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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
Beiträge: 218
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 Marleen Verfasst am: 26. Dez 2006 23:38 Titel: Aufgabe: Reibungskoeffizient II |
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Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe:
"Ein Punkt bewegt sich gerade und findet eine Widerstandskraft vor, die proportional ist an  . Im Augenblick, bei dem der Punkt bei A vorbei kommt, hat der Punkt eine Geschwindigkeit von 20 km/h. Nach 25s kommt er in B mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h an. Welchen Abstand (gesehen von A) hätte der Punkt abgelegt als er eine Geschwindigkeit von 10 km/h hat? [Vorgegebene Antwort 18,5m]"
Als allererstes habe ich die Geschwindigkeiten in m/s umgerechnet:
20km/h=5,556 m/s. 5km/h=1,389m/s. 10km/h=2,778m/s.
Bei dem Rest der Aufgabe bin ich überfragt. Ich habe mich versuchsweise diese Gleichung aufgestellt:
Hilfe ist willkommen 
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Schrödingers Katze
Anmeldungsdatum: 10.07.2005
Beiträge: 695
Wohnort: Leipzig
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| Schrödingers Katze Verfasst am: 27. Dez 2006 19:22 Titel: |
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Nur ein Vorschlag:
Die Geschwindigkeit könnte mit  dargestellt werden. Das ergibt eine DGL 3. Ordnung für  . Entsprechend für die Strecke bzw. über  falls das nicht zu kompliziert wird.
Ich habs nicht durchgerechnet, aber du könntest es versuchen. Mit der Abhängigkeit müsste sich in einem Gleichungssystem vllt der Proportionalitätsfaktor bestimmen lassen und dann hättest du ja alles. Weiß nur noch nicht was mit der Masse ist; War da nichts gegeben? ?-(
Na ja, sicher gibts kompetentere Vorschläge. Aber dass du die Geschwindigkeiten umgerechnet hast war sicher schon ein doller Schritt Richtugn Ziel :-)
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Masse: m=4kg
Trägheitsmoment: J=  |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 27. Dez 2006 20:21 Titel: |
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Dein (Energie)Ansatz hilft einem hier leider nicht weiter, da die Reibungskraft eben geschwindigkeitsabhängig und nicht über die Strecke s konstant ist.
Ich skizzier' mal grob den Ablauf der Aufgabe, so wie ich rangehen würde. - Der Punkt findet eine Widerstandskraft proportional v³ vor. Man kann also schonmal eine Proportionalitätskonstante einführen:
- Nach dem Newton'schen Axiom ist damit auch die Beschleunigung proportional zu v³ (da proportional F). Die beiden Unbekannten (Konstanten) kann man zu einer neuen (natürlich auch unbekannten) Konstanten zusammenfassen:
- Das sieht doch irgendwie schon wie eine Differentialgleichung aus, oder?
- Könnte man diese Differentialgleichung lösen, hätte man einen Zusammenhang v(t) und könnte vielleicht aus den Angaben v(t_A) = 20km/h und v(t_A+25s) = 5km/h die unbekannte Konstante bestimmen. (Tipp: Separation der Variablen.)
- Und hat man erstmal v(t) und die Konstante, ist man nur noch eine Integration von s(t) entfernt. Die Zeit nach der die Geschwindigkeit nur noch 10 km/h beträgt kann man dann mit v(t) berechnen, in s(t) einsetzen und bekommt sogar die angegebene Lösung.
Wahrscheinlich ist es am günstigsten wenn du nochmal schreibst was davon für dich nachvollziehbar ist, und wie weit du gekommen bist. 
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Formeln mit LaTeX |
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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
Beiträge: 218
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| Marleen Verfasst am: 18. Aug 2007 19:01 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: |
- Das sieht doch irgendwie schon wie eine Differentialgleichung aus, oder?
- Könnte man diese Differentialgleichung lösen, hätte man einen Zusammenhang v(t) und könnte vielleicht aus den Angaben v(t_A) = 20km/h und v(t_A+25s) = 5km/h die unbekannte Konstante bestimmen. (Tipp: Separation der Variablen.)
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Das sieht ja sehr kompliziert aus. Also ich habe folgendes gemacht fuer die Bestimmung der Konstanten:
 =20km/h }^{ v(t_A+25s = 5km/h) }~ v^{-3} ~dv = \int_{t_A }^{ t_A+25s }~ \lambda ~dt )
 = \lambda 25s)
Und dann weiss ich nicht weiter 
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 18. Aug 2007 20:48 Titel: |
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Hallo Marleen.
Der Zahlenwert für  ist soweit korrekt; bei der Einheit muß die Sekunde in den Nenner; so weit so gut  .
Die Differentialgleichung hast Du ja schon gelöst, fehlt nur noch die allgemeine Gleichung:
Durch Umstellen nach v kannst Du mit Hilfe der gegebenen Geschwindigkeit/Zeit-Paare C bestimmen.
Wenn Du damit fertig bist, kannst Du die Gleichung, gleich wieder nach t umstellen, damit du bestimmen kannst, zu welchem Zeitpunkt  die Geschwindigkeit  vorliegt (ich kann Dir schon mal verraten, daß  ist).
