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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
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 til_d_aus_g Verfasst am: 21. März 2005 15:46 Titel: Potentialtopf |
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Hallo!
Ich arbeite gerade an einem Referat über den dreidimensionalen Potentialtopf. Kann mir jemand probieren zu erklären, was genau mir der Topf überhaupt sagt? Ok, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens.. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Elektron besagt ja aber, dass sich das Elektron mit größter Wahrscheinlichkeit im Kern befindet, aber da darf es doch gerade nicht sein, bzw. wird es doch sofort wieder rausgeschleudert?! Oder liegt mein Problem darin, dass sich ja meistens irgendwie mehr als ein Elektron im Topf befindet und damit die Antreffswahrscheinlichkeit nicht mehr im Kern am größten ist?!
Und was bedeuten die Quantenzahlen?
Viele Dank, bin im Moment einfach nur O_o |
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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
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| til_d_aus_g Verfasst am: 21. März 2005 16:17 Titel: |
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oki, das mit den Quantenzahlen hab ich schon, hat sich also erledigt  |
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SheepTrick
Anmeldungsdatum: 07.03.2005
Beiträge: 99
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| SheepTrick Verfasst am: 21. März 2005 18:51 Titel: Re: Potentialtopf |
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| til_d_aus_g hat Folgendes geschrieben: | | Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Elektron besagt ja aber, dass sich das Elektron mit größter Wahrscheinlichkeit im Kern befindet, aber da darf es doch gerade nicht sein, bzw. wird es doch sofort wieder rausgeschleudert?! Oder liegt mein Problem darin, dass sich ja meistens irgendwie mehr als ein Elektron im Topf befindet und damit die Antreffswahrscheinlichkeit nicht mehr im Kern am größten ist?! |
Beim Wasserstoff hast Du aber nur ein Elektron, und das hält sich wirklich am liebsten im Kern auf.
Aber Du musst natürlich auch beachten, daß die Schrödinger-Gleichung mit der Normierung
gelöst wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Antreffen des Elektrons in dem winzigen Raumteil dV das den Kern ausmacht, im Vergleich zu dem breiten Potentialtopf den Du für das s-Orbital betrachtest (Einzellösung n=1), ist verschwindend klein. Das sagt auch die Unschärferelation aus, dass die mittlere Geschwindigkeit eines Elektrons um so größer wird, je kleiner der Bereich ist, in dem sich das Elektron aufhält. Damit kostet es Energie, ein Elektron im Kern zu halten.
In großen Atomen mit "dicken" Kernen kann so ein Elektroneneinfang durchaus passieren. |
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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
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| til_d_aus_g Verfasst am: 22. März 2005 11:29 Titel: |
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ich habe solangsam das gefühl, dass ich nicht daran vorbeikomme, mich mit der schrögdinger gleichung auseinander zu setzen  aber die sieht irgendwie so ekelig aus :/
aber du meinst, es ist durchaus möglich, dass sich in "dickeren" kernen ein elektron aufhält bzw eingefangen wird?
ich glaube, ich stoße hier an die grenzen meiner gehirnkapazitäten.. 
hö, aber in dem kleinen wasserstopf-atom hält sich das elektron durchaus in der mitte auf, in atomen mit dicken kernen auch, wo denn dann nicht?!!?
wah |
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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
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| til_d_aus_g Verfasst am: 22. März 2005 11:39 Titel: |
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ok, jetzt habe ich glaube ich doch einfach eine grundlegende frage, deren antwort mir schon wirklich weiterhelfen würde:
setzte ich in der schrödingergleichung
nx=2 ; ny=nz=1, so erhalte ich ja eine knotenebene mit 2 deformierten kugeln daneben.
