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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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 Snyderlein Verfasst am: 20. Nov 2006 16:02 Titel: Hilfe bei gedämpfter Schwingung |
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hallo! ich bräuchte ein wenig hilfe bei einer gedämpften schwingung. im unterricht haben wir folgendes aufgeschrieben (ich zitiere ;D):
Mit Dämpfung:
mechanisch:  = -D \cdot s(t) + k \cdot s'(t))
wobei k die reibungs- bzw. dämpfungskonstante ist.
elektrisch:
 = - \frac{Q(t)}{C} + R \cdot I(t))
wobei I(t) = Q'(t) und I'(t) = Q''(t)
Solche Differenzialgleichungen werden gelöst durch
 = A * e^{-kt} * \sin(\omega t))
mit den ableitungen
 = - A * k * e^{-kt} * \sin(\omega t) + A * \omega * e^{-kt} * \cos(\omega t))
 = -2 \cdot [A \cdot k \cdot \omega \cdot e^{-kt} \cdot \cos(\omega t)] + Q(t) \cdot (k^2 - \omega^2) )
so, das wars. ich denke (hoffe), dass die ableitungen richtig sind, aber wie gehts jetzt weiter? mir fehlt das verständnis 
könnt ihr mir helfen? wäre sehr nett! |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 16:19 Titel: |
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Als nächstes möchtest du wahrscheinlich wissen, wie groß das A, das k und das  sind, die du da in deinem Ansatz stehen hast.
Also setzt du das Q(t) und seine Ableitungen in die Differentialgleichung ein, und schaust, wie groß diese Konstanten sein müssen, damit die Gleichung aufgeht. Und dann weißt du die Funktion Q(t), die Lösung dieser Differentialgleichung ist  |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 20. Nov 2006 16:52 Titel: |
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ach herrje.... d.h., ich müsste die gleichung:
] + [A * e^{-kt} * \sin(\omega t)] \cdot (k^2 - \omega^2)] = - \frac{A * e^{-kt} * \sin(\omega t)}{C} + R \cdot [- A * k * e^{-kt} * \sin(\omega t) + A * \omega * e^{-kt} * \cos(\omega t)])
irgendwie nach k, \omega und A auflösen? o_O |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 17:02 Titel: |
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Dazu lohnt es sich, die Schreibweise möglichst übersichtlich zu wählen, dann wird das viel machbarer. Und dann siehst du auch einfacher, dass du das ganze nicht nach deinen Konstanten umformen und auflösen musst, sondern dass es reicht, die Terme miteinander zu vergleichen, die gleich sein müssen.
Kennst du schon die komplexe Schreibweise mit }) anstatt der Darstellung der Schwingungen mit cos und sin? Damit wird die Handhabung der Gleichung nämlich deutlich einfacher. |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 21. Nov 2006 15:31 Titel: |
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sry, ich komm da absolut nicht weiter  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 21. Nov 2006 16:47 Titel: |
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Warum nicht? Kennst du die komplexe Schreibweise schon oder kennst du sie noch nicht? |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 21. Nov 2006 21:33 Titel: |
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nein, diese schreibweise kenn ich nicht.
und
"Dazu lohnt es sich, die Schreibweise möglichst übersichtlich zu wählen, dann wird das viel machbarer. Und dann siehst du auch einfacher, dass du das ganze nicht nach deinen Konstanten umformen und auflösen musst, sondern dass es reicht, die Terme miteinander zu vergleichen, die gleich sein müssen."
verstehe ich auch nicht so recht. ich komme nicht einmal ansatzweise auf eine lösung =( |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 21. Nov 2006 23:03 Titel: |
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OK, dann machen wir das ohne die komplexe Schreibweise.
Schau dir mal die lange Gleichung, die du jetzt dastehen hast, genauer an.
Durch die Amplitude A kannst du auf beiden Seiten der Gleichung teilen, damit fällt das A komplett aus der Gleichung heraus (Die Gleichung ist also für alle Werte von A erfüllt, egal wie groß sie sind).
Durch den Faktor  kannst du auch auf beiden Seiten teilen, dann verschwindet auch er komplett aus der Gleichung.
Und jetzt bringst du alle Terme mit cos auf die eine Seite, und alle Terme mit sin auf die andere Seite, und klammerst auf der einen Seite das ) aus und auf der anderen Seite das ) .
Dann ist das ganze so übersichtlich geworden, dass du siehst: Wenn nun die Klammer vor dem cos gleich Null ist, und gleichzeitig die Klammer vor dem Sinus Null ist, dann sind beide Seiten immer gleich Null, und die Gleichung ist für jede Zeit t erfüllt.
