Lagrange1, nicht holonome Zwangsbedingungen

kommando_pimperlepim · Anmeldungsdatum: 15.11.2004 Beiträge: 133

Für holonome Zwangsbedingungen

F(x,y,z,t)=0

Lässt sich die Zwangskraft

Z=h(t)*grad( F(x,y,z,t) )

aufstellen.

Wie kann man das Machen, wenn die Zwangsbedingung nicht holonom im sinne einer nicht strengen Ungleichung ist?

F(x,y,z,t) <= 0 , z.B.: x(t) <= f(t)+k*z(t)

Habe überall danach gesucht, aber keine Anwendung gefunden. Die holonomen ZB bilden ja Äquipotentialflächen, was den Gradienten logisch macht, aber was ist bei einer Ungleichung zu tun?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich glaube, das geht so nicht... So weit ich mich erinnern kann (und Theoretische Mechanik ist bei mir echt schon lange her, es kann also sein, dass ich komplett falsch liege...), kann man mit Lagrange 2. Art nur mit holonomen Zwangsbedingungen rechnen und mit Lagrange 1. Art "zusätzlich" noch mit differentiellen ZB. Eine solche Ungleichung ist ja aber keine holonome und keine differentielle ZB.

Aber, wie gesagt... kann sein, dass das kompletter Schwachsinn ist, den ich da schreibe!

Gruß
Marco

Naemi · Moderator Anmeldungsdatum: 01.06.2004 Beiträge: 497 Wohnort: Bonn

Das was as-string zu holonomen und differentiellen Zwangsbedingungen gesagt hat, stimmt. Für Ungleichungen habe ich bisher auch keinen Lösungsansatz gefunden (geschwige denn eine Übungsaufgabe zum Rechnen gesehen). Ich kann mir das auch nicht wirklich vorstellen (wie baut man eine Ungleichung zu einer Gleichung um?) -- man braucht ja schon eine Relation zwischen den Größen, die man verwenden kann. Vielleicht kann man ein solches Problem eher mit anderen Methoden lösen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Bücher und Skripte, die ich kenne, bestätigen, dass es kein allgemein funktionierendes Verfahren gibt, um Probleme mit nicht-holonomen Zwangsbedingungen, die in Form von Ungleichungen vorliegen, zu lösen.

Solche Zwangsbedingungen kommen ja zum Beispiel dann vor, wenn sich ein Körper auf oder über einer Oberfläche befindet. Also als einseitige (unilaterale) Zwangsbedingungen, da die Oberfläche die Bewegung nur auf einer Seite einschränkt.

Ein Beispiel dafür:

Ein Massenpunkt rutscht die Oberfläche einer Kugel mit Radius R herunter. Ist die Geschwindigkeit groß genug, so hebt er wegen der Zentrifugalbeschleunigung ab. Dabei lautet die Zwangsbedingung (r sei der Abstand des Massenpunktes vom Mittelpunkt der Kugel):

Man hat zwar kein allgemeines Lösungsverfahren, aber in diesem speziellen Fall würde ich konkret einen Lösungsweg vorschlagen:

Zuerst mit der holonomen Zwangsbedingung rechnen, dass der Massenpunkt auf der Kugeloberfläche bleibt,
damit die Bewegung des Massenpunktes ausrechnen,
daraus bestimmen, wann der Massenpunkt abhebt,
und die Bewegung ab diesem Zeitpunkt als freie Bewegung (schräger Wurf) berechnen.
Und vielleicht muss man dann nochmal überprüfen, ob der Massenpunkt danach nochmal gegen die Kugel treffen kann und daran reflektiert wird.