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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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 Dreimal0 Verfasst am: 27. Sep 2020 10:58 Titel: Was bedeutet "Wahrscheinlichkeit"? |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
zunächst wünsche ich allen Lesern einen schönen Tag.
Zu meinem Problem:
In einem früheren Thread in der Rubrik "Mechanik" mit dem Titel "Höhe des Sprungturms" kam es über Umwege zur folgender Frage:
Wie wahrscheinlich ist es, dass sich ein Stein spontan abkühlt und dafür 10 cm hoch hüpft? (Die Frage gehörte natürlich eigentlich nicht zum ursprünglichen Thema!)
Der Forum-Teilnehmer Nils Hoppenstedt schätzte diese Wahrscheinlichkeit unter Zuhilfenahme von Begriffen wie Entropieänderung, Gesetze der Wärmelehre und der Energieerhaltung auf näherungsweise 10^(-10^20).
Das ist also eine, wie zu erwarten sehr, sehr, sehr, ..., sehr geringe Wahrscheinlichkeit.
Aber was bedeutet das eigentlich konkret?
Die Wahrscheinlichkeit mit einem gewöhnlichen Würfel eine 6 zu würfeln beträgt 1/6.
Das ist also die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Versuch eine 6 zu würfeln.
Wenn ich nun weiß, wie oft ich in einem Jahr würfele, kann ich errechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, im Rahmen dieser Versuche bzw. in diesem, einen Jahr eine 6 zu würfeln.
Was sagt, unter Betrachtung dieses Gedankenganges, die "errechnete" Wahrscheinlichkeit für das "spontane Hüpfen" des Steines aus?
Wie könnte man zum Beispiel abschätzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Stein innerhalb eines Jahres spontan hüpft? Oder andersherum: Nach wie viel Jahren ist der Stein mit z.B. 99%-iger Wahrscheinlichkeit gehüpft?
Ich wäre dankbar, wenn jemand meine wirren Gedanken zu diesen Zusammenhängen ordnen und in die richtige Richtung lenken könnte.
Vielen Grüße
Dreimal0
Meine Ideen:
Man müsste doch, um im Bild des Würfels zu bleiben, wissen, wie oft der Stein innerhalb eines Jahres "versucht" zu hüpfen. Vermutlich ist diese Frage nach der Anzahl der "Versuche" in diesem Zusammenhang physikalisch völliger Käse. Oder doch nicht?
Ein ähnliches Problem, aber aus der anderen "Richtung" betrachtet betrifft den Zerfall radioaktiver Atome (Atomkerne). Hier gibt es aber das Zerfallsgesetz, aus dem ich anhand der Zerfallskonstante bzw. der "Halbwertszeit" errechnen kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Atom nach einer gewissen Zeit zerfallen ist (also z.B. mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 nach einer Halbwertszeit).
Kann man aus der Wahrscheinlichkeit des "spontanen Hüpfens des Steines" auch so etwas wie ein Zerfallsgesetz ("Hüpfgesetz") bzw. eine "Hüpfkonstante" konstruieren? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2020 12:32 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: |
@Nils: Du hast in einem deiner vorhergehenden Beiträge eine deiner Übungsaufgaben aus dem 1. Semester erwähnt. Ich meine die Sache mit dem "spontan hüpfenden Stein". Kannst du dich vielleicht noch an die Lösung der Aufgabe erinnern - wär mal interessant zu wissen.
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Ist zwar off-topic, aber das ging ungefähr so: Wenn N1 und N2 die Anzahl der Mikrozustände zum Makrozustand "Stein liegt unten" bzw. "Stein hüpft 10 cm" hoch sind, dann sind die dazugehörigen Entropien:
S1 = k ln(N1)
S2 = k ln(N2)
Und damit
Delta_S = S2 - S1 = k ln(N2/N1)
Da N1 näherungsweise gleich der Anzahl aller möglichen Mikroszustände ist, ist W = N2/N1 ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit, dass man den Makrozustand "Stein hüpft 10 cm" beobachtet.
