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Student05
Anmeldungsdatum: 31.05.2007
Beiträge: 10
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 Student05 Verfasst am: 31. Mai 2007 20:09 Titel: Potentialtopf und Operatoren |
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Hi, kann mir mal jemand erklären wie man zeigt/begründet, dass folgende Operatoren hermitesch bzw. linear sind?
1.) A = ih(d/dx)
2.) B = (1/x)*Y(x) + (d/dx)*Y(x)
wobei Y(x) die Wellenfunktion sein soll.
Und noch eine Frage zum Potentialtopf.
Das Potential U ist folgendermaßen definiert:
Bereich 1: (x<0) U(x)=0
Bereich 2: (x>0) U(x)=U
Kann ich dann folgende Wellenfunktionen anstzen?
Bereich 1:
Y(x) = Be^(-kx)
Bereich 2:
Y(x) = Ce^(ikx) + De^(-ikx)
Mfg |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 31. Mai 2007 22:11 Titel: |
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Hallo!
Ein Operator ist hermitesch, wenn diese Gleichung erfüllt ist:
\left(A\psi(x)\right) = \int \mathrm{d}x\,\left(A\varphi(x)\right)^*\psi(x))
Der erste Operator ist dabei eine ziemliche Standardaufgabe. Das kannst Du raus bekommen, indem Du Produktintegration benutzt und dann noch weißt, dass normierbare Funktionen, wie es  und  ja sein müssen, im Unendlichen schnell genug abfallen müssen. Probier das mal aus!
Zu Deiner zweiten: Das ist kein Potentialtopf, sondern eine Potentialstufe. Du musst im linken Bereich eine rechts und eine linkslaufende Welle ansetzen, weil an der Stufe ein teil reflektiert wird und da die Energie des Systems >0 sein muss, das Potential im Bereich 1 aber 0 ist, kommt dort eine schwingende Lösung raus und im Bereich 2 eine exponentiell abfallende, wenn die Energie E<U ist, sonst auch hier eine schwingende. Außerdem sind die k nicht gleich, weil sie von der Differenz aus E und U abhängen.
Gruß
Marco |
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Student05
Anmeldungsdatum: 31.05.2007
Beiträge: 10
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| Student05 Verfasst am: 01. Jun 2007 01:18 Titel: |
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Schonmal danke für deine Hilfe, mir ist aber immer noch nicht ganz klar wie man zeigt, dass ein Operator hermitesch ist. Aber schonmal gut zu wissen, dass man partiell Integrieren muss, das wusste ich noch nicht. Vielleicht kannst du mir das nochmal Schritt für Schritt zeigen. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 01. Jun 2007 02:37 Titel: |
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Hallo!
Setze doch einfach mal den Operator A in das linke Integral ein:
\cdot i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\psi(x) = \underbrace{\left[\varphi^*(x)\cdot \psi(x)\right]_{-\infty}^\infty}_{=0} - \int\mathrm{d}x\,\left(i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\varphi^*(x)\right)\cdot \psi(x) = \int\mathrm{d}x\left(-i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\varphi^*(x)\right)\cdot\psi(x) = \int\mathrm{d}x\left(+i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\varphi(x)\right)^*\cdot\psi(x))
Die eckige Klammer wird 0, weil die Funktionen beide bei ±oo schnell genug abfallen müssen, um überhaupt normierbar zu sein.
Jetzt versuche das mal mit dem anderen Operator. Ich hab's noch nicht ausprobiert...
Was ist mit der Linearität? Die sollte eigentlich leichter zu zeigen sein, denke ich. Oder?
Gruß
Marco |
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Student05
Anmeldungsdatum: 31.05.2007
Beiträge: 10
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| Student05 Verfasst am: 01. Jun 2007 19:23 Titel: |
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Danke, ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Allerdings habe ich noch eine Frage. Kann es sein, dass du bei dem Term in eckigen Klammern das "ih" vergessen hast? Oder habe ich einen Denkfehler gemacht?
Die partielle Integration ist ja folgenderweise definiert:
Integral(u * v')dx = [u * v] - Integral(u' * v)dx
Ich habe dann
u=phi(stern) * ih
v'=(d/dx) psi
gesetzt womit
v=psi
und
u'=ih (d/dx) psi(stern)
ist. (Sorry kann kein latex)
Wäre letztendlich aber auch egal, weil der Term in eckigen Klammern eh null wird.
Mfg |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 01. Jun 2007 19:26 Titel: |
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Hallo!
Ja, den Vorfaktor habe ich dort vergessen. Ich hatte da nicht so drauf geachtet, weil es ja 0 wird und dann der Vorfaktor auch egal ist, aber trotzdem: gut aufgepasst! 
Gruß
Marco |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 02. Jun 2007 12:48 Titel: Re: Potentialtopf und Operatoren |
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| Student05 hat Folgendes geschrieben: |
Kann ich dann folgende Wellenfunktionen anstzen?
Bereich 1:
Y(x) = Be^(-kx)
Bereich 2:
Y(x) = Ce^(ikx) + De^(-ikx) |
Kann man so wohl machen, wenn man annimmt das Teilchen fällt von rechts in die Schwelle ein. Alllerdings ist das k in den Bereichen 1 und 2 verschieden und unter Umständen auch imaginär, jenachdem ob E>U oder E>U ist.
=> aber ich sehe gerade, das wurde oben schon von as_string erörtert.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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