Freier Fall mit Luftreibung

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Hallo

Hab mal wieder ein paar Fragen zu einer Aufgabe Hilfe

Ein Massepunkt der Masse m bewegt sich unter Einfluss eines homogenen Schwerefeldes und der Luftreibung.

Jetzt soll man die Bewegungsgleichung aufstellen und das Anfangswertproblem lösen für

Machen soll man das Ganze mit Hilfe der Trennung der Variablen.

Für die Bewegungsgleichung hab ich nun folgendes:

Allerdings weiß ich grad nichts so richtig mit dem Begriff Anfangswertproblem anzufangen, da wir mit DGL's grad erst angefangen haben grübelnd

Und bezüglich der Trennung der Variablen, macht man das so, dass man

schreiben kann und dann nach dt oder dv die Bewegungsgleichung auflöst?

Wenn ja wie macht man denn dann weiter?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

In der DGL kommt ja erstmal überhaupt kein z vor, sondern nur v und a, wobei a = dv/dt ist. Das ist also eine DGL erster Ordnung für die Funktion v(t). Du solltest also erstmal diese lösen und die dann danach höchstens noch integrieren, um auf z(t) zu kommen.

Als Lösung habe ich da jetzt das hier raus bekommen, wobei ich zugeben muss, dass ich das mit dem Wolfram Integrator gemacht habe...:

Ich hoffe, dass stimmt noch alles...
C ist jetzt eine Konstante, die durch die Integration rein kommt. Es ist nur eine, weil es eine DGL erster Ordnung war. Solche Integrationskonstanten kann man nachher dann mithilfe von Anfangsbedingungen bestimmen. Wie muss man C hier wählen, damit die Anfangsbedingung v(0) = 0 stimmt? Nunja: Mit tanh(0) = 0 kannst Du das gleich sehen, denke ich.

Allerdings brauchst Du die Anfangsbedingungen in diesem speziellen Fall auch schon beim Aufstellen der DGL: Die Richtung der Reibungs-Kraft hängt ja von der Richtung von v ab. Je nachdem, ob sich der Körper nach oben oder unten bewegt, ändert sich also das Vorzeichen dieser Kraft. Nach Vorgabe soll es aber bei v=0 losgehen, so dass die Geschwindigkeit immer nach unten zeigt und deshalb die Reibungskraft immer nach oben, also entgegen der Gewichtskraft. deshalb hat diese Kraft, wie es auch schon angegeben ist, immer das andere Vorzeichen, wie die Gewichtskraft. Du kannst also einfach die gegebenen F nehmen. Allerdings würde das für einen Körper, der sich gerade nach oben bewegt, nicht mehr stimmen. Wenn man also eine Bewegung hätte, in der der Körper sich mal nach oben und mal nach unten bewegt, dann müsste man die Bewegung in einzelne Abschnitte unterteilen und jeweils unterschiedliche DGL angeben. Zum Glück können wir uns das hier sparen... Augenzwinkern

Jetzt musst Du ja z(t) durch Integrieren bestimmen. Dabei bekommst Du nochmal eine Integrationsvariable. Die musst Du dann über die Bedingung z(0) = 0 auch noch bestimmen.

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ich hab einfach mal alpha und m auf 1 gesetzt und das dann geplottet (grün ist z(t) und rot ist v(t)):

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Ok, meine Frage ist jetzt aber noch, wie man denn eine DGL mit Trennung der Variablen lösen kann, habe jetzt:

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hä? Wie kommst Du darauf, dass Du da nur beim zweiten Summanden im Nenner einfach die Wurzel ziehen darfst?
Nein, Du musst schon die gesamte Funktion:

integrieren. Was denkst Du, warum ich den Wolfram-Integrator bemüht habe? Big Laugh

Gruß
Marco

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Ich hätte es ja gerne mal ohne einen Rechner gesehn, also per Hand, deswegen würde ich gerne wisen wie ich hier weiter vorgehen könnte

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Du willst also wissen, wie man auf das Integral von:

kommt.

