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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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 Gargy Verfasst am: 09. Nov 2007 21:22 Titel: Schwingung mit Reibung |
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Hallo, ich habe eine Aufgabe bei der nicht ganz weiter weiß...
An einem masselosen Faden der Länge l ist die Masse m gehängt. Die Auslenkung aus der Ruhelage ist  . Es wirken Gravitation und Luftreibung. Stelle Lagrange und Euler-Lagrange auf, löse diese für kleine Auslenkungen und schwache Reibung.
Gegeben ist noch die Rayleigh'sche Dissipationsfunktion mit:
Ich habe so angefangen:
-mgy)
Das sind meine Lagrange-Gleichungen. Mit Euler-Lagrange kann ich nicht viel anfangen, habe mir aber folgendes gedacht:
Das v ergibt sich aus der Energieerhaltung und es ist (* zur Unterscheidung von der Reibung)
)
Laut Lehrbuch gilt:
Aber das verwirrt mich total, denn da ist kein x drin  |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 09. Nov 2007 23:35 Titel: |
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Hallo Gargy.
Da ich beim letzten Mal wenig Glück mit dem Verständnis der Aufgabe hatte, möche ich erst einiges klarer für mich gestalten  .
Bisher hatte ich Lagrange-Gleichungen und Euler-Lagrange-Gleichungen synonym verwendet. Kann es also sein, daß mit "Lagrange" die Lagrange-Funktion gemeint ist und mit "Euler-Langrange" die daraus entstehenden Langrange-Gleichungen?
Ist das Pendel zweidimensional anzusehen, also als normales mathematisches Pendel nur mit zusätzlicher Reibung? Oder soll man hier eine Schwingung in der Ebene annehmen? Ich frage deshalb weil Du mit zwei unabhängigen Koordinaten beginnst, obwohl eine Zwangsbedingung über die Pendellänge gegeben ist. Ich hätte intuitiv mit dem Koordinaten/Geschwindigkeitspaar ) angefangen. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 10. Nov 2007 09:28 Titel: |
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Ich habe in meinem Rebhahn nachgeschaut:
Mit Euler-Lagrange sind die Lagrangegleichungen zweiter Art gemeint, da sie sich mit der Lagrangefunktion auf ein Eulersches Minimierungsproblem zurückführen lassen (was das ist weiss ich jetzt auch nicht...).
Daher nehme ich an, dass mit Lagrange die Lagrange'schen Gleichungen erster Art gemeint sind, also die Newton'schen Bewegungsgleichungen mit Berücksichtigung der Zwangskräfte, welche wiederum mit Hilfe von Lagrange'schen Multiplikatoren angesetzt werden.
Der Stammbaum dieser Art von Methoden ist sehr verwirrend (finde ich) und sicher historisch bedingt.
Im Übrigen kann ich mich @magneto42 nur anschliessen: warum verwendest du keine generalisierten Koordinate(n), die die Zwangsbedingung bereits berücksichtigt? Ansonsten kannst du Euler-Lagrange so natürlich nicht verwenden, da die virtuellen Verrückungen nicht unabhängig zu wählen sind. sind. X und Y sind doch bei dir nicht unabhängig!!! Bedenke, dass Euler-Lagrange aus dem Dalambert'schen Prinzip folgt, aber nur wegen der Unabhängigkeit der Verrückungen.
Du musst die Dissipationsfunktion nur auf diese neue Koordinate  "umschreiben", was dir nicht sonderlich schwerfallen wird.
Die LG ist dann, wie du bereits erkannt hast:
Die musst Du dann lösen!
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Nov 2007 16:30 Titel: |
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Okaaay, also ich fang mal oben an bei Magneto24:
Ich habe die Aufgabe angegeben, wie sie bei mir auf meinem Zettel steht. Nichts weggelassen oder hinzugeschrieben.
Ich denke, es ist ein mathematisches Pendel mit Reibung. Ehrlich gesagt, weiß ich gar nicht, was ich hätte anders machen sollen  Koordinaten/Geschwindigkeitspaar? Soll ich eher Polarkoordinaten nehmen? Meint ihr das?
So genauer betrachtet, habe ich mir über die Zwangsbedingung gar keine Gedanken gemacht.
Also wären die ZB:
-mg(l-h))
)
Ist das denn erstmal richtig?
Euler-Lagrange oder nur Lagrange... keine Ahnung, schnudl, irgendwie war das total unklar in der Vorlesung. Ich habe es auch im Rebhan und Fließbach nachgelesen, aber nicht viel rausziehen können. Was sind Lagrange-Multiplikatoren (das muss ich erstmal nachschlagen)? |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Nov 2007 16:36 Titel: |
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Oooohhhh, 'Tschuldigung, doch es steht da! 
Stelle Lagrange-Funktion und Euler-Lagrange-Gleichungen auf....