Das gibt dir also zwei Gleichungen, aus denen du k und omega bestimmen kannst. |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 22. Nov 2006 00:03 Titel: |
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achsoo, stimmt, das verstehe ich 
d.h. ich erhalte zum schluss die gleichung:
 \cdot (k^2 - \omega^2) +\frac{\sin(\omega t)}{C} + R \cdot k \cdot \sin(\omega t) = 2 \cdot L \cdot k \cdot \omega \cdot \cos(\omega t) + R \cdot \omega \cdot \cos(\omega t))
wenn ich da jetzt jeweils sin() und cos() ausklammere, erhalte ich:
 \cdot [(k^2 - \omega^2) + \frac{1}{c} + R \cdot k] = \cos(\omega t) \cdot [2 \cdot L \cdot k \cdot \omega + R \cdot \omega])
so, und wie erhalte ich jetzt genau k bzw. \omega ? und was ist mit R und C |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 00:16 Titel: |
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Jetzt setzt du die eckigen Klammern gleich Null. Das gibt dir zwei Gleichungen, aus denen du  und bestimmen kannst.
R und C kennst du ja, die brauchst du nicht auszurechnen. Die dürfen dann gerne in deinen Gleichungen für und stehenbleiben. |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 22. Nov 2006 00:23 Titel: |
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okay, stimmt, R, L und C sind bekannt. also habe ich jetzt:
und
setze ich diese beiden gleichungen nun gleich?[/code] |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 00:34 Titel: |
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Na, um zwei Gleichungen mit zwei unbekannten Variablen zu lösen, kennst du ja aus der Mathematik mehrere Möglichkeiten. Erstmal vereinfachen ist aber immer eine gute Idee.
Zum Beispiel könntest du die untere Gleichung noch durch omega teilen (oder omega ausklammen, dann muss die Klammer Null sein), dann aus der unteren Gleichung das k bestimmen, und dann das k oben in die erste Gleichung einsetzen. |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 22. Nov 2006 09:16 Titel: |
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okay, alles klar
dann erhalte ich für
und für
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 11:14 Titel: |
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Genau das habe ich beim ersten Mal Rechnen auch herausbekommen
Das bedeutet, dass du dieselben zwei Rechenfehler gemacht hast wie ich 
1.) Du hast vergessen, das L auf der linken Seite der langen Gleichung auch in den zweiten Term hineinzumultiplizieren
2.) Du hast beim Einsetzen von k in die erste Gleichung das Minuszeichen vergessen.
Kommst du damit für das omega dann zu einem anderen Ergebnis? |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 22. Nov 2006 14:14 Titel: |
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stimmt, ich sehe den rechenfehler
dann komme ich auf:
und
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 23:30 Titel: |
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Magst du deine Rechnung nochmal überprüfen? Ich würde für diese Rechnung ein Ergebnis von
und
erwarten. |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 23. Nov 2006 15:36 Titel: |
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okay, habe nochmal nachgerechnet. aus der gleichung
 [L (k^2 - \omega^2) + \frac{1}{C} + Rk] = \cos(\omega t) [R \omega + 2Lk \omega] )
folgt:
und
oder? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Nov 2006 18:10 Titel: |
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Einverstanden, genau das habe ich auch herausbekommen
-------------------------------------------
Jetzt sollte ich dir nicht ganz verschweigen, dass ich mit einem Vorzeichen in der ursprünglichen Ausgangsgleichung nicht einverstanden bin:
Ich habe mich nämlich gewundert, dass wenn man unser k = -R/(2L) in unseren Ansatz für Q einsetzt, man eine exponentiell absteigende anstatt wie zu erwarten eine exponentiell abfallende Schwingungsamplitude für Q bekommt.
Das liegt an folgendem Vorzeichenfehler in unserer Ausgangs-Differentialgleichung:
Statt
| Zitat: |
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muss es heißen:
 = - \frac{Q(t)}{C} - R \cdot I(t))
Um diese Ausgangsgleichung mit korrigiertem Vorzeichen zu lösen, müssen wir also alle R's in unserer Rechnung durch -R ersetzen. Dann erhalten wir als Lösung:
und
Diese Lösungen sind nun dieselben, wie man sie auch in den Büchern findet, dabei ist
die Frequenz des ungedämpften Schwingkreises (also für den Fall ohne Dämpfung, das heißt  und  ). |
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Snyderlein
Anmeldungsdatum: 20.11.2006
Beiträge: 34
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| Snyderlein Verfasst am: 23. Nov 2006 18:58 Titel: |
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wunderbar
in unserer lösung, die wir nun bekommen haben, steht exakt dasselbe, auch mit der nun richtigen differenzialgleichung, die vorher in der tat falsch war =)
ich habe nun in dieser hinsicht alles verstanden, vielen dank!! |
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