Die Entropieänderung ermittelt man über die Gesetze der Wärmelehre: dS = dQ/T. Aufgrund der großen Wärmekapazität von Stein ändert sich die Temperatur beim Hochhüpfen nur wenig und wir erhalten zusammen mit der Energieerhaltung:
Delta_S =~ Delta_Q/T = -mgh/T
Kombiniert man beide Gleichungen folgt:
W = e^-(mgh/(kT))
Für m = 1kg und T = 300K, erhält man
W = 10^(-10^20).
Also 0,00.....1 mit 10^20 Nullen hinter dem Komma. Es ist also nicht sonderlich wahrscheinlich (wer hätte das gedacht).
Viele Grüße,
Nils |
Ich hätte hier eher über Makrozustände "Stein hüpft bis zu 10 cm" integriert.
Außerdem würde ich von den Bild des Hüpfens ...
| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | Wie wahrscheinlich ist es, dass sich ein Stein spontan abkühlt und dafür 10 cm hoch hüpft?
Was sagt, unter Betrachtung dieses Gedankenganges, die "errechnete" Wahrscheinlichkeit für das "spontane Hüpfen" des Steines aus?
Wie könnte man zum Beispiel abschätzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Stein innerhalb eines Jahres spontan hüpft? |
... weggehen und eher "befindet sich in bis zu 10 cm Höhe" betrachten.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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De Selby
Gast
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| De Selby Verfasst am: 27. Sep 2020 14:15 Titel: |
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Na, das ist ja mal eine interessante Rechung.
Wie steht es denn mit der Wahrscheinlichkeit, das sich ein Stein, der zur Zeit t0 am Ort A befindet, sich zu einem späteren Zeitpunkt t1 horizontal verschoben an einem Ort B befindet?
Wenn man Nils glauben darf, dann sollte diese Wahrscheinlichkeit 1 sein, und zwar für jeden Ort B. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 27. Sep 2020 14:54 Titel: Re: Was bedeutet "Wahrscheinlichkeit"? |
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| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | | Wie könnte man zum Beispiel abschätzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Stein innerhalb eines Jahres spontan hüpft? |
Die Frage ist, wie groß die charakteristische Zeit ist, innerhalb der sich der Mikrozustand des Stein ändert. Für eine Abschätzung nach unten kann man hier ja mal die Planckzeit tP = 10^-44 s einsetzen. Das ist die kleinst mögliche Zeitdifferenz zwischen zwei unterschiedlichen Zuständen. Der Stein hat also innerhalb der Beobachtungszeit t etwa n = t/tP Versuche zu hüpfen. Beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Hüpfer pro Versuch p, so ist die Wahrscheinlichkeit den Stein nie hüpfen zu sehen (1-p)^n und folglich die Wahrscheinlichkeit den Stein mindestens einmal hüpfen zu sehen:
W = 1 - (1-p)^n
| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | | Oder andersherum: Nach wie viel Jahren ist der Stein mit z.B. 99%-iger Wahrscheinlichkeit gehüpft? |
Das wäre dann entsprechend:
n = ln(1-W)/ln(1-p)
und t = n*tP.
Viele Grüße,
Nils |
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 27. Sep 2020 19:25 Titel: |
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Hallo Nils,
schön, dass Du im großen Forum zu dieser Frage gefunden hast und eine, wie ich meine, plausible Idee für eine Abschätzung der Antworten auf meine Frage beschrieben hast.
Wie zu erwarten, kann man wohl grob zusammengefasst sagen, dass mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit seit Bestehen des Universums kein Stein spontan gehüpft ist. :-)
Mir ging es hier aber in erster Linie auch darum zu verstehen, wie der Zusammenhang zwischen einer Wahrscheilichkeitsangabe und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses in einem gegebenen Zeitraum zu ermitteln ist. Du hast meine Idee bestätigt, dass man dazu halt wissen muss, wie oft in diesem Zeitraum "die Chance besteht", dass das Ereignis eintreten kann, also wie viele "Versuche" durchgeführt werden - eigentlich ja auch logisch und trivial.
Nochmal vielen Dank
und schönen Sonntagabend!
Dreimal0 |
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