Seilzug der Schwerkraft überlassen - Lösung mit D'Alembert?

caliebe · Anmeldungsdatum: 25.08.2006 Beiträge: 59 Wohnort: Rastatt

Hallo Leute,

ich sitz wie der Ochs vorm Berge.

Folgende Aufgabe braucht eure Hilfe:
Gegeben sind 2 homogene Kreisscheiben (Massen m1 und m2 mit Radien r1 und r2) und der Punktmasse m3. Ein masseloses Seil ist auf der Scheibe 1 aufgerollt, läuft ohne zu Rutschen über Scheibe 2 und ist am Ende mit der Masse m3 verbunden. Der Mittelpunkt der Scheibe 2 ist drehbar gelagert.
Man bestimme: die Beschleunigungen x"1 und x"3, wenn das System aus der Ruhelage unter dem Einfluß der Schwerkraft losgelassen wird.

Gegeben m1, m2, m3 und g (in Richtung x1)

---------

Mein erster Gedanke war mit der Scheinkraft zu arbeiten, aber dann weiß ich nicht so recht, ob das wirklich so einfach zu lösen ist. Wie gehe ich mit der Seilkraft um, wenn die Scheiben nicht masselos sind?

Oder muß ich mich mit der virtuellen Arbeit behelfen? Ein tipp wäre hilfreich.

Danke!

Anya

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Ist dir die Methode über die Lagrange-Funktion und die Euler-Lagrange-Gleichung schon bekannt? Das bietet sich bei solchen Problemen an, wenn Kräfte im Vergleich zu Energien in ihrer Betrachtung komplizierter sind.
Ganz einfach sind hier zwar die Energien auch nicht, aber im Vergleich zu den Kräften doch deutlich angenehmer (finde ich ^^).

Ist x1 die abgewickelte Seillänge an der linken Rolle, oder doch der gesamte von der Rolle zurückgelegte Weg seit dem Loslassen?

caliebe · Anmeldungsdatum: 25.08.2006 Beiträge: 59 Wohnort: Rastatt

Hallo para,

keine Ahnung, Dass x1 und x3 entgegen der Beschleunigung zeigt, ich hab eh schon nur deswegen verstanden, da Scheinkraft entgegen a wirkt und damit negativ ist. Denn wenn ich m3 loslasse, dann rollt sich doch das Seil auf Rolle 1 ab.
Die Rolle 2 hat ne Masse, deswegen ist ja die Seilkraft bei x1 nicht gleich der Seilkraft in x3 (betragsmäßig). Wie ich mit dieser Rechne, ergo die Massenträgheit einbringe ist mir nach wie vor ein Rätsel.
Die Trägheit der Scheiben sind entsprechend 1 und 2:

Ich habe ja nur meine Massen und Radien.

und wie bekomme ich daraus jetzt meine Beschleunigungen? Ich habe keinen Winkel gegeben.

Anya

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Nochmal meine Frage: hast du die Vorgabe oder den besonderen Wunsch das mit Kräften zu lösen? Falls nicht (und natürlich nur falls Lagrange schon bekannt) würde ich wie gesagt den Weg über die Lagrange-Funktion vorschlagen.

Wenn du auf die Kräfte bestehst, kann man es aber sicher auch so machen. Zu deinem Problem mit der Rolle in der Mitte: betrachte das doch mal isoliert – eine Rolle die du beschleunigen willst, indem du an einem Seil das darum gewickelt ist ziehst. Welche Kraft wird dabei wirksam? Wie widersetzt sich die Rolle der Beschleunigung? – Diese Überlegungen sollten sich dann auf dieses komplexere Problem übertragen lassen.

caliebe · Anmeldungsdatum: 25.08.2006 Beiträge: 59 Wohnort: Rastatt

Hallo Para,

ich versuche gerade die Lagrange Funktion zu erlernen.
Es handelt sich bei meiner Aufgabe um eine ebene Bewegung und um Rotation um feste Achse. Hätte ich die Winkelgeschwindigkeit, dann wäre es doch ein Leichtes das ganze über die Energie zu lösen. Ich bin mir nicht sicher, ob ich das so weiterlösen kann.
Da ich nicht weoterkomme und bisher keinen Ansatz finde komme ich mir langsam richtig Brett-vorm-Kopp-mäßig vor.