Ok, das ist mal geklärt, aber wie weiter? Sind die Sachen da oben erstmal richtig? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 10. Nov 2007 19:20 Titel: |
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Du brauchst dich um Lagrange Multiplikatoren hier nicht zu kümmern, da du ja nur die "normale" LagrangeGleichung hinschreiben sollst. Es gibt auch eine LG erster Art, die allerdings nichts mit einer Lagrangefunktion zu tun hat. Ich dachte, das wäre unter Lagrange gemeint und habe dich nicht verwirren wollen.
Zu deiner Lagrangefunktion:
Das ist die Bewegung des Pendels, r ist die Pendellänge.
Soll das die kinetische Energie sein ?
 )
wie kommst du auf das?
Die Einheiten deiner Gleichung:
\right] = kg \cdot m^2)
 \right] = kg \cdot m^2/s^2 \cdot 1/s^2 = kg \cdot m^2 \cdot 1/s^4)
Energie hätte die Einheit
Potenzielle Energie V:
)
Das ist zwar eine Energie, aber was ist plötzlich l und h ? Da geht ja der Winkel nicht mehr ein...Du musst das genauso umwandeln.
Potenzialfreie Kraft:
)
Da kann auch was nicht stimmen...
Wieso kann sich überhaupt bei dir r zeitlich ändern, wenn es ein starres Pendel ist? Oder hab ich wieder mal was überlesen...
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 11. Nov 2007 12:27 Titel: |
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Oh, mann, ich bin ein Volltrottel... |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 11. Nov 2007 12:29 Titel: |
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Sagen wir mal besser, du hattest ein kleines Blackout...
Versuchs nochmals!
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 11. Nov 2007 15:00 Titel: |
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Ich habe mir jetzt ganz viel Mühe gegeben, bin aber an einer Stelle mal wieder nicht weiter gekommen. Vielleicht kannst du ja nochmal helfen.
Zuerst habe ich meine Koordinaten nochmal neu definiert - besser fürs Pendel:
Lagrange-Funktion
)
Lagrange 2-Gleichungen
 +0=0)
Nochmal übersichtlich:
~~~ -ml \dot{ \varphi}² + mg(1-cos \varphi)=0)
~~~ ml² \ddot{ \varphi} + mglsin \varphi +kl² \dot{ \varphi}=0)
1) umgestellt
=ml \dot{ \varphi}²)
}{ml})
})
das in 2) eingesetzt
}=0)
und weiter umgestellt un gekürzt
}=0)
bringt letztlich
})
Kleine Schwingungen heißt 
Das kann man mit einer Taylorentwicklung für Sinus zeigen.
Kleine Reibung heißt  Aber, wie man das zeigen kann bzw. was das für meine Funktion bedeutet, weiß ich nicht
Jedenfalls steht jetzt da:
})
Wie intergriert man das? steht ja rechts noch drin...
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 11. Nov 2007 15:47 Titel: |
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Das sieht schon viel besser aus, aber warum hast du l als eine zweite freie Variable hineingenommen? l ist doch konstant und kann daher nicht variiert werden. Die Gleichung die du erhältst,
)
ist falsch, denn links steht die kinetische Energie, rechts die Potenzielle Energie. Bei  wäre dann die rechte Seite Null und daher auch die linke Seite und damit  . Bei einem Pendel hat man aber gerade bei die grösste Geschwindigkeit und nicht Null.
Betrachte l als Konstante, die einzige Gleichung die du dann hast ist
bei kleinen Winkeln geht das über in
 \dot{ \varphi} + (g/l) \varphi =0)
Das ist die Gleichung einer gedämpften Schwingung, die man bekanntermassen exakt Lösen kann.
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 11. Nov 2007 16:14 Titel: |
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Ach so, ich glaube, ich habe die Lagrange-Gleichungen einfach noch nicht ganz verstanden. Die Ableitungen mache ich also nur von den freien Variablen, hier also nur von ??
Ok, dann werd ich das wohl auch nochmal nachlesen. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 11. Nov 2007 17:45 Titel: |
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So, mit einem e-Ansatz erhalte ich folgendes:
= C \cdot e^{ \lambda t})
= C_{1} \cdot e^{ \lambda_{1} t}+C_{2} \cdot e^{ \lambda_{2} t})
Die Reibung soll klein sein, d.h. k<<1, d.h. wiederum  , womit die Wurzel imaginär wird.
= C_{1} \cdot e^{ -( \delta - i \gamma)t}+C_{2} \cdot e^{ -( \delta + i \gamma)t}= e^{- \delta t} \cdot (C_{1} \cdot e^{ i \gamma t}+C_{2} \cdot e^{ - i \gamma t}))
Ähm, wie macht man daraus eine reelle Lösung? |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 11. Nov 2007 18:56 Titel: |
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Indem du den Realteil davon nimmst.
Oder gleich:
= e^{- \delta t} \cdot (C_{1} \cdot \sin { \gamma t}+C_{2} \cdot \cos{ \gamma t}))
C1 und C2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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| Gargy Verfasst am: 12. Nov 2007 09:19 Titel: |
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Ach so, danke schön!  |
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