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Champagner
Anmeldungsdatum: 24.06.2008
Beiträge: 3
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 Champagner Verfasst am: 24. Jun 2008 14:30 Titel: Federschwingung: Umkehrfunktion für Ort-Zeit-Gesetz |
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Hallo zusammen,
die folgende Aufgabe ist wohl aus einem Mathematikbuch entnommen, bezieht sich aber auf harmonische Schwingungen eines Federpendels.
Gegeben ist:
=a \cdot \cos(\omega t))
als Ort-Zeit-Gesetz, wobei a die Aplitude ist.
Nun soll das Schwingungsintervall  in viele gleiche Teilintervalle der Länge  aufgeteilt werden und "näherungsweise die Zeit  , die sich das Pendel im Schwingungsintervall  aufhält, als Funktion von  berechnet werden".
Die Gesetze, mit denen man in der Physik in der Schule Federschwingungen behandelt, habe ich bereits gelernt. Problematisch finde ich den zitierten Satz der Aufgabenstellung.
Lösen würde ich die Aufgabe, indem ich die Umkehrfunktion zum Weg-Zeit-Gesetz bilde:
=\frac{arccos(\frac{s}{a})}{\omega})
Diese stellt ja den Hauptzweig des Arcuscosinus dar und ist damit nur für s aus dem Intervall [-a,a] definiert. Soweit scheint alles zu passen, oder?
Dann würde ich die Funktion
=t(s)-t(s+\Delta s))
aufstellen, die dann eingesetzt und möglichst weit vereinfacht so aussieht:
=\frac{\arccos(\frac{s}{a})-\arccos(\frac{s+\Delta s}{a})}{\omega})
Ich habe diese Funktion mehrmals für verschiedene a, omega und delta s geplottet und es scheint zu passen.
Nur bin ich mir bei den Intervallen und Definitionsbereichen nicht sicher, und bei der Frage, ob eine solche Funktion überhaupt gewünscht ist. Aber was soll man denn hier "näherungsweise" machen?
Vielen Dank für die Mühe, dies zu lesen und Entschuldigung für Setzungsfehler, aber ich mache das zu ersten Mal. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 25. Jun 2008 14:29 Titel: Re: Federschwingung: Umkehrfunktion für Ort-Zeit-Gesetz |
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| Champagner hat Folgendes geschrieben: |
Lösen würde ich die Aufgabe, indem ich die Umkehrfunktion zum Weg-Zeit-Gesetz bilde:
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Einverstanden 
Und nun glaube ich, meint die Aufgabenstellung, dass du diese Funktion ) einfach nach dem Weg ableiten sollst:
=\frac{\dd t}{\dd s} = ...)
Und wenn du diese Ableitung der Funktion nach an der Stelle s als die Steigung der Tangente an diese Kurve an der Stelle identifizierst, dann kannst du an dem zugehörigen Steigungsdreieck  direkt in guter Näherung sehen, welches Zeitintervall  benötigt wird, um die Strecke  bei der Stelle s zu durchlaufen. |
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Champagner
Anmeldungsdatum: 24.06.2008
Beiträge: 3
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| Champagner Verfasst am: 26. Jun 2008 20:08 Titel: |
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Vielen Dank soweit, diese Idee gefällt mir sehr, da sie mit der Ableitung mathematischer ist und somit wahrscheinlich besser passt.
Die Ableitung lautet dann:
 = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s} = - \frac{1}{\omega \cdot a \cdot \sqrt{1-\frac{s^2}{a^2}}})
So, die setze ich dann gleich  und löse das ganze nach  auf, was
ergibt.
Jetzt stellen sich für mich zwei Fragen. Erstens besagt doch die Aufgabenstellung, dass ich das als Funktion von  berechnen soll. Muss ich dann nicht am Ende eine Funktion angeben und nicht wie oben eine Formel?
Und zweitens ergibt diese Formel, wenn ich sie als Funktion von plotte, negative Werte für . Die Form ist richtig und entspricht auch ungefähr der anfangs von mir angegebenen Funktion, nur sind die Werte negativ. Das Minus ist durch die Ableitung hereingekommen, ich setzte aber für  positive Werte ein.
Eine einfache Lösung wäre es, die Formel letztendlich als Funktion  ) anzugeben und dabei Betragsstriche zu setzten. Was hälst du denn davon? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 27. Jun 2008 00:21 Titel: |
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| Champagner hat Folgendes geschrieben: |
Eine einfache Lösung wäre es, die Formel letztendlich als Funktion anzugeben und dabei Betragsstriche zu setzen. |
Einverstanden
Denn weil das in deiner Formel schon fertig isoliert auf der linken Seite steht, kannst du einfach noch das ) dahinterschreiben, damit das gleich schon die gesuchte Funktion ist.
Da du deine Umkehrfunktion für den Bereich zwischen  und  gebildet hast, hat die Cosinusschwingung in diesem Bereich eine negative Steigung, also verläuft die Schwingung in diesem Bereich von oben nach unten. (Diese Information findest du in Form des Minuszeichens in deinen Gleichungen wieder.)
Da die Richtung der Bewegung des Pendels aber egal ist für die gesuchte Zeit , innerhalb derer sich das Pendel innerhalb des Intervalls  aufhält, setzt du einfach Betragsstriche |
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Champagner
Anmeldungsdatum: 24.06.2008
Beiträge: 3
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| Champagner Verfasst am: 27. Jun 2008 01:07 Titel: |
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Okay, dann mache ich das so. Herzlichen Dank  |
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