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noob
Gast
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 noob Verfasst am: 21. Mai 2008 22:57 Titel: Besteht die Mechanik fast nur aus Federschwingern? |
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Hallo,
ich habe einen Satz gelernt, der mich verwirrt. Dem zufolge (Konservativität vorrausgesetzt), müsste man doch so ziemlich fast alles als Federschwinger betrachten können? oder fahre ich da komplett auf dem Holzweg? 
Ich zitiere mal, wie ich es aufgeschrieben habe:
Im Sinne von (III.1) ähnelt die Phasenraumstruktur eines bindenden Potentials in der Nähe eines stabilen Gleichgewichts immer dem Phasenraum eines harmonischen Oszilllators.
Wobei (III.1) Die Taylorreihenentwicklung der Kraft war.
Bin verwirrt. 
Grüsse |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Mai 2008 11:36 Titel: |
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Du meinst da mit "Federschwinger" nichts anderes als harmonische Oszillatoren. (Da braucht also nicht wirklich eine Feder dabei zu sein, sondern du meist hier wohl nur die Linearität der Beziehung zwischen Kraft und Auslenkung aus der Gleichgewichtslage)
Dann bin ich mit deiner Feststellung einverstanden, man kann tatsächlich fast alle Bewegungen in der Nähe von Potentialminima als harmonische Oszillatoren nähern, wenn man das "in der Nähe des Minimums", also für kleine Auslenkungen, macht.
Denn in fast jeden Potentialverlauf mit Minimum kann man in die Mulde des Minimums als Näherung eine Parabel zweiter Ordnung hineinlegen.
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Dass Näherungen praktisch sind, kennst du ja bereits von Näherungen noch niedrigerer Ordnung: Den Verlauf einer Kurve bei einer bestimmten Stelle nähert man oft gerne durch die Tangente an diese Kurve an.
Oder man ersetzt für viele Zwecke eine Funktion in der Nähe einer Stelle schlicht durch einen konstanten Wert, um auch in komplizierten Fällen zumindest schon mal grob etwas rechnen zu können.
//edit: Sax hat recht mit seinem Beispiel mit einem x^4-Potential. Also korrigiere ich meine etwas schlampige Aussage "in jeden Potentialverlauf mit Minimum " in "in fast jeden Potentialverlauf mit Minimum"
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 22. Mai 2008 12:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 22. Mai 2008 11:54 Titel: |
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Dann habe ich das ja richtig Verstanden 
Ja, ich meinte lineare rückstellende Kraft.
Eine Frage noch dazu:
Wie sieht das aus, wenn dissipative Kräfte im Spiel sind? verfälscht das dann nicht das ganze?
Hmm. bin verwirrt....
Okay, nochmal. Potential meint ja immer Potentialdifferenz. Diese bekomme ich über das Linienintegral der Kraft, über den Weg.
Die Kraft ist der negative Gradient des Potentials. Ist das Kreuzprodukt der Kraft mit Nabla Null, dann habe ich einen Beweis für Konservativität.
Das bedeutet doch, dass ich ein Potential haben kann, in dem dissipative Kräfte enthalten sind, aber es nicht konservativ ist. Ich meine, im Linienintegral über die Kraft könnte ja auch eine Reibung als Beispiel stehen...
Ah, jetzt verlier ich den Durchblick. Hilfe?
Muss Konservativität denn unbedingt gegeben sein, damit man die Näherung im Potentialminimum machen darf?
Grüsse |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Mai 2008 12:16 Titel: |
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Ich glaube, das ist viel einfacher, als du denkst:
Das mit der Dissipation würde ich dann einfach extra mit dazubetrachten.
Wenn du eine Kugel hast, die in einer Mulde herumrollt, dann ist das vielleicht näherungsweise ein harmonischer Oszillator.
Wenn du dann zusätzlich ein bisschen Sand in die Mulde streust, dann gibt das näherungsweise einfach einen gedämpften harmonischen Oszillator.-
Die Mulde (das Potential) bleibt gleich, die Dämpfung (der Sand) kommt extra dazu. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 22. Mai 2008 12:26 Titel: |
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| Zitat: | | Wie sieht das aus, wenn dissipative Kräfte im Spiel sind? verfälscht das dann nicht das ganze? |
Systeme in denen dissipative Kräfte enthalten sind sind nicht Konserativ.
| Zitat: | | Das bedeutet doch, dass ich ein Potential haben kann, in dem dissipative Kräfte enthalten sind, aber es nicht konservativ ist. Ich meine, im Linienintegral über die Kraft könnte ja auch eine Reibung als Beispiel stehen... |
Das Potential kann keine dissipativen Kraefte beinhalten. Dissipation bedeutet das Energie an die Umgebung irreversible abgegeben wird. Das heisst das geschlossene Lininenitegral über Die Arbeit wird nicht Null und damit ist diese Kraft nicht als Gradient eines Potentials darstellbar. Es kann aber durchaus sein das man die Kraft z.B so darstellen kann:
Also einem konserativen Anteil und zusaetzlich einem dissipativen Teil.
Und zum Titel. Besteht die Mechanik nur aus Federschwingungen ?
Nein, aber sehr viele Schwingende Systeme lassen sich in erster Näherung durch Federschwinger beschreiben, wenn die Amplituden klein genug sind, wie Dermarkus schon sagte.
Aber keine Regel ohne Ausnahme: nehmen wir doch mal das Potential
Egal wie klein hier x ist, die erste nichtverschwindende Ordnung der Taylorreihe ist die 4.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 22. Mai 2008 12:49 Titel: |
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Das habe ich verstanden 
Danke Sax und dermarkus
Ist doch noch nicht Hopfen und Malz verloren |
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