Herleitung des Kraftgesetzes über die Lagrangefunktion

bottom · Anmeldungsdatum: 04.02.2009 Beiträge: 333 Wohnort: Kiel

Ich habe gerade in dem Buch "Elementarteilchen, eine Einführung für Naturwissenschaftler" von Guy Coughlan und James Dodd gelesen, dass man die Formel

über die Lagrange Funktion herleiten kann. Leider leuchtet mir die Argumentation nicht ganz ein. Es wird folgendes gesagt:

Die Lagrangefunktion

eines Systems ist die Differenz aus Kinetischer und Potentieller Energie:

Die weiter Betrachtung erfolgt nun am Beispiel eines Fußballs.
Die Potentielle Energie des Fußballs im Gravitationsfeld unserer Erde ist proportional zur Höhe

über dem Spielfeld:

Die Kinetische Energie des Balls hängt von seiner Geschwindigkeit ab:

Es wird nun argumentiert, dass nach dem Hamiltonschen Prinzip das System sich so verhält, dass

, unter Berücksichtigung der Randbedingungen, minimal wird. Weiter wird gesagt:

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

der letzte Schritt hats auch in sich: man kann zeigen, dass die Bedingung

der sogenannten Euler-Lagrange Gleichung entspricht. Unter Lagrange-Formalismus bei wiki wirst du fündig werden. Dein Beispiel habe ich mal durchgerechnet, ich hab angenommen, v geht in Richtung der nach oben zeigenden x-Achse. (ich hatte keine Lust zu tippen Big Laugh

)

Grüße, Wasilij
P.S. Man hätte natürlich auch allgemeiner rechnen können, indem man das g durch eine beliebige Kraft ersetzt hätte.

bottom · Anmeldungsdatum: 04.02.2009 Beiträge: 333 Wohnort: Kiel

hallo,
danke für die Antwort, w.bars. wenn ich es richtig verstanden habe, kann man so zeigen, dass

gilt. Allterdings sehe ich immer noch nicht, wie daraus

folgert. warscheinlich hab ich nur tomaten vor den augen, aber das erschließt sich mir irgendwie nicht logisch... über nen weiteren kleinen denkanstoß würde ich mich freuen smile

gruß bottom

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

schau mal auf die vorletzte Zeile!

Versuche mal seine Herleitung zu wiederholen, indem du von Anfang an

verwendest

bottom · Anmeldungsdatum: 04.02.2009 Beiträge: 333 Wohnort: Kiel

hm... ich bin jetzt die Herleitung nochmal schritt für schritt durchgegangen, und ansich verstehe ich sie komplett.

@schnudel: danke für die Antwort!
die vorletzte Zeile lautet:

ist natürlich

und

. aber das möchte ich ja letztendlich erst zeigen, oder? grübelnd

also warum kann ich von vornherein mit

rechnen (da würde dann natürlich in der vorletzten zeile dass gerade genannte stehen)? das setzt doch

als gegeben vorraus - aber diesen Zusammenhang möchte ich doch herleiten...
hm....

ich sehe gerade dass ganz am Anfang die potentielle Energie auch schon so beschrieben wurde:

heißt dass, dass ich in der vorletzten Zeile doch schon fertig bin? und ist dass dann überhaupt eine wasserfeste Herleitung, da ich den herzuleitenden Zusammenhang ja schon am Anfang mit benutzt habe??

da muss ich nochmal weiter drüber nachdenken...
hm... grübelnd

bottom

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die Kraft kann man ja (wenn es eine konservative Kraft ist) als Gradient eines Potenzials schreiben:

Und genau dieses Potenzial geht in die Lagrangefunktion ein.

Wegen

ist

da ja T (hier) nicht explizit von x abhängt.

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

hier mal umgeschrieben:

bottom · Anmeldungsdatum: 04.02.2009 Beiträge: 333 Wohnort: Kiel

ok, vielen Dank, jetzt hab ich es verstanden Big Laugh

danke dass ihr so lange durchgehalten habt Thumbs up!

gruß bottom

bottom · Anmeldungsdatum: 04.02.2009 Beiträge: 333 Wohnort: Kiel

hallo,
eine frage habe ich doch noch:

wie komme ich darauf, dass

gilt? und was genau ist das delta von

? wäre schön, wenn mir jemand da nochmal nen tip geben könnte!

Achja, und wie ist das minus im endergebniss zu interpretieren? dieser herleitung nach gilt ja

.

ich hoffe meine fragen nerven nicht alzusehr Augenzwinkern

gruß Tobias

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

hier nachzulesen. Es findet sich in jedem Lehrbuch der Mechanik.

bottom · Anmeldungsdatum: 04.02.2009 Beiträge: 333 Wohnort: Kiel

ok, danke

ich gehe noch zur schule (gerade beim abi)... und in der schule macht man sowas noch nicht Augenzwinkern

gruß bottom, der sich jetzt erstmal durch den lagrange-formalismus kämpfen wird

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

gute Frage, ich hatte das damlas abends getippt und mich auch gewundert, aber eine plausible Erlärung gefunden. Wie gesgat dass war abends. Eine plausible Erklärung gibt es nicht, denn das was da steht ist schlichtweg falsch. Wenn man

ausrechnet, dann kriegt man

. Ich hatte übersehen, dass das Potential ja schon selbst neagtiv in L eingeht. Mille pardons.

Bin übrigens auch erst in der 13, wünsche viel Spaß mit Lagrange, ich finde es ist eins der schönsten Konzepte in derjenigen physik, in die ich bisher Einblicke genießen durfte. An Literatur fallen mir en von D. Acheson "Vom Calculus zum Chaos", eins der Kapitel behandelt das, aber ich gleube ohne Herleitung (übrigens auch sonst n cooles Buch). Ansonsten Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2 - Analytische Mecvhanik und ab geht die Post Big Laugh

Vorher wäre vllt noch n bissle Mathe sinnvoll, so partielle Ableitungen zB und differnetialgelichungen in den Grundzügen, ich weiß nihc, wie wiet du da schon bist...

Grüße, Wasilij

bottom · Anmeldungsdatum: 04.02.2009 Beiträge: 333 Wohnort: Kiel

@ Wasilij:

ok, dann ist das mit dem minus geklärt smile

deiner aussage über lagrange stimme ich vollständig zu, eine wirklich tolles konzept und vielfältig einzusetzen! deshalb möchte ich das ganze auch näher verstehen...

ja, die mathematik ist im moment wohl noch das größte problem... aber ich arbeite drann Augenzwinkern

was ja auch spaß macht!

hast du auch mathe und physik lk?

gruß bottom

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

jap