Dazu ist es schonmal hilfreich, wenn man die Ableitung von arctanh kennt. Die ist recht einfach auszurechnen, wenn man weiß, dass die Ableitung der Umkehrfunktion gleich eins durch die Ableitung der Funktion ist und dass die Ableitung von tanh das hier ist:

was wieder recht leicht herauszufinden ist, wenn man tanh=sinh/cosh setzt und die Ableitungen von sinh und cosh kennt, die wieder aus der Definition der beiden Funktionen recht leicht auszurechnen sind.
Ich weiß nicht, ob Du mir das auch so glaubst, oder es selbst rechnen kannst oder es so wie so schon kennst. Ich gehe also von der Ableitung von arctanh erstmal aus. Die ist

oder mit der Kettenregel dann auch:

Du siehst hier wahrscheinlich schon ein paar Ähnlichkeiten zu unserer Funktion. Ich hätte ganz gerne aber, dass es noch etwas ähnlicher wird. Z. B. hätte ich gerne Einsen dort stehen, wo auch hier Einsen stehen. Also ziehe ich aus dem Nenner noch ein -g raus und packe es in den Vorfaktor:

Jetzt kann ich meine Ableitungsformel für den arctanh anwenden. Dabei ist x mein v und a ist:

Um also das zu integrieren, muss ich noch den Vorfaktor mit Wurzel aus a dadurch kompensieren, indem ich dadurch teile. Außerdem habe ich noch den Vorfaktor -1/g, den ich natürlich unangetastet lasse, weil sich konstante Vorfaktoren beim Ableiten und Integrieren ja nicht verändern. Also habe ich:

Das ist schonmal die Stammfunktion von der einen Seite. Die Stammfunktion von der anderen ist besonders einfach, weil da ja nur dt stand. Also steht da danach einfach t.
Bei den Integration auf beiden Seiten kommt immer noch eine Integrationskonstante zu der eigentlichen Stammfunktion dazu. Du hast also nachher die Gleichung:

Wobei C die Integrationskonstante ist. Das musst Du nur noch nach v auslösen. Ich habe in die Integrationskonstante deshalb gleich noch den Faktor (g alpha)/m mit rein genommen, damit ich den nicht immer mit rum schleppen muss an dieser Stelle. C muss nachher so wie so aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden und in diesem Fall stellt sich sogar heraus, dass es 0 sein muss.

Gruß
Marco

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Ok, danke für deine ausführliche Antwort erstmal Thumbs up!

Ich muss sagen, in der Schule hatten wir nie sowas wie tanh und auch sonst kam das noch nirgends vor bis jetzt Big Laugh

Mir ist auch alles recht klar, was du geschrieben hast, nur am Anfang wo ist denn da das dv geblieben bei dir oben im Zähler im Bruch, weil da steht bei dir ja nur eine 1?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Eigentlich mache ich ja auf beiden Seiten der Gleichung ein Integral "davor". Ich habe dann also so was:

Darauf kommt es ja immer raus bei dem "Separation der Variablen"- Ansatz. Also musst Du links und rechts jeweils die Stammfunktion bilden. Rechts ist es einfach, weil die Punkte dort einfach eine 1 sind und deshalb die Stammfunktion dann einfach zu t wird.

Auf der anderen Seite steht aber der Bruch mit 1/(...) davon brauchen wir auch die Stammfunktion. Und das ist eben eine etwas aufwändigere Rechnung, wie Du siehst.

Gruß
Marco

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Super, vielen Dank für deine Erklärung und deine Ausführungen zu der Gleichung, jetzt hab ich alles verstanden, wie du darauf gekommen bist Thumbs up!

DGLs sind noch bissel ungewohnt für mich, aber jetzt verstehe ich es so langsam ganz gut Big Laugh

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg