Ausflussgeschwindigkeit - Energieerhaltung vs. Kräfteansatz

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Ich bräuchte mal einen Tipp, um einen vermeintlichen Widerspruch aufzulösen.

Wir haben ein Gefäß, das bis zur Höhe h mit einer Flüssigkeit gefüllt ist, und aus dem durch ein Loch der Fläche A im Boden Flüssigkeit ausströmt. Gesucht ist die Ausströmgeschwindigkeit. Die Reibung ist zu vernachlässigen.

Nun kann man ja über den Energieerhaltungssatz, speziell über Bernoulli recht schnell darauf kommen, dass die Ausflussgeschwindigkeit praktisch der des freien Falls entspricht:

Nun sollte man ja aber auch über Kräftebetrachtungen darauf kommen. Auf die untersten Wassermoleküle wirkt der Schweredruck der oberen, das setzen wir in das Newtonsche Axiom ein:

Umgestellt liefert das dann:

Was die Frage aufwirft: an welcher Stelle wurde die 2 eingebüßt? Wo ist der Ansatz fehlerhaft?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

!!!Antwort wurde gelöscht!!!

Da diese Antwort falsch war hab ich sie gelöscht, sie konnte nich die horizontale Ausflussgeschwindigkeit erklären, die sich auch aus der Wurzel von 2gh berechnet.

Darum hab ich mir nochmals Gedanken gemacht und deinen Fehler gefunden.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Ich hab mir deine Ableitung nochmal genau angeschaut, nachdem ich mit meiner Erklärung nicht zufrieden war.

!!Der Fehler liegt eigentlich darin das du den Massenstrom falsch berechnest.!!

Die Formel stimmt zwar generell für den Massenstrom, aber du betrachtest die Geschwindigkeit des Massenstroms während des Kraftstosses gleich mit der Endgeschwindigkeit des Kraftstosses. Wer sagt das sich der Massenstrom während des Krafstosses schon mit der Endgeschwindigkeit des Kraftstosses bewegt.
Das ist nicht korrekt. Während des Kraftstosses wird die Geschwindigkeit immer größer, nachdem Kraftstoss hast du die Endgeschwindigkeit die den Impuls mit der Masse ergibt.
!!Aber der Massenstrom variert während des Kraftstosses und ist im Durchschnitt über der Zeit sicher nicht mit der Endgeschwindigkeit des Impulses zu berechnen!!!

Richtige Formel müsste lauten:

.....Durchschnittsgeschwindigkeit des Kraftstosses =

Um dir den Fehler nochmal zu illustrieren betrachte ich einen Körper mit der Fläche A und der Länge l der horizontal (reibungsfrei) mit einem Kraftstoss beschleunigt wird.

Was du nun machst ist das du einfach voraussetzt das

gleich der Kraftstossendgeschwindigkeit v ist. Das ist aber nur ein Spezialfall bei soviel Möglichen Kraftstössen und gilt nur dann, wenn

Bei unserem Fall tritt dies aber nie ein, weil bei uns Zeit und Länge nicht frei variabel sind sondern in abhängigkeit zueinander stehen. Der Körper sprich die Wassersäule wird nur solange beschleunigt bis er aus der Gefässöffnung austritt bis l draussen ist.

Ich schreib nun die Formel anders auf

Aus:

l wird zu ds ..... t wird zu dt

Der Körper erhält nur solange einen Kraftstoss wie sich ds im Behälter befindet. Durch die Beschleunigung über ds ergibt sich dt

zurück zur alten Formel:

Deine Durchschnittsgeschwindigkeit mit der du den durchschnittlichen Massenstrom während des Kraftstosses erhälst, berechnet sich aus

Dies wär der richtige Ansatz gewesen!!!!!

MFG

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Danke dass du dir nochmal Gedanken darüber gemacht hast. Ich hatte deine erste Antwort gelesen, war damit noch nicht so richtig glücklich und habe über die weitere Recherche etwas vergessen mich hier nochmal zu melden.

