschen Schiefkörper der Quaternionen beschäftigen.
Ein excellentes Buch dafür wäre von Kuipers sein Quaternions and Rotation Sequences. Mit diesem habe ich auch gelernt. Ganz tolle Lektüre.
Hamitlon war übrigens genial. Er ist z.B. auch Pappa des Tensor, seine Formulierung der Mechanik natürlich, der Hamilton Einbettung usw. etc. Sehr kluger Ire 
Grüsse
Herbststurm
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 05. Jun 2009 20:30 Titel: Re: Spin + Vektorvorstellung |
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| Beta hat Folgendes geschrieben: | D.h. wenn ich die z-Komponente des Spins messen könnte, würde ich, falls sich das System in einem Eigenzustand befindet, immer diesen Wert messen.
Wenn jetzt der Spin aber nicht wie im Bild spin1.png im Raum steht, sondern quasi "flacher" wie in spin2.png, ist dann der Eigenwert immer noch obwohl die Projektion auf die z-Achse ja eigentlich weniger ist? Oder schließen alle Spins immer den selben Winkel ein und es gibt somit zum Beispiel nur Spins, wie im 1.Bild? |
Hmmm, wenn du ein Elektron mit Spin 1/2 betrachtest, gibt es nur zwei Einstellmöglichkeiten zum Feld: +1/2 und -1/2.
Das magnetische Moment  präzediert im Vektormodell um die Richtung vom B-Feld (die Vorzugsrichtung).
Beobachtbar ist nur die Projektion von  auf die Vorzugsrichtung (meist z). Die z-Komponente ist dann gequantelt (weil eben nur bestimmte Winkel zwischen  und  zugelassen sind).
Die z-Komponente des Elektronenspins beträgt
| Beta hat Folgendes geschrieben: | | Und noch eine Frage: Beim Anlegen eines B-Feldes in z-Richtung ist oft davon die Rede, dass sich der Spin "parallel" bzw "antiparallel" zum Feld ausrichtet. Der Spin schließt doch aber im Zustand m=1/2 bzw m=-1/2 einen Winkel mit der z-Achse so. Also ist er doch gar nicht wirklich parallel? |
Ja, nicht wirklich parallel, aber was man misst, ist immer die z-Komponente, also parallel. Es sind nur diskrete Winkel zwischen B und  zugelassen und wenn man sich überlegt, dass um präzediert, dann sieht man, dass sich bei Messung einer Wechselwirkung die x- und y- Komponenten ausmitteln und nur die z-Komponente immer gleich ist.
Hoffe, es hilft dir.
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Ich habe ins Blaue geschossen und ins Schwarze getroffen - Friedrich Dürrenmatt |
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