was genau habe ich denn aber getan, als ich nx=2 gesetzt habe? |
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Neko
Anmeldungsdatum: 04.07.2004
Beiträge: 526
Wohnort: Berlin
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| Neko Verfasst am: 22. März 2005 12:16 Titel: |
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Okay, du hast vollkommen Recht. Die Schrödinger-Gleichung sieht wirklich eklig aus  Sag mal, welchem Anspruch soll dein Referat genügen, ist das Physik-LK 13. Klasse? Also ich mach dann jetzt mal Schrödinger for Runaways, ja? Wenn dus genauer wissen willst/musst, dann bleibt dir wohl nichts anderes übrig, als dir Studienliteratur zu besorgen
Also, du hast ein Teilchen, dass sich ein einem Potentialtopf befindet. Wie es sich dann verhält, das beschreibt die Schrödinger-Gleichung
Kurz ausgeschrieben lautet sie:
=\hat H\psi(\vec{x},t))
Auf der linken Seite steht neben der Zahl i noch das Plank'sche Wirkungsquantum  , alles Konstanten. Das wirklich wichtige ist die Ableitung der  -Wellenfunktion nach der Zeit, also wie sich das Teilchen als Welle im Verlauf der Zeit verhält. Und das wiederum wird beschrieben durch (und jetzt kommt das Gleichzeichen) den Hamilton-Operator  angewendet auf die Wellenfunktion. Schreibt man  in der Physik, dann bedeutet das, dass die spezielle "Hamilton Operation" auf die Gleichung angewendet wird. Das hört sich jetzt schrecklich wild an, bedeutet aber von der Methode her nichts anderes, als wie wenn du von einer Zahl den Cosinus bildest. Was der Operator aussagt, sieht man leicht, zu verstehen, wie er zustande kommt, ist dagegen weitaus schwieriger, dazu brauchst du das mathematische Verständnis vom Grundstudium Physik, ich habs auch noch nicht verstanden wie er zustande kommt, irgendwie mit komplexen Hilbert-Räumen und Eigenwerten, etc. Glaub das brauchst du für dein Referat nicht mal im Entferntesten. Also Hamilton Operator:
)
Wie du hier siehst, ist wieder das Planck'sche Wirkungsquantum vertreten, die Masse ist mit drin, und was am wichtigsten ist: Die Enerie.
Die Gleichung ganz oben, also die allgemeine sagt also im Grunde nur aus: Die zeitliche Änderung der Wellenfunktion Psi wird bestimmt durch das Energienivea im Potentialtopf (also den Hamilton Operator).
Ist ziemlich harter Stoff, die Gleichung. Ich bin bald im 2. Semester und kenne, was den mathematischen Hintergrund betrifft, nur die Eigenwerte, von der bra-ket Schreibweise hab ich was gelesen und den Rest reimt man sich zusammen. Ich geb dir also keine Garantie auf die Vollständigkeit meiner Angaben
Edit:
Wenn du die Wellenfunktion als solche Haben möchtest, musst du die hier nehmen:
=\psi(\vec{x})\cdot\,e^{-\frac{i}{\hbar}Et})
die kannst du dann auch oben für Sheeps Wahrscheinlichkeits-Angabe verweden. Sie sagt aus: Der Aufenthaltsort eines Teilchens ist mit wachsender Zeit umsogenauer bestimmbar (die inverse e-Funktion geht ja gegen null), je mehr Energie man zu führt. Wobei E natürlich im Verlauf von t konstant bleibt. Und das ist genau das, was Sheep sagen wollte und nochmal mit der Unschärferelation erklärt hat...
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Prefect:"ich habe dich von der Erde gerettet"
Dent:"Und was ist mit der Erde passiert?"
"Och,...die wurde zerstört"
"Ach ja"
"Ja, sie ist einfach ins Weltall verdunstet"
"Weißt du, das nimmt mich natürlich ein bißchen mit" |
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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
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Wohnort: Göttingen
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| til_d_aus_g Verfasst am: 22. März 2005 12:35 Titel: |
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ok, nun hast du völlig recht , es ist lediglich ein referat in der 13. klasse (und sogar nur PK), also ich glaube, ich werde die schrödinger-gleichung nur etwa in dem umfang wie du sie gerade beschrieben hast anführen, das muss reichen.  wichtig sind die ganzen schönen bilder
nochmal zu der frage von gerade:
| Zitat: | setzte ich in der schrödingergleichung
nx=2 ; ny=nz=1, so erhalte ich ja eine knotenebene mit 2 deformierten kugeln daneben.
was genau habe ich denn aber getan, als ich nx=2 gesetzt habe? |
da habe ich also eigentlich nur den nächsten enerige-zustand beschrieben?!
btw, juhu, ich freu mich auf's physik-studium  |
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SheepTrick
Anmeldungsdatum: 07.03.2005
Beiträge: 99
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| SheepTrick Verfasst am: 22. März 2005 13:15 Titel: |
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| til_d_aus_g hat Folgendes geschrieben: | | ich habe solangsam das gefühl, dass ich nicht daran vorbeikomme, mich mit der schrögdinger gleichung auseinander zu setzen aber die sieht irgendwie so ekelig aus :/ |
Das tust Du ja schon, wenn Du den Potentialtopf betrachtest: Du suchst Lösungen für die Wellengleichung mit der Randbedingung, daß die Energieniveaus quantisiert sind.
| til_d_aus_g hat Folgendes geschrieben: | aber du meinst, es ist durchaus möglich, dass sich in "dickeren" kernen ein elektron aufhält bzw eingefangen wird?
ich glaube, ich stoße hier an die grenzen meiner gehirnkapazitäten..
hö, aber in dem kleinen wasserstopf-atom hält sich das elektron durchaus in der mitte auf, in atomen mit dicken kernen auch, wo denn dann nicht?!!?
