Fluss eines Vektorfelds durch eine geschlossene Fläche

Felipe · Anmeldungsdatum: 28.03.2007 Beiträge: 36

Hallo!

Also ich soll den Fluss des Vektorfelds

durch die (geschlossene) Oberfläche A eines Würfels bestimmen. Dabei liegt der Würfel mit seinen Seitenkanten direkt auf den Koordinatenachsen.

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes, ist das kein Problem, nur komm ich sonst mit der "normalen" integrationsmethode über die einzelnen 6 flächen nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich da die Integrationsgrenzen setzen muss unglücklich

bin für jede hilfe dankbar!

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Felipe.

Du suchst also die sechs Integralausdrücke für die Seiten eines Würfels um den gesammten Fluß zu bestimmen:

Das Flächenelement läßt sich auch anders ausdrücken:

Dabei ist

der Flächenvektor (Flächennormale). Der Würfel, der hier betrachtet wird, liegt mit den Kanten entlang der Koordinatenachsen. Daher sind die Flächenvektoren gleich den kartesichen Einheitsvektoren. Aber Achtung: der Flächenvektor zeigt immer vom Würfel weg! Also auf das Vorzeichen achten.

Das Flächenelement nimmt je nach Ebene die Gestalt

,

oder

an.

Falls in Deiner Aufgabenstellung nichts über die Ausdehnung des Würfels gesagt wird, nimm einfach eine beliebige Kantenlänge a an. Die Integrationsgrenzen laufen dann von 0 bis a.

Beispiel für die untere Würfelfläche:

Die z-Komponente ist z = 0

Der Richtungsvektor ist

Das Flächenelement ist

Der Fluß ist dann:

Ich glaube, das war schon fast zu viel Hilfestellung. Der Rest sollte jetzt machbar sein, oder?

Felipe · Anmeldungsdatum: 28.03.2007 Beiträge: 36

super, dass war schon echt gut, nur hab ich den fluss durch die untere fläche schon berechnet. probleme hab ich eher mit den flächen, die nicht am koordinatenursprung anliegen (sprich vorne, oben und rechts).

Wenn ich z.B. den Fluss durch

bestimmen möchte, dann wähle ich logischerweise für die Flächennormale:

(wobei die z-Achse nach oben zeigt)

naiver weise hab ich dann einfach folgendes gerechnet (a=1):

was doch bestimmt falsch ist, weil sich sonst (bei mir zumindest) alle gegenüberliegenden seiten aufheben würden und laut Gauß kommt schließlich 2 heraus. Muss ich nicht irgendwie noch die Höhe einbringen? Immerhin befindet sich die Fläche

um a=1 über

t.t. · Anmeldungsdatum: 04.10.2007 Beiträge: 113 Wohnort: Konstanz

Hi Felipe,

bei einem Flächenintegral sind alle Variablen vorgegeben. Beispielsweise kann eine Fläche paralell zur xy-Ebene nicht nur durch die Angabe der Integrationsgrenzen bestimmt werden; es fehlt noch die Angabe eines Wertes für die z-Koordinate.
Und nein, der Fluss gegenüberliegender Seiten hebt sich nicht auf. Als Kontrolle sollte bei Dir der Fluss des gegebenen Vektorfeldes durch die Koordinatenebenen immer Null ergeben. Liegt einfach daran, dass bei jeder Komponente des Vektorfeldes der entsprechende Achsenabschnitt mit eingeht, also die zum Beispiel die z-Komponente bei z=0 verschwindet.

Gruß T.T.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hm

, was hast Du denn da gemacht?

Für die obere Fläche rechne ich folgendes:

(Dies ist es wohl, was Du mit "Höhe einbringen" meinst).

Die gegenüberliegenden Seiten heben sich unter Garantie nicht auf. Dazu fehlen dem gegebenen Feld die Symmetrievorausstzungen.

Außerdem ist die Lösung des Integrals, das Du zuletzt angegeben hast nicht 1 sondern 1/4.

Edit:
Wieder am Timing vorbei Augenzwinkern

Felipe · Anmeldungsdatum: 28.03.2007 Beiträge: 36

oh... da hab ja voll bickmist gebaut geschockt

aber ich glaub, dass ich nun verstanden hab, wie ich die aufgabe lösen und wie ich die "Höhe einbringen" muss Augenzwinkern

falls noch unklarheiten bestehen sollten, melde ich mich natürlich nochmal

euch beiden aber erstmal vielen dank! Thumbs up!