Im Feynman steht dazu etwas nettes: Do not, however, get the idea that you can figure out the rate of the fluid flows out of the tank by multiplying this velocity by the arey of the hole. ... deutlich. :D
Dann folgt auch eine Begründung dass bei einem nach innen gewandten Loch (also als würde man z.B. einen Strohhalm hineinstecken, und das Ausfließen aus diesem beobachten) nur exakt die Hälfte des Lochquerschnitts wirklich von Wasser bedeckt ist. (Bei einem kleinen scharfkantigen rundem Loch in der Wand würde wohl ein etwas höheres Ergebnis herauskommen.)

Faszinierend wie sich so etwas (vermeintlich) simples entfalten kann. :)

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Aber alleine die Geschwindigkeit des Massenstrom während des Kraftstosses als gleichwertig der Endgeschwindigkeit des Kraftstosses zu betrachten, muß alleine schon ein Fehler sein. da ja wie gesagt die Geschwindigkeit während des Kraftstosses immer größer wird. Somit kann man nur mit der Durchschnittlichen Geschwindigkeit rechnen und bekommt während des Kraftstosses einen Durchschnittlichen Massenstrom.

Wenn ich ein Auto beschleunige kann ich ja den Massenstrom des Autos auch nicht gleich auf die Endgeschwindigkeit beziehen..
sondern das auto bewegt sich zuerst langsamer und dann immer schneller im Durchschnitt mit ve/2.

Die effekte die Feynman da schildert. Er betrachtet ja die Realität, dann wirkt eben Flüssigkeitsreibung Einschnürrung und so weiter und ergibt sein Ergebnis. Wir wissen ja das in der Realität v= wurzel 2gh nicht stimmt sondern geringer ist. Es geht ja um die theoretische Ableitung und da sollte man doch mit den Kraftansatz auf das selbe Ergebnis kommen. Da kann dann eben nur der Massenstrom nicht stimmen.
Und wieso der nicht stimmt hab ich dir ja oben in der Ableitung beschrieben.

!!! Umzu ermitteln welche Endgeschwindigkeit ein Körper nach einem Kraftstoss hat braucht man eben den Massenstrom den er während des Kraftstosses aufweist und nicht den Massenstrom der nach dem Kraftstoss herrscht. Du hast den Massenstrom berechnet der nach dem Kraftstoss herrscht!!!!! und dieser ist ums doppelte größer als der durchschnittliche während des Kraftstosses.

mal sehen was andere dazu sagen

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

So nun bin ich perplex. Ich hab mir gerade die physikalische Rückstossgleichung angeschaut. Die scheint im ersten Moment die Ansätze übern Haufen zu hauen, wie ich doch Physik hasse, aber im nächsten Moment wieder doch nicht ?

Bei dem ausströmenden Wasser hätten wir ja folgendes.

Massenstrom:

Laut Rückstoss wirkt uns die doppelte Kraft laut dem was ich angenommen habe.

Meine Gleichung:

Aus Gewichtsdruck folgt umgehend

Diese Kraft müsste ich nach meinem Prinzip laut actio=reactio aufs Gefäss aufwenden damit dieses sich nicht auch weg bewegt.

Laut Rückstossprinzip ist dieses falsch. Weil die doppelte Kraft wirken muß.

So und nun bring ich Feynman ins spiel. Der gesagt hat in der Realität ist die Fläche der Ausflußöffnung eigentlich nur zur Hälfte bedeckt.

Somit gilt eigentlich für den Massenstrom:

und für die Rückstosskraft:

Man sieht die Rückstosskraft entspricht also dann tatsächlich den Gewichtsdruck.

Aber ich bin wieder am Anfang und weiß das ich wiederum nichts weiß.

grübelnd

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich glaube dass der eigentliche Fehler der ursprünlichen Herleitung in einer etwas "fahrlässigen" Umgangsweise mit Differenzialen begründet liegt.

@VeryApe hat dies auch schon intuitiv erkannt, obwohl er/sie seine/ihre Meinung aus einem mir unbekannten Grund wieder revidiert hat. grübelnd

@para berücksichtigt insbesondere nicht, dass ein Volumselement erst nach Durchlaufen einer Druckdifferenz eine Geschwindigkeit erfährt.