Gruß Hammer

Anya

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

caliebe · Anmeldungsdatum: 25.08.2006 Beiträge: 59 Wohnort: Rastatt

Hi para,

nunja, ich sollte wohl alles können, will ja TM3 an der Uni schreiben. Aber wie gesagt-Brett vorm Kopp.
Grundsätzlich hätte ich kein großes Problem die Aufgabe zu lösen, wären da nicht die Massen der Rollen. Der Ansatz mit den Energien ist vermutlich die leichteste. Werde mich also nochmals reinknien müssen.

Schritt zurück, Betrachtung der Rotation in der Ebene, vielleicht wirds dann leichter.

Anya

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

caliebe · Anmeldungsdatum: 25.08.2006 Beiträge: 59 Wohnort: Rastatt

Die Beste Hilfe wäre mal ein Ansatz.

:-))))

Anya

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Na ja, die Lagrange-Funktion ist doch:

Die Koordinaten sind ja durch die Aufgabenstellung schon vorgegeben. Wie sehen denn bei dir die Energien aus? - Woran hängt es? Zumindest die potentielle Energie ist ja nun nicht soo problematisch. Versuch dich einfach mal daran, und dann sehen wir weiter. :-)

caliebe · Anmeldungsdatum: 25.08.2006 Beiträge: 59 Wohnort: Rastatt

Also, ich habe jetzt mal eine Weile nicht weiter gemacht, nun aber glaube ich ein Lösungsansatz zu haben: Die Lagrange habe ich nicht im Repertoire, aber ich fang mal mit meinem Freischnitt an: Ich Trenne alle 3 Massen mit den jeweiligen Kräften liefert mir das:

Die Masse

: mit Fadenkraft

Rolle

: Reine Rotation um

Rolle

: Reine Rotation um

kinematische Kopplung (ich hoffe diese stimmt!):

in Gleichung für Moment um

einsetzen liefert mit

Folglich:einsetzen liefert dann für

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

Nah meinemKräfteverständnis würde ich das ganze der Einfachheit halber wie folgt betrachten und freimachen.

Denk dir zunächst mal das Seil wär in der Masse1 im Schwerpunkt befestigt. dadurch wäre x1 aufjedenfall gleich x3.

Und wir erhalten folgendes Kräftebild.

http://members.chello.at/thorsten.artner/aufgabe_21.JPG

FT3= m3 * x3
FR3= m3 * x3 + m3 * g
M2 = I * alpha = I * x3 / r2 = m2 *r2² /2 * x3 / r2= m2 * r2 * x3 /2

benötigte DrehmomentKraft auf Radius r2... FD2= M2 / r2 = m2 * x3 /2

FR2 = FD2 + FR3 = m2 * x3 /2 + m3 * x3 + m3 * g

FG1= FR2 + FT1 = m2*x3/2 + m3*x3 + m3*g + m1 *x1

X1=X3

m1 *g = m2*x3/2 + m3*x3 + m3*g + m1*x3

durch Umformen:

x3= (m1 - m3) *g / ( m2/2+m3+m1)

Wenn nun das ganze nicht im Schwerpunkt aufgehängt wird, ensteht nun in der Masse 1 eine Drehbeschleunigung und eine zusätzliche translatorische Schwerpunktsbeschleunigung aufgrund der Abrollbewegung.

http://members.chello.at/thorsten.artner/aufgabe_22.JPG

Es gilt:

FT1= m1 * x1 = m1 *x3+m1*x1SR

aufgrund von Abrollen: X1SR= alpha1* r1

FR2* r1 = I1*alpha1 -> alpha1= FR2*r1/ I1

FT1= m1*x3+m1*FR2*r1² / I1

FT1 = FG - FR2 und I1= m1*r1²/2

FG-FR2=m1*x3 + m1*FR2*r1² / (m1*r1²/2)

FG-FR2=m1*x3+2*FR2

FG= m1 * x3 + 3 * FR2

zur Erinnerung: FR2= m2*x3/2 + m3*x3 + m3 *g

m1*g = m1 *x3 + 3/2 *m2*x3+ 3*m3*x3+ 3*m3*g

(m1 - 3*m3) * g = x3 (m1+3/2 *m2 + 3*m3)

!!! x3 = (m1 - 3*m3)*g / (m1+3/2*m2+3*m3)!!!

