Arbeit für Zustandsänderung als Wegintegral

Tomtomtomtom · Anmeldungsdatum: 13.01.2008 Beiträge: 14

Hallo,

ich bin eigentlich eher im Matheboard unterwegs, Mathestudent mit Schwerpunkt Optimierung und habe von Physik leider zu wenig Ahnung. Im Augenblick schlage mich allerdings gerade mit einer Modellierung rum, in der Thermodynamik eine Rolle spielt, komme aber nicht so richtig zum Ziel.

Ich habe eine fest vorgegebene Menge Gas, sagen wir mal N Mol. Betrachtet werden die Größen Druck p, Temperatur T und Volumen V.

Wenn ich mir das richtig zusammengereimt habe, ist doch (wenn man mal nur die Gasphase betrachtet) die Menge der möglichen Zustände der Gasmenge eine Fläche im IR^3, d.h. etwas von dem ich eine Parameterdarstellung (p,T, V(p,t)) angeben kann. (Beispielsweise könnte ich annehmen, daß das Gas ideal ist, und dann V über die Zustandsgleichung pV/t=const. ausrechnen. Das genügt mir aber nicht, ich möchte mit einer allgemeinen Zustandsgleichung arbeiten)

Wenn ich nun zwei verschiedene Zustände (p_1,T_1,V(p_1,T_1)) und (p_2,T_2,V(p_2,T_2)) habe, also zwei Punkte auf der Fläche, kann ich das Gas von dem einen in den anderen Zustand überführen, und benötige dafür eine bestimmte Menge Energie/muß eine bestimmte Menge Arbeit verrichten. Diese Arbeit müßte sich doch nun als Wegintegral beschreiben lassen.

Meine Frage: Was ist dabei die Formel für den Integranden? Das müßte eine Funktion f(p,T,V) sein, aber ich bin mir nicht sicher, wie diese aussieht.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mit dem, was du dir da zusammengereimt hast, bin ich einverstanden smile

Ich schlage zunächst vor, die Stoffmenge in mol mit etwas anderem als deinem

zu bezeichnen (zum Beispiel mit

), damit man mit der Teilchenzahl

(die ist gleich (Stoffmenge in mol) mal

) nicht so leicht durcheinanderkommt.

Ist dann die sogenannte ideale Gasgleichung

das, was dir dazu vorschwebte? Wenn die Näherung eines idealen Gases gut erfüllt ist, dann nimmt man diese Gleichung.

Oder dachtest du eher an eine Gleichung für reale Gase, auch wenn diese dann komplizierter fürs Rechnen ist? Hilft dir dann das Stichwort "Van-der-Waals-Gleichung" schon weiter?

Tomtomtomtom · Anmeldungsdatum: 13.01.2008 Beiträge: 14

Nein, das ist nicht das, was ich suche. Ich habe vielleicht die Voraussetzungen etwas falsch aufgeschrieben, ein kleines bißchen Ahnung von Thermodynamik habe ich schon, nur eben keine systematische Einführung, sondern nur kleine Teilbereiche, mit denen ich mich schonmal beschäftigt habe. Zustandsgleichungen gehören zu dem Teil, wo ich mich einigermaßen auskenne.

Ich kenne die ideale Gasgleichung und die Van-der-Waals-Gleichung, beide genügen von der Genauigkeit her nicht mal ansatzweise, dazu sind die Druckunterschiede in meinem Problem viel zu groß. Daneben kenne auch noch eine Reihe halbempirischer Gleichungen wie die Redlich-Kwong-Gleichung, d.h. Gleichungen mit theoretisch begründeter Struktur und freien Parametern, die dann aus Messdaten geschätzt werden, und diverse Virialgleichungen etwa die Benedict-Webb-Rubin-Gleichung oder die AKA8-Gleichung. Die sind von der Genauigkeit dann schon alle einigermaßen brauchbar.

Aber die Zustandsgleichung ist nicht der Punkt, um den es mir geht, am liebsten wäre es mir, wenn alles mit einem allgemeinen nicht weiter spezifizierten Funktion V(p,T) funktioniert nur mit milden Voraussetzungen wie stetige Differenzierbarkeit, Konvexität oder ähnlichem.
Eben allgemein einer Fläche im IR^3.

Die Frage, die mich beschäftigt ist: Wenn ich zwei Zustände des Gases auf dieser Fläche gegeben habe, und noch einen Weg auf der Fläche zwischen diesen Zuständen (das ganze dürfte ja nicht unabhängig vom Weg sein oder?), wie kann ich dann den Energiebedarf bzw. die zu verrichtende Arbeit für diesen Zustandsübergang berechnen? Meine naive Idee war, daß das irgendwie als Kurvenintegral zu berechnen sein müßte, aber ich weiß nicht, welche Größe ich dabei integrieren muß.

Für Spezialfälle kenne ich Formeln und deren Herleitung, etwa für isotherme, isobare und adiabatische Zustandsänderungen idealer Gase. (wobei "ideales Gas" wie schon erwähnt in der Praxis auf keinen Fall reichen wird). Ich bin aber ich bin von meinem Wissen her leider nicht in der Lage, das zu verallgemeinern.

Schon für eine allgemeine polytrope Zustandsänderung eines idealen Gases habe ich in der Literatur, die ich hier so zur Verfügung habe, nur noch Murks gefunden, der für mich als Mathematiker einfach nicht mehr zufriedenstellend ist. Da wird z.B. einfach die Energie für einen isentropen Prozess genommen und mit einem "polytropen Wirkungsfaktor" multipliziert, und der soll dann eben aus Daten geschätzt werden, die erstmal gewonnen werden müßten. Aber das muß doch auch irgendwie exakt gehen, es sind doch im Prinzip alle Daten bekannt, idealer als ein idealer Gas gehts nicht, und der "Weg" bei einer polytropen Zustandsänderung ist auch noch sehr schön einfach. Trotzdem schaff ich es nicht mal in diesem einfachen Spezialfall die nätige Arbeit auszurechnen, und wie gesagt, am liebsten wärs mir, wenn ich das noch für wesentlich allgemeinere Situationen könnte.

Wenn das Thema viel komplizierter ist, als ich denke, bin ich auch für Literaturhinweise dankbar (möglichst mathematisch einigermaßen rigoros, ein paar Lehrbücher (für Ingenieure) hab ich selber in der Bibliothek gefunden, aber ich möchte gern richtig verstehen was ich mache, und nicht nur Rechenrezepte und Schummeleien wenns mal komplizierter wird).

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ah, ich glaube, ich verstehe nun schon besser.

Vermute ich richtig, dass das, was du ausrechnen möchtest, die Veränderung der inneren Energie eines Systems bei einer Zustandsänderung (bei konstanten Teilchenzahl) ist, deren Startpunkt durch

,

und

und deren Zielpunkt durch

,

und

gegeben ist? Und das ganze bei bekannter, hinreichend "braver" Funktion V(p,T) ?

Also sowas:

wobei das Integral über einen vorgegebenen Weg erfolgt?

Könnte es also sein, das so etwas

http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgleichung

in die Richtung geht, die dir weiterhelfen könnte?

Tomtomtomtom · Anmeldungsdatum: 13.01.2008 Beiträge: 14

Ja genau, so in der Art. Wobei ich befürchte, wenn es so einfach wäre, wie ich erstmal annahm, hätte ich die passende Herleitung schon irgendwie geschafft.

Ich hab heute auch meinen Prof so zwischen Tür und Angel getroffen, und ihn danach gefragt, aber außer diversen Schlagworten wie Entropie, Potentiale und Legrendre-Transformation (die auch in dem Wiki-Artikel auftauchen) habe ich aus seiner Antwort nichts mitnehmen können, da hat er wohl meinen Wissensstand ziemlich überschätzt, und Zeit für ne Diskussion war grad nicht.

Da wird mir wohl nichts weiter übrigbleiben, als mich mal intensiver damit zu beschäftigen. Kennst du ein gutes Buch zu dem Thema?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der Callen ist dafür glaube ich ein ziemlich gutes Buch.

H.B. Callen: Thermodynamics and Introduction to Thermostatics

Tomtomtomtom · Anmeldungsdatum: 13.01.2008 Beiträge: 14

Ok, dann vielen Dank für deine Hilfe, dann werd ich morgen mal in die Bibliothek der Physikfakultät pilgern.

Bis dahin versuch ich es mal damit, das sieht ganz gut aus:

http://hacktor.fs.uni-bayreuth.de/thermo/