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Was bedeutet 'd' vor einer physikalischen Größe?
 
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Juicy
Gast





Beitrag Juicy Verfasst am: 07. Dez 2016 17:41    Titel: Was bedeutet 'd' vor einer physikalischen Größe? Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hey Leute,

da ich nicht sehr bewandert bin in Physik, wollte ich mal diese einfach
Frage geklärt bekommen:

Was bedeutet das d innerhalb einer Formel wie z.B. die allgemeine Formel des Masseträgheitsmoments:

I= Integral r^2 dm

Warum muss vor das m ein d und was bedeutet das d?


Zum Zweiten, ich weiß ja, dass m = Rho x V.
Wie ersetzt man in der obigen Formel mit 'd' das m durch Rho x V?


Beste Grüße und Danke


Meine Ideen:
Habe leider keine Idee.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 07. Dez 2016 17:50    Titel: Re: Was bedeutet 'd' vor einer physikalischen Größe? Antworten mit Zitat

Juicy hat Folgendes geschrieben:
Was bedeutet das d innerhalb einer Formel wie z.B. die allgemeine Formel des Masseträgheitsmoments:

I= Integral r^2 dm

Warum muss vor das m ein d und was bedeutet das d?


Das d bedeutet, dass es sich um ein Differential handelt - in diesem Fall um einen unendlich kleinen Teil der Gesamtmasse. Das Integral bedeutet dann, dass über alle unendlich kleinen Teilmassen summiert wird. Um sowas auszurechnen, musst Du Dich mit Differential- und Integralrechnung befassen.

Juicy hat Folgendes geschrieben:
Wie ersetzt man in der obigen Formel mit 'd' das m durch Rho x V?


dm = rho·dV
PhyMaLehrer



Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 1085
Wohnort: Leipzig

Beitrag PhyMaLehrer Verfasst am: 08. Dez 2016 06:38    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Mathematiklehrerin in der 12. Klasse sagte einmal:

d ist so klein, daß man es nicht mehr sehen, sondern nur noch denken kann. Augenzwinkern
Spacejunkie



Anmeldungsdatum: 08.12.2016
Beiträge: 12
Wohnort: Berlin

Beitrag Spacejunkie Verfasst am: 08. Dez 2016 21:35    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Juicy


Meine Idee, wäre diese, bedeutet das D d

Vielleicht Dimensions Größe

Alles Gute dir
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 08. Dez 2016 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

Spacejunkie hat Folgendes geschrieben:
Hallo Juicy
Meine Idee, wäre diese, bedeutet das D d
Vielleicht Dimensions Größe

Das ist keine Meinungsfrage...

Aber schön dass Du diesmal mit nur zwei Kommas auskommst...
Spacejunkie



Anmeldungsdatum: 08.12.2016
Beiträge: 12
Wohnort: Berlin

Beitrag Spacejunkie Verfasst am: 08. Dez 2016 23:40    Titel: Antworten mit Zitat

Juicy Hallo da issa wieder sorry habe was vergessen betrifft auch was das kleinste wie auch das größte was D d Dimension angeht Hammer kann damit zu tun haben muss aber nicht irren ist wissenschaftlich grins
moody_ds



Anmeldungsdatum: 29.01.2016
Beiträge: 515

Beitrag moody_ds Verfasst am: 13. Dez 2016 09:30    Titel: Antworten mit Zitat

Spacejunkie hat Folgendes geschrieben:
kann damit zu tun haben muss aber nicht irren ist wissenschaftlich grins

Nein, DrStupid hat alles gesagt. Da gibt es nichts zu spekulieren.

Mein LK Lehrer hat uns damals leider nur gesagt beim Integrieren: Das d schreibt man einfach dahin. Ich musste erst eine Universität besuchen um herauszufinden was es bedeutet. Im Nachhinein traurig dass man einem LK nicht zugetraut hat die Bedeutung zu verstehen bzw. zu erkennen dass das eigentlich unglaublich wichtig ist.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 13. Dez 2016 12:06    Titel: Antworten mit Zitat

Es dürfte hier ziemlich egal sein, aber für die mathematische Erklärung würde ich mich wohl eher an Deinem Lehrer orientieren, statt anschauliche Deutungen wie "unendlich klein" usw. zu verwenden. Integralzeichen, dx usw. sind nur (wunderbar intuitive) Symbole für bestimmte Grenzwertbildungen, mehr nicht.
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 13. Dez 2016 14:57    Titel: Antworten mit Zitat

moody_ds hat Folgendes geschrieben:


Mein LK Lehrer hat uns damals leider nur gesagt beim Integrieren: Das d schreibt man einfach dahin. Ich musste erst eine Universität besuchen um herauszufinden was es bedeutet.