wah |
In allen Kernen gibt es ein oder maximal zwei Elektronen, die sich auf niedrigsten Energieniveau nahe beim Kern aufhalten. Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung ergeben für Hauptquantenzahl 1 einen Bauch in Kernnähe. Damit ist für diese beiden Elektronen eine Wahrscheinlichkeit gegeben, sich im Kern aufzuhalten. Die Wahrscheinlichkeit dort lange genug zu verweilen, daß sie irgendwann mit einem Proton zusammentreffen ist natürlich bei dickeren Kernen höher. Und die Wahrscheinlichkeit ist natürlich auch abhängig von der "Protonendichte", das heisst die Anzahl der Protonen im Verhältnis zur Anzahl der Neutronen im Kern. Deshalb ist dieser Effekt bei Isotopen beobachtbar. |
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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
Beiträge: 33
Wohnort: Göttingen
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| til_d_aus_g Verfasst am: 22. März 2005 14:09 Titel: |
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ok, danke, das zumindest macht sinn! |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 22. März 2005 17:12 Titel: |
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| til_d_aus_g hat Folgendes geschrieben: | ok, jetzt habe ich glaube ich doch einfach eine grundlegende frage, deren antwort mir schon wirklich weiterhelfen würde:
setzte ich in der schrödingergleichung
nx=2 ; ny=nz=1, so erhalte ich ja eine knotenebene mit 2 deformierten kugeln daneben.
was genau habe ich denn aber getan, als ich nx=2 gesetzt habe? |
Im Grunde suchst Du eine Lösung der Schrödinger-Gleichung einer dreidimensionalen Wellenfunktion ) . Der bereits angesprochene Hamilton Operator enthält  , den man auch den "Laplace-Operator" nennt. Der Laplace-Operator bringt partielle Ableitungen ins Spiel, macht die Schrödinger-Gleichung zur partiellen Differentialgleichung und teilt dabei die kinetische Energie in drei Teile, abhängig von x, y und z.
}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 \psi(x,y,z)}{\partial y^2}+\frac {\partial^2 \psi(x,y,z)}{\partial z^2} = -kE_{gesamt}\psi(x,y,z))
(also in k ist jetzt das ganze Plancksche Bazong gepackt...)
Da das Coulomb-Potential des Kerns nur vom Abstand abhängig ist, sind x, y und z vollkommen gleichberechtigt. Die Gleichung läßt sich durch Separation der Variablen lösen ("googel" die Lösung nach oder warte auf die Vorlesung in der eine Tafel geopfert wird).
Du bekommst eine Lösung für  ,  und  von der Form
 = A * sin( \frac {n_1 \pi}{L_x}x) * sin( \frac {n_2 \pi}{L_y}y) * sin( \frac {n_3 \pi}{L_z}z))
  und  sind die Ausmasse Deines Potentialtopfes in die drei Richtungen.
Wenn Du daraus die Wahrscheinlichkeitsdichte im dreidimensionalen Raum abbildest (und das kann man mit MATLAB schön darstellen), bekommst Du das px-Orbital. |
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SheepTrick
Anmeldungsdatum: 07.03.2005
Beiträge: 99
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| SheepTrick Verfasst am: 22. März 2005 17:14 Titel: |
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...des war mein Käse, falls Du noch Fragen hast....  |
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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
Beiträge: 33
Wohnort: Göttingen
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| til_d_aus_g Verfasst am: 22. März 2005 17:45 Titel: |
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ihr seid die besten
ich glaub, ich habs jetzt so in etwa, gehe einfach für die gesamte orbitale etc erstmal nur von einer wahrscheinlichkeitsgleichung aus und sage dann zum schluss, was die schrödinger-gleichung davon hält. aber die muss ich zum glück galube ich nicht allzu sehr ausführen!
dankeschön  |
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Neko
Anmeldungsdatum: 04.07.2004
Beiträge: 526
Wohnort: Berlin
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| Neko Verfasst am: 22. März 2005 19:23 Titel: |
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Also das mit dem Bazog gehört nur zu meiner Signatur, hat nix zu bedeuten. PK heißt Profilkurs oder wie? Okay, denn für nen Grundkurs wäre wahrscheinlich schon das Anschreiben der Schrödinger-Gleichung zu viel
Sag mal Sheep bist du Physik-Studi, weil du dich mit der Quantenmechanik so gut auskennst? Wenn ja, in welchem Semester? Studier im 2. und hatte noch keine Quantenmechanik...
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til_d_aus_g
Anmeldungsdatum: 21.03.2005
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Wohnort: Göttingen
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| til_d_aus_g Verfasst am: 26. März 2005 17:37 Titel: |
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