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pfeffer2004
Anmeldungsdatum: 09.11.2007
Beiträge: 27
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 pfeffer2004 Verfasst am: 10. Nov 2007 13:35 Titel: Vektoreigenschaften der Kräfte und Energieerhaltung |
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Hallo,
ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe.
Ich weiß nicht genau was ich da berechnen soll:
Ein Körper der Masse m bewegt sich unter dem Einfluss dreier Kräfte:
= \begin{pmatrix} \alpha \cos (\omega (x+y)) \\ -\beta \cdot (y+y_0)² \\ \gamma(z+z_0)² \end{pmatrix})
= \begin{pmatrix} \alpha \sin(\omega x) \sin(\omega y) \\ \beta(y-y_0)² \\ -\gamma(z-z_0)² \end{pmatrix})
= \begin{pmatrix} \alpha \cos( \omega x+\pi)\cos (\omega y) \\ 3 \beta \cdot y \cdot y_0 \\ \gamma z_0 \cdot (z_0-4z) \end{pmatrix})
Der Körper befindet sich zum Zeitpunkt t= 0 am Ort r(0) = 0 mit Geschwindigkeit v(0).
Welchen Absolutwert der Geschwindigkeit |v(t)| besitzt der Körper nach einer Zeit t, wenn er sich am Punkt r(t) befindet?
Jetzt habe ich die drei Kräfte addiert dann kommt das heraus:
=\begin{pmatrix} \alpha [\cos (\omega (x+y))+\sin(\omega x)\sin(\omega y) + \cos(\omega x+\pi)\cos(\omega y)] \\ \beta \cdot y_0 \cdot y \\ \gamma \cdot z_0 \cdot z \end{pmatrix})
Doch wie komm ich jetzt auf die absolute Geschwindigkeit.
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank
Zuletzt bearbeitet von pfeffer2004 am 10. Nov 2007 14:08, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 10. Nov 2007 13:47 Titel: |
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Wäre es vielleicht möglich dass du deine Vektoren und Rechnungen in LaTeX setzt? Das würde die Lesbarkeit deutlich erhöhen. Oder zumindest eine eindeutige Klammerung im Bereich der trigonometrischen Funktionen würde wahrscheinlich auch schon helfen.
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pfeffer2004
Anmeldungsdatum: 09.11.2007
Beiträge: 27
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| pfeffer2004 Verfasst am: 10. Nov 2007 14:01 Titel: |
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So hat ein wenig gedauert, da ich noch nie mit Latex gearbeitet habe.
Ich hoffe so ist es jetzt verständlicher. |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 10. Nov 2007 14:41 Titel: |
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Ja, so ist das doch schon viel schöner. 
Ich würde die Aufgabenstellung so verstehen, dass man nicht berechnen soll, an welchem r(t) sich das Objekt nach der Zeit t befindet, sondern wirklich nur den Betrag der Geschwindigkeit am Ort r(t).
Dafür wäre es sehr praktisch wenn man ein Potential für die Kräfte hätte, so dass man mit der Energieerhaltung rangehen kann. Hast du schonmal überprüft ob für die drei Kräfte (zusammen) ein Potential existieren kann? Ist das Kraftfeld konservativ?
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pfeffer2004
Anmeldungsdatum: 09.11.2007
Beiträge: 27
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| pfeffer2004 Verfasst am: 11. Nov 2007 11:11 Titel: |
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ich gehe mal davon aus, dass Energieerhaltung gilt.
In der Überschrift der Aufgabe steht: Vektoreigenschaft und Energieerhaltung.
Aber ein Potenzial konnte ich leider nicht finden, was aber ja nicht heißen muss dass es keines gibt.
Man könnte ja die Beschleunigung ausrechnen, mit  .
Und daraus vllt. die Geschwindigkeit: = a \cdot t)
Oder geht das nicht? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 11. Nov 2007 11:32 Titel: |
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| hat Folgendes geschrieben: | Man könnte ja die Beschleunigung ausrechnen, mit  .
Und daraus vllt. die Geschwindigkeit:
Oder geht das nicht? |
Das geht natürlich schon, aber: wenn das Kraftfeld nicht konservativ ist, spielt es dann ja im Hinblick auf die verrichtete Beschleunigungsarbeit u.U. eine Rolle auf welchem Weg du von r(0) nach r(t) kommst. Da wäre es bedeutend praktischer wenn das Kraftfeld konservativ wäre, weil man dann mit einem beliebigen Weg rechnen könnte, z.B. der direkten Verbindung zwischen beiden Punkten.
| pfeffer2004 hat Folgendes geschrieben: | ich gehe mal davon aus, dass Energieerhaltung gilt.
[...]
Aber ein Potenzial konnte ich leider nicht finden, was aber ja nicht heißen muss dass es keines gibt. |
Die Überschrift der Aufgabe ist ja sicher kein zugelassener Beweis für die Existenz eines Potentials. 
Es gibt doch konkrete Wege zu überprüfen, ob ein Kraftfeld konservativ ist (und damit ein Potential dazu existiert). Kennst du da einen?
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pfeffer2004
Anmeldungsdatum: 09.11.2007
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| pfeffer2004 Verfasst am: 11. Nov 2007 11:47 Titel: |
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Nein nicht wirklich, Potenzial wurde erst in der letzten Stunde eingeführt.
Ich dachte man muss partiell aufleiten nach x,y,z und dann muss das gleiche herauskommen bis auf eine Konstante.
Ist das richtig? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 11. Nov 2007 12:01 Titel: |
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Okay, dann würde ich vorschlagen dass du dir z.B. mal den Wiki-Artikel zur konservativen Kraft anschaust. Dort findest du drei äquivalente Eigenschaften für ein solches Kraftfeld.
Die erste ist die Existenz des Potentials, die zweite die Wegunabhängigkeit der Arbeit und die dritte die mathematischen Eigenschaften des Vektorfelds an sich. Üblicherweise ist es am günstigsten 3. zu zeigen, woraus dann 1. und 2. äquivalent folgen. Ist drittens erfüllt, existiert also ein Potential dass man dann im nächsten Schritt bestimmen kann.
(Bevor du beginnst die Rotation zu berechnen würde ich allerdings den resultierenden Kraftvektor nochmal scharf ansehen, das könnte einiges an Arbeit sparen.)
| pfeffer2004 hat Folgendes geschrieben: | | Ich dachte man muss partiell aufleiten nach x,y,z und dann muss das gleiche herauskommen bis auf eine Konstanten |
Das ist schon nicht falsch, man sucht ja ein Potential U, für das gilt:Bevor man sich auf die Suche nach einem solchen Potential macht, ist es schon sinnvoll sich erst einmal zu überzeugen, dass ein solches überhaupt existiert.
//edit: Bei diesem Kraftfeld mag das vielleicht etwas überzogen wirken, da man (nach Vereinfachen des Gesamtkraftvektors) das Potential recht schnell sieht, aber allgemein sauberer ist es meiner Meinung nach schon auf diesem Weg. Da hat man es für später schonmal gemacht.
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pfeffer2004
Anmeldungsdatum: 09.11.2007
Beiträge: 27
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| pfeffer2004 Verfasst am: 11. Nov 2007 13:45 Titel: |
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Dann versuche ich jetzt mal mein Glück. |
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