Was genau ist daran falsch? Tatsächlich hat das d in diesem Zusammenhang keine weitere Bedeutung außer den Integrator zu kennzeichnen.
moody_ds



Anmeldungsdatum: 29.01.2016
Beiträge: 515

Beitrag moody_ds Verfasst am: 13. Dez 2016 15:09    Titel: Antworten mit Zitat

Falsch nicht, aber die Info was ein differentielles Element ist z.B. schadet in dem Themengebiet ja nicht Augenzwinkern
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 13. Dez 2016 18:05    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:
.., statt anschauliche Deutungen wie "unendlich klein" usw. zu verwenden.

Find ich nicht. Dieser Zugang ist mMn sehr viel intuitiver:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number#Calculus_with_algebraic_functions
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number#Integration
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 13. Dez 2016 18:18    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:
aber für die mathematische Erklärung würde ich mich wohl eher an Deinem Lehrer orientieren


Offenbar weißt Du mehr als wir. Wie sieht denn die mathematische Erklärung des Lehrers aus?

franz hat Folgendes geschrieben:
statt anschauliche Deutungen wie "unendlich klein" usw. zu verwenden. Integralzeichen, dx usw. sind nur (wunderbar intuitive) Symbole für bestimmte Grenzwertbildungen, mehr nicht.


Im vorliegenden Fall handelt es sich um den Limes für dm gegen Null und das bedeutet nichts anderes, als dass die Änderung der Masse unendlich klein wird. Genau so wird aus dem Differenzenquotient ein Differentialquotient. Das ist also keine anschauliche Deutung.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Dez 2016 00:53    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Im vorliegenden Fall handelt es sich um den Limes für dm gegen Null und das bedeutet nichts anderes, als dass die Änderung der Masse unendlich klein wird.

Nein, das bedeutet es in dieser Schreibweise leider nicht - und deswegen ist es nicht sinnvoll, diese Schreibweise ohne weitere Erklärung einzuführen.

Gemeint ist ja - der Einfachheit halber in einer Dimension



Aber während rechts im Falle des Riemann-Integrals das "dx" für eine infinitesimale Größe im Sinne eines Grenzwertes steht, ist dies links im Falle des Lebesgue-Integrals für das Maß "dm" nicht der Fall, wie man anhand der beiden Bilder erkennt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral#/media/File:Riemannvslebesgue.svg
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration#/media/File:RandLintegrals.png

Im Falle einer konstanten Funktion existiert im Falle des Lebesgue-Integrals überhaupt kein Grenzprozess und keine infinitesimale Größe.

In der Schule ist immer das "dx" im Sinne des Riemann-Integrals gemeint. Das "dm" sollte man entweder erklären oder vergessen. Das Lebesgue-Integral ist auf eine größere Klasse von Funktionen anwendbar, die man jedoch in der Schule nicht antrifft.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 14. Dez 2016 09:06, insgesamt einmal bearbeitet
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 14. Dez 2016 05:51    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:


Abgesehen davon, daß ich bei einer konstanten Dichte dieselben Treppenbreiten pro dm erhalten würde, verstehe ich nicht mal warum

bei


die zu unterschiedlichen dms bzw Treppenbreiten führen würde, dm nicht gegen -> 0 streben würde und damit nicht unendlich klein sein sollte.

Ich denke mir immer

dx*8 ist unendlich klein und dx *10 ist unendlich klein, aber dennoch ist dx*8 noch kleiner als dx*10 aber beide sind im Bereich unendlich klein und streben gegen null.


dazu schreibe ich


usw

8 10
0.8 1
0.08 0.1
0.008 0.01
0.0008 0.001

werde ich immer kleiner und das unendlich oft streben beide gegen null aber im unterschiedlichen Ausmass einer eilt voraus,

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Dez 2016 09:05    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:


Abgesehen davon, daß ich bei einer konstanten Dichte dieselben Treppenbreiten pro dm erhalten würde ...

Beim Lebesgue-Integral werden die Stufenfunktionen in



anhand der Funktion f festgelegt.

Wenn f = 1 und das Maß konstant ist, dann benötigst du nur eine einzige Stufenfunktion ohne Grenzwert.