wenn der ausdruck m1-3* m3 = 0 ist dann wär x3 = 0 das wär bei m1 = 3*m3 ... wenn also die masse 3 um 1/3 kleiner ist als die Masse m1 dann wär die Beschleunigung X3 gleich null, wenn die masse 3 größer 1/3 von m1 ist dann hätten wir sogar ne negative X3 Beschleunigung das ganze würd also in die andere Richtung rennen.

x1 errechnet sich aus

x1=x3 +x1SR
x1SR=FR2*r1²/ I1
x1SR=FR2*2 / m1

FR2= m2*x3/2 + m3*x3 + m3 *g

x1SR= m2*x3+ 2*m3*x3+2*m3*g

x1=m2*x3+ 2*m3*x3+2*m3*g +x3

!! x1= x3 (m2+2*m3+1)+ 2*m3*g!!

zur Erinnerung wenn die masse m3 um 1/3 kleiner ist als die Masse m1 dann wär die Beschleunigung X3 gleich null.

Bei X3= null -> x1 = 2*m3*g = 2 * m1/3 *g

zur Kontrolle FG1= m1 *g .... FG3=m3*g

Resultierende Fres=FG1-FG3 = (m1-m3)*g=(m1 - m1/3)*g= 2*m1/3*g

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Schön dass in den Thread nach längerem doch wieder Bewegung gekommen ist. smile

@caliebe: Leider kann ich deine Lösung nicht so ganz nachvollziehen. Was bezeichnest du jetzt mit x3, und vor allem mit x1? Woher kommt die Beziehung dass x1=x3? Wird dabei nicht das Abrollen vernachlässigt?

@VeryApe: Wow, toll dass das auch mit Kräften geht. ^^ – Wie gesagt: mir ist das immer etwas suspekt, aber offenbar geht es ja doch sehr gut. Ich komme jedenfalls mit Lagrange auf die gleichen Ergebnisse.

Ich hatte mit x3 die Strecke bezeichnet um die sich das Gewicht gesenkt hat, und mit x1 die Seilstrecke die sich von der Rolle abgewickelt hat. Damit bekam ich dann (meine Größen: ungestrichen, deine Größen: gestrichen):

und

Ersteres entspricht ja deinem Ergebnis mit umgekehrtem Vorzeichen (da ich die Richtung gerade andersherum gewählt habe).

Letzteres sieht anders aus, da ich ja nur die abgewickelte Seillänge mit x1 bezeichnet habe. Auf deine Notation umzuschreiben, ist ja aber problemlos möglich.

Das stimmt mit deinem Ergebnis überein, wenn man einen kleinen Rechenfehler korrigiert (einmal mehr durch m1 teilen, siehe Quote), und die Beschleunigung von x3 letztlich noch einsetzt.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

Zunächst mal danke das du das nachgeprüft hast!!!!
X1 und X3 sind bei mir die beschleunigungen der Masse 1 und Masse3.

wenn man deine Gleichung von x3 komplett durch 2 dividiert kommst du aufselbe wie ich. passt

Und zu x1.
Da hast du recht ich hab da vergessen weiter durch m1 zu dividieren. Ich muß mir dieses Latex Formelsatz aneignen alles in einer Wurst zu schreiben ist nicht der Weisheit letzter Schluss. da kann man leicht ne Variable vergessen. vielleicht kannsd du mir den Latex link posten

richtig wäre dann:
x1SR= (m2*x3+ 2*m3*x3+2*m3*g) /m1

x1=(m2*x3+ 2*m3*x3+2*m3*g) /m1 +x3

!!x1=(m2*x3+ 2*m3*x3+2*m3*g+ m1*x3 ) /m1 !!

!! x1= (x3 (m2+2*m3+m1)+ 2*m3*g)/m1!!

Ich wollt mir aber nicht die Arbeit machen und x3 da einsetzen und schauen ob da formel mäßig das Gleiche wie bei dir rauskommt. war mir zuviel Arbeit. hab einfach da Werte eingesetzt und es kommt dasselbe raus wie bei dir passt!!.

Zum Thema Kräfte verse Lagrange

Vom Verständnis der wirkenden Kräfte her find ich den Lösungsansatz über die Kräfte nicht so schwer. für mich ist das in der Richtung durchsichtig.

was ich aber glaub ich heraussehe das man sich wahrscheinlich mit der Lagrange Formulierung mit der Mathematik nicht so plagt, siehe x3 einsetzen in x1 da kriag i a lange wurst und kann irrsinnig kürzen und brüche umformen um dieselbe schöne kurze Formel wie du zu erhalten.

MFG

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden