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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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 jentowncity Verfasst am: 20. Jun 2008 14:23 Titel: Spinmessung - Wahrscheinlichkeit |
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Hallo an alle!
Habe folgendes Problem:
Betrachten Sie den zweidimensionalen Hilbertraum eines Spins S=1/2. Die Observable Elektronenspin ist gegeben durch:
^{T}=\frac{\hbar}{2}(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} )^{T} )
Die dazugehörige 2x2 Dichtematrix ist gegeben durch:
)
Das System befinde sich im Zustand mit )
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei einer Messung von  das Resultat  gefunden?
Also für den Erwartungswert bekomm ich:
=0)
Aber ist ja keine Antwort auf die Frage...
Wie kann ich diese Wahrscheinlichkeit berechnen?
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Edit:
Hab mir das jetzt mal genauer angeschaut mit der Dichtematrix:
Der Erwartungswert einer Observable ist gegeben durch:
 ) dabei ist  die Wahrscheinlichkeiten bei einer Messung von S am gemischten Zustand den Eigenwert  zu finden. Wobei die Eigenwerte hier sind.
Nun habe ich für die Darstellung mit der Dichtematrix folgendes rausbekommen:
=Sp(\begin{pmatrix} \frac{1+P}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1-P}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} )=Sp(\begin{pmatrix} 0 & \frac{\hbar(1+P)}{4} \\ \frac{\hbar(1-P)}{4} & 0 \end{pmatrix})=0)
Und da in der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen, die Eigenwerte aber ungleich Null sind folgt daraus, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Messungen der Eigenwerte =0 sind. Oder in Formeln:
Ist das so richtig? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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| dermarkus Verfasst am: 21. Jun 2008 16:09 Titel: Re: Spinmessung - Wahrscheinlichkeit |
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Deine Folgerung in der Zeile
| jentowncity hat Folgendes geschrieben: |
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verstehe ich nicht so recht. Ist die Möglichkeit "beide Wahrscheinlichkeiten gleich Null" nicht vielmehr nur eine von mehreren Möglichkeiten, die vorangegangene Gleichung zu erfüllen?
Welche eindeutige Möglichkeit erhältst du als eindeutiges Ergebnis, wenn du zusätzlich noch physikalischerweise annimmst, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss? |
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 21. Jun 2008 16:43 Titel: |
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Danke für deine Antwort dermarkus!
Die Folgerung, die du ansprichst ist natürlich nicht ganz korrekt, bzw. unvollständig. Wenn es nur so da steheh würde, dann wäre auch eine Wahrscheinlichkeit von je 50% ein mögliches Ergebnis.
Aber wenn man sich die Matrix anguckt, aus der das Ergebnis folgt, nämlich
}{4} \\ \frac{\hbar(1-P)}{4} & 0 \end{pmatrix})
dann erkennt man, dass die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Messwerte =0 sein müssen, denn es gilt:
=Sp(\begin{pmatrix} 0 & \frac{\hbar(1+P)}{4} \\ \frac{\hbar(1-P)}{4} & 0 \end{pmatrix})=\frac{\hbar}{2}0+\frac{-\hbar}{2}0 ~~\Rightarrow~~w_{+}=w_{-}=0)
So hab ich mir das gedacht  Hab mich im ersten Beitrag etwas ungenau augedrückt, sorry.
Das Ergebnis erscheint mir auch ziemlich logisch, denn wenn die Polarisation vollständig in z-Richtung ist ( ), gibt es keine Spinkomponente in x-Richtung. Aber da ich keine Erfahrung mit der Dichtematrix und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Messwerte habe, bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig ist...
Oder war dir das schon klar und du meintest etwas anderes? Dann sehe ich nämlich nicht, wo ich die physikalische Forderung danach, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten =1 ist einbringen kann und was diese am Ergebnis ändert... |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 21. Jun 2008 17:06 Titel: Re: Spinmessung - Wahrscheinlichkeit |
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Wenn man den Wert der Spinkomponente in x-Richtung misst, dann wird man mit Sicherheit nicht "gar nichts" messen, sondern mit einer Wahrscheinlichkeit einen Wert, mit einer weiteren Wahrscheinlichkeit einen anderen Wert, und die Summe all dieser Wahrscheinlichkeiten muss natürlich eins geben, da man ja mit Wahrscheinlichkeit eins (nämlich mit Sicherheit) weiß, dass man irgendeinen Wert messen wird.
Und was bekommst du aus dem System zweier Gleichungen
)
)
als eindeutiges Endergebnis? |
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 22. Jun 2008 18:06 Titel: |
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Aha, dann kommt also jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 50% raus.
Was war denn an meiner Argumentation falsch? Ich hab mir gedacht, dass die Diagonalelemente der Matrix für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten stehen. Und da sie Null sind, dachte ich, dass die Wahrscheinlickeiten auch Null sind...
Ich meine es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit für alle Messwerte =1 ist. Und die einzigen möglichen Messwerte sind halt die erwähnten beiden Eigenwerte. Ah, ok, jetzt hats klick gemacht. Die Wahrscheinlichkeiten müssen sich auf die Eigenwerte aufteilen und in diesem Fall teilen sie sich gleichmäßig auf. Aber dann ist offensichtlich meine Vorstellung vom Zusammenhang der Diagonalelemente mit den Wahrscheinlichkeiten falsch...
Was sagen mir denn diese Diagonalelemente? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Jun 2008 18:13 Titel: |
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| jentowncity hat Folgendes geschrieben: | | Ich hab mir gedacht, dass die Diagonalelemente der Matrix für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten stehen. |
Hast du da vielleicht mal einen Fall gesehen, in dem alle Nichtdiagonalelemente Null waren? In diesem Spezialfall (vielleicht kennst du schon das Stichwort "gemischte Zustände"?) sind die Diagonalelemente in der Tat einfach gleich den Besetzungswahrscheinlichkeiten der Zustände.
Im allgemeinen Fall hingegen trifft das sicher nicht zu, wie wir hier ja nun gesehen haben. |
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
Beiträge: 132
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| jentowncity Verfasst am: 22. Jun 2008 20:11 Titel: |
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Alles klar, jetzt weiß ich endlich wo mein Denkfehler war.
Vielen Dank für deine Hilfe dermarkus!  |
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