Mit ging es eigentlich um folgendes:

Für Riemann-integrierbare Funktionen gilt zwar



aber die "Ersetzung", die man gerne verwendent

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Juicy hat Folgendes geschrieben:
Wie ersetzt man in der obigen Formel mit 'd' das m durch Rho x V?


dm = rho·dV


ist m.E. formal falsch; es gilt nicht



weil links und rechts völlig unterschiedliche Objekte stehen.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 14. Dez 2016 16:21    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Für Riemann-integrierbare Funktionen gilt zwar




auf welcher Basis stütz sich das dann wenn nicht auf dieser Basis

grübelnd

durch diese Gleichung hätte ich gesagt kann man erst hinschreiben, daß

gültig ist.

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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 14. Dez 2016 17:46    Titel: Antworten mit Zitat

Schau dir halt mal die velinkten Bilder an. Dann siehst du, dass für das Riemann- bzw. das Lebesgue-Integral zwei völlig verschiedene Summen definiert werden, über die dann (ggf. mittels Grenzübergang) der jeweilige Integralbegriff definiert wird. Wenn beide Integrale existieren, dann stimmen sie überein. Es gibt jedoch Fälle, in denen das Lebesgue-Integral existiert, jedoch nicht das Riemann-Integral.

Wenn die Werte zweier Summen identisch sind, müssen doch nicht die einzelnen Summanden identisch sein; sie haben hier absolut nichts miteinander zu tun (anderes Beispiel: du kannst eine Funktion auf einem Kreis als Taylor- oder als Fourierreihe darstellen; nun kann durchaus die selbe Funktion vorliegen, aber jeder einzelne Summand der Taylorreihe hat nichts mit irgendeinem Summanden der Fourierreihe zu tun).

VeryApe



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Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 14. Dez 2016 17:58    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Wenn die Werte zweier Summen identisch sind, müssen doch nicht die einzelnen Summanden identisch sein;


verstehe schon

Wenn aber die einzelnen Summanden identisch sind dann müssen die Summen identisch sein.

Zitat:
du kannst eine Funktion auf einem Kreis als Taylor- oder als Fourierreihe darstellen; nun kann durchaus die selbe Funktion vorliegen, aber jeder einzelne Summand der Taylorreihe hat nichts mit irgendeinem Summanden der Fourierreihe zu tun).


jetzt verstehe ich was du meinst.


ich kann also festsetzen das



und daraus folgt dann das eben die Integrale die Summenbildungen gleich sind.

ich kann aber nicht umgekehrt hergehen und schließen das aus der Gleichheit der Summe die einzelnen Summanden gleich sein müssen.

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DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 14. Dez 2016 19:13    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
es gilt nicht




Dann müsste Wikipedia dringend korrigiert werden.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Dez 2016 19:30    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:
ich kann also festsetzen das



und daraus folgt dann das eben die Integrale die Summenbildungen gleich sind.

m.E. nein, da es sich um Äpfel und Birnen handelt.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Dez 2016 19:30    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Dann müsste Wikipedia dringend korrigiert werden.

wo?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 14. Dez 2016 22:32    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Dann müsste Wikipedia dringend korrigiert werden.

wo?


Zum Beispiel hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Differential_(Mathematik)

oder hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Dichte
TomS
Moderator


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Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Dez 2016 01:17    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Zum Beispiel hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Differential_(Mathematik)

Da stehen schon ein paar wesentliche Punkte:

Zitat:
Differentiale werden heute ... mit unterschiedlicher mathematischer Strenge verwendet. Die in Standardschreibweisen ... auftretenden Differentiale werden heutzutage üblicherweise als bloßer Notationsbestandteil ohne eigenständige Bedeutung angesehen.

Eine rigorose Definition liefert die in der Differentialgeometrie verwendete Theorie der Differentialformen, wo Differentiale als exakte 1-Formen interpretiert werden.

...

In seinen ... Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung schreibt Richard Courant, dass die Idee des Differentials als unendlich kleine Größe keine Bedeutung habe ...

...

Formale Erklärung
Es sei f ... eine integrierbare Funktion mit Stammfunktion F. Das Differential dF ... ist eine 1-Form, die nach den Regeln der Integration von Differentialformen integriert werden kann. Das Ergebnis der Integration ... ist genau das Lebesgue-Integral ...

Insofern ist die Kombination von Aussagen wie

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Das d bedeutet, dass es sich um ein Differential ... Das Integral bedeutet dann, dass über alle unendlich kleinen Teilmassen summiert wird.


DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Juicy hat Folgendes geschrieben:
Wie ersetzt man in der obigen Formel mit 'd' das m durch Rho x V?

dm = rho·dV

wenig hilfreich.

Wenn das "d..." als Differential und somit ohne Integral als eigenständiges Objekt aufgefasst werden soll, dann ist es eben gerade nicht unendlich klein. Wenn es andererseits unendlich klein sein soll - im Kontext eines Grenzwertprozesses - dann ist dies wiederum nicht ohne das Integral sinnvoll, und damit ist das "d..." ein Symbol für eine Rechenregel, jedoch eben gerade nicht das Differential.

Entweder befasst man sich also mit den Differentialformen - und das ist hier wohl genausowenig sinnvoll wie das o.g. Lebesgue-Integral - oder man bleibt bei ...

franz hat Folgendes geschrieben:
... für die mathematische Erklärung würde ich mich wohl eher an Deinem Lehrer orientieren, statt anschauliche Deutungen wie "unendlich klein" usw. zu verwenden.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 15. Dez 2016 06:29    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist das momentan schon wieder zu hoch, ich versteh schon wieder Bahnhof.

Kommt mir das nur so vor, daß die Sachen immer weiter verkompliziert werden ohne das man sie simpel verstehen kann.

Wie schreibe ich den jetzt mathematisch korrekt, daß eine unendlich kleine Teilmasse über ein unendlich kleines Kontrollvolumen, das Produkt aus der Dichte und des unendlich kleinen Kontrollvolumen ist.

Und das daraus folgt, daß die Masse über ein endliches Volumen, die Summe aller unendlich kleinen Volumen innerhalb mal deren Dichte ist.

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VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 15. Dez 2016 06:53    Titel: Antworten mit Zitat

Letzter Versuch.

wenn ich ein Riemann Integral schreibe

dann wäre dm ja pro treppe konstant in der Form.

Wenn ich nun aber ansetze das

ist dann ist ja dm nicht mehr konstant und es ist nichtmehr dasselbe konstante dm was ich oben im Riemann Integral meine, deswegen kann ich das nicht so ersetzen.

ist das nun korrekt?

ich müsste irgendwas in der Richtung schreiben





wobei m_{unendlichklein} nicht gleich dm ist.

Ich habe mir da immer selbst erklärt : das dx bzw dm muß ja nicht immer gleich sein pro treppe ich kann auch die Treppe mit unterschiedlichen dx berechnen wichtig ist nur das dx unendlich klein ist bzw die momentane steigung nur über einen unendlich kleinen Bereich (Treppe) betrachtet wird, dann ist auch der Fehler unendlich klein, egal ob er doppelt unendlich klein oder dreifach unendlich klein ist.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Dez 2016 07:05    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:
Wie schreibe ich denn jetzt mathematisch korrekt, daß eine unendlich kleine Teilmasse über ein unendlich kleines Kontrollvolumen, das Produkt aus der Dichte und des unendlich kleinen Kontrollvolumen ist.

Du schreibst stattdessen, dass das Differential bzw. die 1-Form dm definiert wird mittels der Funktion rho



VeryApe hat Folgendes geschrieben:
... und daraus folgt, daß die Masse über ein endliches Volumen, die Summe aller unendlich kleinen Volumen innerhalb mal deren Dichte ist.

Und du schreibst, dass die Masse M im Volumen V definiert wird mittels des Integrals über diese 1-Form




VeryApe hat Folgendes geschrieben:
Letzter Versuch ...

Warum legst du soviel Wert darauf, irgendwas mit "unendlich klein" aufzuschreiben?


Zurück zur Ausgangsfrage

Juicy hat Folgendes geschrieben:
Was bedeutet das d innerhalb einer Formel wie z.B. die allgemeine Formel des Masseträgheitsmoments:


Das bedeutet, dass die Funktion r² mit dem Maß m(r) zu integrieren ist; d.h.



ist eine symbolische Darstellung einer Rechenvorschrift.

Juicy hat Folgendes geschrieben:
Wie ersetzt man in der obigen Formel mit 'd' das m durch Rho x V?


VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 15. Dez 2016 17:35    Titel: Antworten mit Zitat

Hammer Hammer LOL Hammer

Ich kapier das einfach nicht.

Ich kapiere nicht mal warum

ein lebesgue integral sein soll.

Wenn ich schreibe

muß das doch ein Riemann integral sein und das entspicht doch

bzw



ich kann doch auf der x Achse x auftragen und auf der y Achse ebenfalls x -> y=x

dann wäre y'=1=x^0

und die summe aller dx wieder x

dann muß doch
auch ein Riemann Integral sein.



Desweiteren verstehe ich nicht warum die dx bzw die dm unbedingt pro Treppe beim Riemann Integral konstant sein müssen.
Die können doch auch unterschiedlich sein solange sie nur im unendlich kleinen Bereich sind wird genau dasselbe rauskommen.

wenn ich da in nicht konstante dm Treppen von rho dV durchmarschiere wird genau das gleiche rauskommen wie wenn ich da in konstante Treppen von dm durchmarschiere
weil die Fehler trotzdem unendlich klein sind. zur Not kann ich das auch aufzeichnen.


Anscheinend habe ich mir da einen eigenen Zugang zur Integralrechnung aufgebaut.
Auf wundersame Weise habe ich in der Mathematik trotzdem immer gute Noten gehabt.

Ich lese mir das jetzt noch paar Mal durch, Gibts ja ned das ich für das zu blöd bin.

toms hat Folgendes geschrieben:
Warum legst du soviel Wert darauf, irgendwas mit "unendlich klein" aufzuschreiben?


weil es anschaulich ist und verständlich ist.
Die meisten Herleitungen erfordern ja auch Skizzen wo man Massangaben oder physikalische Größen ja mit einem d Kennzeichnen könnte und damit ausdrückt das es sich um unendlich kleine Größen handelt die hier nur übertrieben gezeichnet sind. wie zum Beispiel ein Kraft dF oder dx, dy ,dr dV usw.

_________________
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ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3384

Beitrag ML Verfasst am: 15. Dez 2016 18:10    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

VeryApe hat Folgendes geschrieben:

Ich kapier das einfach nicht.

ich vermute, dass Du an stetige Funktionen denkst, wenn Du die Unterschiede zu verstehen versuchst. Bei stetigen Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall [a, b] sind Riemann- und Lebesqueintegral jedoch identisch. Das hilft also eher nichts.

Der Unterschied muss also irgendeine Spitzfindigkeit sein. Vielleicht kann TomS ja ein Beispiel nennen für eine Funktion, die nicht Riemann-integrierbar, aber dennoch Lebesque-integrierbar ist.

Ich habe auch schon mehrere Leute gefragt, worin der Unterschied besteht und habe noch nie ein wirklich greifbares Ergebnis bekommen.



Viele Grüße
Michael
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Dez 2016 18:50    Titel: Antworten mit Zitat

Das erste Problem ist rein formal: das Riemann-Integral wird mittels "dx" definiert; "dm" macht schlicht keinen Sinn.

Ein pathologisches Beispiel ist eine Funktion f, die alle rationalen x aus [0,1] auf 0 abbildet, alle irrationalen x auf 1. Nach Riemann kann f nicht integriert werden, da Ober- und Untersumme keinen gemeinsamen Grenzwert haben; nach Lebesgue erhält man den Wert 1.

Eine auch über Lebesgue hinausgehende Verallgemeinerung wären Distributionen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 15. Dez 2016 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Da stehen schon ein paar wesentliche Punkte: [...]


Ich meine diesen Punkt:

Zitat:
Besteht eine funktionale Abhängigkeit mit einer differenzierbaren Funktion , dann lautet der grundlegende Zusammenhang zwischen dem Differential der abhängigen Variablen und dem Differential der unabhängigen Variablen

,

wobei die Ableitung von an der Stelle bezeichnet.


und diesen

Zitat:
Mit werde die Masse in einem gewissen Kontrollvolumen bezeichnet. Bei stetig verteilter Masse kann man einen Grenzübergang durchführen, d. h., man lässt das Kontrollvolumen immer kleiner werden und kann so die Massendichte durch



definieren. Die Funktion wird auch als Dichtefeld bezeichnet.
Für einen homogenen Körper, dessen Massendichte in seinem Inneren überall den Wert hat, ist die Gesamtmasse das Produkt von Dichte und Volumen , d. h., es gilt:



Bei inhomogenen Körpern ist die Gesamtmasse allgemeiner das Volumenintegral



über die Massendichte.


Der erste Teil liefert die mathematische Rechtfertigung für die Gleichsetzug des Differentials mit und der zweite Teil erklärt, warum die Kombination dieser Gleichung mit einem unendlich kleinen Differential nicht nur hilfreich, sondern notwendig ist. Ansonsten funktioniert das bei einer ortsabhängigen Dichte nämlich nicht.

