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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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 hansmaulwurf Verfasst am: 25. Nov 2007 20:34 Titel: Fourierreihe vs. Fourierintegral |
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Hallo miteinander,
ich habe ein Verständnisproblem:
Und zwar:
1) Fourier Reihe
Ist die Überlagerung (Summe) unendlich vieler harmonischer Schwingungen. (Sinus und Cosinus).
Im Amplitudenspektrum sind dann ja quasi alle Amplituden der n- harmonischen dargestellt.(als Linienspektrum)... (das ist mir klar und ich kann es mir auch gut vorstellen)
Dabei muß es sich um ein periodisches Signal handeln !, das als Reihe dargestellt werden soll...
Soweit richtig ? ...also da bin ich mir ja noch recht sicher...
2) Fourier TRansformation
"..stellt eine Zeitfunktion als Überlagerung von unendlich vielen harmonischen Exponentialschwingungen dar..." ...."ist die Fourier Transformierte das Integral überabzählbar vieler Schwingungen..."
..und ich dachte immer, dass es sich da auch um sinus und cosinus schwingungen handelt..????
Vorteil: Anwendung auf nichtperiodische Funktionen !
ok...aber wie kann ich jetzt nun das AMplitudenspektrum interpretieren ?
Ich habe z.B Das Amplitudenspektrum eines Rechteckimpulses...hier habe ich ja eine stetige Funktion im Frequenzbereich....(bei der Fourier Reihe war es ja eine zeitdiskrete Funktion , also ein Linienspektrum)...
..also was sagt mir das Amplitudenspektrum eines Fourier Integrals ?
Wie kann ich daraus was ablesen?
Vielen Danl für eure Hilfe
Habe noch was gefunden...
Der Übergang von der Fourier Summe zum Fourier Integral...
...bei einem unendlich ausgedehnten Vorgang werden sie Oberfrequenzen immer dichter, und der Grenzübergang v. d Fourier Summe zum Fourier Integral muß vollzogen werden !
Das verstehe ich auch nicht so ganz...
Vielen Dank für eure Erklärung...
hans m. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 26. Nov 2007 06:30 Titel: |
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Eine Fourierreihe beschreibt periodische Signale. Es kommen im Spektrum nur ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz vor (diskretes Spektrum).
Um auch nichtperiodische Signale, zB einen einzelnen Rechteckimpuls, als Überlagerung von sin und cos Schwingungen zu beschreiben, braucht man aber i.A. alle Frequenzen von 0 bis unendlich. Das nun kontinuierliche Spektrum wird durch die Foriertransformation gewonnen, welche eine Verallgemeinerung der Fourieranalyse ist.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 26. Nov 2007 08:10 Titel: |
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Hallo schnudl...vielen Dank für deine Antwort...
aber wieso wird bei der Fourier Transformation von Exponetialschwingungen gesprochen? (Die Fourier Transf. stellt eine Zeitfkt. als Überlagerung von unendlich vielen harmonischen Exponentialschwingungen dar )
1)...du schreibst ja, dass es sich um sinus und cosinus fkt handelt ?
2) Warum wird dann aus der Summe ein Intergral ?
Vielen herzlichen Dank
hansm. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 26. Nov 2007 08:53 Titel: |
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| hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: |
aber wieso wird bei der Fourier Transformation von Exponetialschwingungen gesprochen? (Die Fourier Transf. stellt eine Zeitfkt. als Überlagerung von unendlich vielen harmonischen Exponentialschwingungen dar )
1)...du schreibst ja, dass es sich um sinus und cosinus fkt handelt ?
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Die von dir als "Exponenzialschwingung" bezeichneten Funktionen sind
 = e^{i \omega t})
Das lässt sich zerlegen in
 = e^{i \omega t} = \cos \omega t + i \sin \omega t)
und stellt somit wieder eine Summe aus sin und cosinus Funktionen dar.
| hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: |
2) Warum wird dann aus der Summe ein Intergral ? |
Ein einzelner Rechtecksimpuls kann als periodisches Rechtecksignal mit unendlich grosser Periodendauer aufgefasst werden. Die Grundfrequenz ist daher 1/T und damit unendlich klein. Daher rücken die ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz unendlich dicht zusammen und werden im Grenzfall kontinuierlich. Ein Integral ist ja nichts anderes als eine kontinuierliche Summe.
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 26. Nov 2007 15:38 Titel: |
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aha... ja sicher die Euler Formel..stimmt !
Danke !
1)ok...wenn die Diskrete Fourier Transformation angewendet wird ! Wovon sprechen wir da ? von der Fourier Reihe oder von der Fourier TRansformation...
2) Das bedeutet ja , dass ich die Fouriertransformation auch immer da anwenden kann, wo ich die Fourier Reihe benutze ? und es müsste das gleiche dabei herauskommen ?
Danke |
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 26. Nov 2007 16:07 Titel: |
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| hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: | aha... ja sicher die Euler Formel..stimmt !
Danke !
1)ok...wenn die Diskrete Fourier Transformation angewendet wird ! Wovon sprechen wir da ? von der Fourier Reihe oder von der Fourier TRansformation...
2) Das bedeutet ja , dass ich die Fouriertransformation auch immer da anwenden kann, wo ich die Fourier Reihe benutze ? und es müsste das gleiche dabei herauskommen ?
3)..." Ein Integral ist ja nichts anderes als eine kontinuierliche Summe."
gibt es dazu ein einfaches beispiel...?
Danke |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 26. Nov 2007 18:57 Titel: |
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| hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: | | hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: | aha... ja sicher die Euler Formel..stimmt !
Danke !
1)ok...wenn die Diskrete Fourier Transformation angewendet wird ! Wovon sprechen wir da ? von der Fourier Reihe oder von der Fourier TRansformation...
von der Forier Reihe
2) Das bedeutet ja , dass ich die Fouriertransformation auch immer da anwenden kann, wo ich die Fourier Reihe benutze ? und es müsste das gleiche dabei herauskommen ?
ja, so in etwa. es würde nur niemand so tun.
3)..." Ein Integral ist ja nichts anderes als eine kontinuierliche Summe."
gibt es dazu ein einfaches beispiel...?
Das Integral ist mathemathisch so definiert (wenn man von den Mathematikern absieht, die dies nicht als ausreichend sehen würden... ).Das Integrationsintervall wird in hinreichend feine Streifen zerlegt, deren Fläche aufsummiert wird. Hast du das noch nie so zu hören bekommen ? Es ist der "Standardzugang" zu Integralen und trifft bei stetigen Funktionen voll zu. Um auch nichtstetige Funktionen integreieren zu können, wurde der Begriff des Integrals noch sehr subtil verfeinert.
Danke |
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