Differenziell geschrieben hat man für ein solches Volumselement in einem Druckgefälle die Newton'sche Bewegungsgleichung

Nun bekommt man aber, wenn man über den Weg des Volumselements vom Inneren (1) des Gefässes (Bodendruck p=P, v=0) nach aussen (2) (p=0, v=V) integriert

Wenn wir jetzt, um das ganze nicht unnötig kompliziert zu machen, von einer unidirektionalen Strömung ausgehen, so kann leicht integriert werden

und bekommt somit auch das gewünschte Ergebnis

Man sieht, wie der Faktor "2" durch die Integration hineinkommt. Die Integration muss auf jeden Fall durchgeführt werden, auch wenn es sich um ein vermeintlich "kleines Delta" handelt, in dem der Zuwachs an Geschwindigkeit erfolgt.

Im Prinzip ist dies alles mit der ersten Antwort von @VeryApe identisch, aber vielleicht ein wenig kompakter formuliert.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Also bin ich doch nicht falsch gelegen. Mein Problem ist aber nun folgendes. Ich betrachte einen Behälter mit einer horizontalen Öffnung zum Beispiel auf der rechten Seite.

Die Kraft die der Flüssigkeit beim Ausströmen den Kraftstoss erteilt. Die hat ja vorher auf den Behälter gewirkt mit verschlossener Öffnung, dadurch war der Behälter im Gleichgewicht. Öffnet man nun den Verschluss dann wirkt diese Kraft auf die Flüssigkeit und nicht mehr auf den Behälter. Dadurch baut sich natürlich eine Kraftdifferenz auf den Behälter auf, die genau dieser Kraft entspricht und ich müßte den Behälter mit dieser Kraft halten damit er sich nicht selbst wegbewegt.

Diese Kraft wäre meines erachtens nach

Diese wirkt auf die Flüssigkeit beschleunigend und wirkt aber dann nicht mehr auf den Behälter, wodurch der Behälter nicht mehr im Gleichgewicht ist. Also muß ich diese Kraft aufbringen damit der Behälter im Gleichgewicht ist.

Laut Rückstossprinzip muß ich aber die doppelte Kraft von dem was ich angenommen habe aufbringen ...Ableitung siehe oben.

Und ich kann mir nicht erklären wieso die doppelte Kraft, dann müßte eigentlich auch die doppelte Kraft von dem was ich angenommen habe beschleunigend wirken dann stimmt aber wiederum meine Ableitung für die Ausflussgeschwindigkeit nicht.

Die Frage ist wenn die Ausflussgeschwindigkeit von der Kraft des Gewichtsdrucks erzeugt wird, wieso muß ich dann die doppelte Kraft dieser auf das Gefässaufbringen, das dieses im Gleichgewicht bleibt.

Dazu bräucht ich eine Erklärung. da ich nicht annehme das die Rückstossgleichung in der Physik um die Hälfte falsch ist, das da einfach durch 2 fehlt. Obwohl Sie eigentlich nach obiger Ableitung auch um den Faktor 2 falsch sein müßte. weil nochmals.
Um die tatsächlich wirkende Kraft des Kraftstosses zu ermitteln brauch man den durchschnittlichen Massenstrom der während des Kraftstosses wirkt und nicht den der nach den Kraftstoss wirkt. Und die Rückstossgleichung rechnet eben mit dem der nach dem Kraftstoss wirkt.
Und das hat mich eben vor dem Kopf gehaut.
Weil dann die physikalische Rückstossgleichung falsch sein muß.
Ich nehm aber doch an das die experimentell bestätigt ist. Also hab ich das mit Feyman oben erklären wollen aber nicht befriedigend.

Momentan bin ich bei folgender Erklärung wieso die Rückstossgleichung trotzdem stimmt.

(ich betrachte eine horizontale Öffnung)
Meine Gedanken dazu waren zuerst das das Wasser ja auch von oben nachströmen muß, also von oben zur Öffnung und durch die Geschwindigkeit des oberen Wassers die ja nach unten zeigt, weil es ja nach unten fließt kommt es zum zusätzlichen Kraftaufwand auf den Behälter, weil einige dieser Wassermoleküle vielleicht durch den Tummult im behälter auf die linke seite abgelenkt werden und dadurch müssen diese gebremst werden und dadurch brauch ich zusätzliche Kraft.

Aber ganz so bin ich ned zufrieden mit der Erklärung
Vielleicht kann mir das einer Erklären

MFG