Ich kann nicht Erkennen, die diese Zitate aus Wikipedia mit Deinen Aussagen vereinbar sind.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 15. Dez 2016 19:39    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:

toms hat Folgendes geschrieben:
Warum legst du soviel Wert darauf, irgendwas mit "unendlich klein" aufzuschreiben?

weil es anschaulich ist und verständlich ist.
Die meisten Herleitungen erfordern ja auch Skizzen wo man Massangaben oder physikalische Größen ja mit einem d Kennzeichnen könnte und damit ausdrückt das es sich um unendlich kleine Größen handelt die hier nur übertrieben gezeichnet sind. wie zum Beispiel ein Kraft dF oder dx, dy ,dr dV usw.

Das seh ich eigentlich genauso. Es ist einfach anschaulich. Und es laesst sich vor allem auch ordentlich formalisieren, so dass man hier nichts falsch macht, wenn man es sich so vorstellt. Ist dann aber halt nicht Standardanalysis, sondern Nichtstandardanalysis.
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis
Dies ist ein alternativer, sehr intuitiver Zugang zur Differential- und Integralrechnung, der mit infinitesimalen und unendlichen Größen arbeitet.

Wäre die mathematische Formalisierung der infinitesimalen Größen nicht erst 1960 gelungen, dann hätten wir wohl nie den ganzen epsilon-delta-Kram der Standardanalysis entwickelt. Denn diese infinitesimals Größen standen eigentlich am Ursprung der Differentialrechnung bei Leibnitz und Newton. Nur war der Formalismus damals noch nicht entwickelt, so dass damals noch nicht klar war, wie man korrekt mit diesen infinitesimals Größen zu rechnen hat, da bekannt war, dass bei naiver Anwendung Probleme auftreten können.

Als guter Theoretiker, sollte man aber natuerlich auch die Standardanalysis beherrschen und wissen, dass dort solche "Spitzfindigkeiten" auftreten wie Tom sie erwähnt.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Dez 2016 20:09    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Mit werde die Masse in einem gewissen Kontrollvolumen bezeichnet. Bei stetig verteilter Masse kann man einen Grenzübergang durchführen, d. h., man lässt das Kontrollvolumen immer kleiner werden und kann so die Massendichte durch



definieren.

Der erste Teil liefert die mathematische Rechtfertigung für die Gleichsetzug des Differentials mit und der zweite Teil erklärt, warum die Kombination dieser Gleichung mit einem unendlich kleinen Differential nicht nur hilfreich, sondern notwendig ist. Ansonsten funktioniert das bei einer ortsabhängigen Dichte nämlich nicht.

Die moderne Mathematik (s.o. Courant) sieht das umgekehrt. Der erste Teil, d.h. die Gleichsetzung funktioniert im Rahmen der Differentialformen, aber dann sind dm und dx gerade nicht infinitesimal klein. Und im zweiten Teil musst du dann auf infinitesimale Größen zurückgreifen, wenn du nicht rho(x) selbst zugrundelegst; notwendig ist das offensichtlich nicht.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 16. Dez 2016 17:31    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Und im zweiten Teil musst du dann auf infinitesimale Größen zurückgreifen, wenn du nicht rho(x) selbst zugrundelegst; notwendig ist das offensichtlich nicht.


Wie soll das mit nicht infinitesimalen Größen funktionieren, wenn rho(x) zugrunde gelegt wird? Dann würden die Differentiale dm und rho·dV zu Differenzen und das Integral zu einer Summe mutieren. In der Praxis ist der resultierende Fehler häufig zwar unerheblich (darauf beruhen diverse numerische Integrationsverfahren) aber es ist nicht dasselbe wie ein Integral. Das Ergebnis würde von der Diskretisierung abhängen, was man bei einer analytischen Lösung überhaupt nicht gebrauchen kann.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 20. Dez 2016 18:14    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Als guter Theoretiker, sollte man aber natuerlich auch die Standardanalysis beherrschen und wissen, dass dort solche "Spitzfindigkeiten" auftreten wie Tom sie erwähnt.


Okay dann nehme ich aus deiner Antwort und der von ML mit, daß ich das nicht unbedingt verstehen muß, ich habe es sowieso auch nach mehrmaligen Durchlesen nicht kapiert.

Sehen wohl mehrere Leute gern die d Größen als unendlich kleine Größen.

_________________
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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Dez 2016 20:24    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:

Sehen wohl mehrere Leute gern die d Größen als unendlich kleine Größen.

Ich hab damit zumindest -wie beschrieben- kein größeres konzeptionelles Problem...
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