Zwangsbedingungen Erläuterung ?

Steffenx · Anmeldungsdatum: 19.04.2007 Beiträge: 12

Hallo und guten Morgen !

Ich habe eine Lagrangeaufgabe zum Rechnen und würde gerne verstehen , wie man auf die Zwangsbedinungen kommt.

In der Aufgabe sind zwei Kreisscheiben(radius r) auf einer Achse ( Länge z) montiert, und sie können unabhängig voneinander rollen. Diese "Hantel" rollt, ohne zu rutschen auf einer Ebene.

Die schon angegeben Zwangsbedinungen waren :

sin(a)dx -cos(a)dy=0
cos(a)dx+sin(a)dy=(-r/2)(dc+dc')
a=a_0 + (r/z) (c-c')

die Variablen waren ...
a_o= konstante
x/y= der auf die x-y Ebene projezierte Mittelpunkt der Achse
c ist der "abgedrehte Winkel eines Rades"
a ist der Winkel zwischen x-Achse und des Rades, bzw. der Achse.

Mir ist es völlig unklar, wie man diese Zwangsbedinungen sieht... Für nur ein Rad hab ich das Beispiel im Nolting/`Keuypers, Greiner gefunden, also so gut wie in ziemlich jedem TM-Buch, ich find auch überhaupt keine Abrollbedinung , also dass |v|=r*dc/dt ist, angeblich sollen diese Zwangsbedinungen aber sehr direkt und anschaulich interpretierbar sein, aber irgendwie seh ich da bisher nur eine graue Zwangsbedinungswand ...

liebe Grüße

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Als Ausgangspunkt für die Herleitung dieser Zwangsbedingungen würde ich die drei Bedingungen nehmen, die ich in der Aufgabenstellung sehe:

* Die Rollbedingung

für das eine "Rad"

* Die Rollbedingung

für das andere "Rad"

* Und die Bedingung, dass die Räder so auf die Achse montiert sind, dass der Abstand ihrer Mittelpunkte voneinander immer derselbe bleibt.

Kannst du damit (und vielleicht mit einer übersichtlichen Skizze) die Beziehungen der angegebenen Zwangsbedingungs-Gleichungen für die Position des Hantelmittelpunktes und die Orientierung der Hantelachse herleiten?

Steffenx · Anmeldungsdatum: 19.04.2007 Beiträge: 12

ah danke erstmal für dein Antwort, ich werde mich wenn ich drüber nachgedacht hab nochmal melden...

ich hielt w' fälschlicherweise für irgendeine ableitung Schläfer

Steffenx · Anmeldungsdatum: 19.04.2007 Beiträge: 12

Hmm, also schonmal meine Überlegungen zur letzten Zwangsbedingung, ich hab auch mal eine "Zeichnung ", wenn man das noch so nennen kann angefertigt, aber eh, mit anderen Variablen als ich sie verwendet hatte.

Naja ich hatte mir überlegt, wenn das erste Rad z.B. stehen bleibt und das zweite Rad sich um

ändert. Mit der Definition des Bogenmaßes würde sich dann die Zwangsbedinung zb ergeben oder ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Deine Überlegung halte ich für einen guten Ausgangspunkt smile

Wenn ein Rad stehenbleibt, fährt das andere auf einem Kreisbogen. Durch die Strecke, die beide Räder gleich zurücklegen, dreht sich die Hantelachse nicht.

Kannst du damit die Zwangsbedingung sauber herleiten, wenn du genau darauf achtest, die Bezeichnungen konsequent zu wählen, vielleicht zum Beispiel am besten genau so wie in den Gleichungen aus der Aufgabenstellung?

Steffenx · Anmeldungsdatum: 19.04.2007 Beiträge: 12

Okay, also die letzte Zwangsbedingung hab ich , glaube ich verstanden, aber ich kann mir das nur zeichnerisch erklären, nicht wie man mathematisch drauf kommt.

Noch so ein Einfall wäre, dass die erste Zwangsbedingung einfach der wäre tan(a)=dy/dx

Wenn ich das untere Rad sich drehen lasse vergrößert sich der winkel um (r/z) (c) und verkleinert sich wenn das obere Rad drehe um (r/z) (c') oder?, aber das ist ja noch lange keine Herleitung und auch die anderen sind mir noch nicht klar, ich brauch bestimmt irgendwo die Geschwindigkeiten und die Projektionen der x und y Punkte des Mittelpunkts der Achse, aber bisher ist das noch nicht für mich sichtbar, kannst du mir da nochmal helfen?

Steffenx · Anmeldungsdatum: 19.04.2007 Beiträge: 12

Hey nochmal& schönen Sonntag euch,
sorry ich will meinen Beitrag nicht hoch pushen, aber diese Zwangsbedingungen kratzen mir nervig im Kopf herum , weil ich nicht drauf komme , aber ob meine "Selbsterklärungen" zu 1 und 3 richtig/falsch sind, und wie ich von da auf die zweite komme?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was du da zu den Zwangsbedingungen 3 und 1 schreibst, ist schon richtig, ich bin mir allerdings nicht so ganz sicher, ob du schon verstanden hast, wie das alles zusammenpasst und was da jeweils für eine Bewegung dahintersteht.

Magst du das, was du zu 3 über die zurückgelegten Winkel und Wegstrecken geschrieben hast, mal ausführlich sagen, für den Fall, dass eines der Räder stillsteht? Also: Wenn sich das andere Rad um den Winkel ... weiterdreht, dann bewegt sich der Mittelpunkt dieses Rades auf einem Kreisbogen mit Radius ... um die Strecke ... weiter, und damit verändert sich der Winkel der Hantelorientierung um ... ?

Magst du diese Beziehungen für die Strecken und Winkel vielleicht analog auch für die Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten aufschreiben, damit du die Rollbedinung darin leichter wiedererkennst? Also: Wenn sich das andere Rad mit der Winkelgeschwindigkeit ... dreht, dann bewegt sich der Mittelpunkt dieses Rades auf einem Kreisbogen mit der Bahngeschwindigkeit ..., also bewegt sich die Hantelachse mit einer Winkelgeschwindigkeit ... um den Punkt, in dem der Mittelpunkt des ruhenden Rades ruht.

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Hast du schon eine konkrete Vorstellung, was für eine Bewegung der Hantel die Zwangsbedingung (1) beschreibt? (Diese Zwangbedingung gibt ja eine Gleichung an für den Winkel der Hantelachse und die Veränderung dy der y-Position des Hantelmittelpunktes bei einer gleichzeitigen Veränderung dx der x-Position des Hantelmittelpunktes.)