Für den Weg x(t) muß wieder intergriert werden:
 = \frac{\dd x(t)}{\dd t})
Also:
 = \int v(t)\,\dd t + Z)
Mit x(t=0) = 0 kann der Parameter Z bestimmt werden.
Der Rechenweg ist geprüft und das Ergebnis stimmt mit der Vorgabe überein. Die Rechnung kann ein wenig fehleranfällig sein. Insbesondere die Wahl der Einheiten ist ein Stolperstein wegen der gleichzeitigen Verwendung von Stunde und Sekunde. Also entweder gleich alles in Meter und Sekunde umrechnen oder speziell beim Ausrechnen des Ortes auf diese Besonderheit achten.
Viel Spaß  !
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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
Beiträge: 218
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| Marleen Verfasst am: 19. Aug 2007 11:08 Titel: |
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| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | Hallo Marleen.
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Wie kommst du auf diese Gleichung?
| Zitat: |
Durch Umstellen nach v kannst Du mit Hilfe der gegebenen Geschwindigkeit/Zeit-Paare C bestimmen.
Wenn Du damit fertig bist, kannst Du die Gleichung, gleich wieder nach t umstellen, damit du bestimmen kannst, zu welchem Zeitpunkt die Geschwindigkeit vorliegt (ich kann Dir schon mal verraten, daß ist).
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Habe ich gemacht:
| Zitat: |
Für den Weg x(t) muß wieder intergriert werden:
Mit x(t=0) = 0 kann der Parameter Z bestimmt werden.
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Aus wird dann
 = v (t_2 - t_1 ) + Z )
Ich glaube du meinst, ich soll alles nach Z aufloesen und Z bestimmen, aber was soll ich fuer v einsetzen, v bleibt ja nicht konstant?
Und danach die Formel nochmal nehmen, aber hier ergibt sich wieder das gleiche Problem, dass v nicht konstant ist.
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 19. Aug 2007 12:41 Titel: |
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Du hast die Separation der Variablen doch selbst durchgeführt; anstatt des bestimmten Integrals mußt Du nur das unbestimmte nehmen, und eine beliebige Integrationskonstante hinzufügen:
Woraus gleich folgt
Und so eine Integrationskonstante muß dann anhand der Start- oder Randbedingungen ermittelt werden.
Beim Ausrechnen hast Du aber gepatzt; die Zahlenwerte sind in Ordnung, aber Du hast beim zweiten Summenden ein falsches Minuszeichen ( ist negativ!). Mache es gut und Du bekommst das richtige für .
Beim letzten Teil kannst Du die geschlossene Lösung der Ortsfunktion auch weglassen und lieber das bestimmte Integral lösen:
\,\dd t)
v(t) ist natürlich nicht konstant. Wie sieht denn die Funktion aus? Die Integration ist nicht allzu schwer (Hinweis: Was ist die Ableitung von }) ).
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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
Beiträge: 218
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| Marleen Verfasst am: 20. Aug 2007 13:50 Titel: |
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So dann korrigiere ich mal C:
| magneto42 hat Folgendes geschrieben: |
Beim letzten Teil kannst Du die geschlossene Lösung der Ortsfunktion auch weglassen und lieber das bestimmte Integral lösen:
v(t) ist natürlich nicht konstant. Wie sieht denn die Funktion aus? Die Integration ist nicht allzu schwer (Hinweis: Was ist die Ableitung von ). |
Hier habe ich immer noch Probleme  Ich komme nicht drauf wie v(t) aussieht.
Die Ableitung von ist  und weiss nicht so ganz, was ich mit dem Hinweis anfangen soll.
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 20. Aug 2007 14:35 Titel: |
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Hallo.
Ich habe (exakt!):
Hast Du Dich wieder verrechnet oder sind das Rundungsfehler? Mach doch einmal die Gegenprobe mit dem anderen Wertepaar (v = 20 km/h, t = 0). Dann sollte für exakt herauskommen. (Nebenbei, ich habe für die Werte der Geschwindigkeiten immer (5 / 3,6) bzw. (20 / 3,6) in den Taschenrechner eingetippt).
Die Geschwindigkeit erhältst Du aus der Beziehung:
^{-2} = \lambda \cdot t + C)
Das sollte einfach sein nach v(t) aufzulösen. Wenn Du das in das Integral einsetzt, siehst du auch gleich, was es mit meinem Hinweis bezüglich der Ableitung auf sich hat.
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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
Beiträge: 218
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| Marleen Verfasst am: 20. Aug 2007 15:46 Titel: |
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| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | Hallo.
Ich habe (exakt!):
Hast Du Dich wieder verrechnet oder sind das Rundungsfehler?
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Ja das waren Rundungsfehler 
| Zitat: |
Die Geschwindigkeit erhältst Du aus der Beziehung:
Das sollte einfach sein nach v(t) aufzulösen. Wenn Du das in das Integral einsetzt, siehst du auch gleich, was es mit meinem Hinweis bezüglich der Ableitung auf sich hat. |
Und dann hat sich bei mir wieder der Fehlerteufel zugeschlagen:
 = \sqrt{ \frac{1}{ -2 ( \lambda t + C ) } } )
 } } ~dt )
Diese Formel habe ich dann in den Function-Calculator eingeben mit den Grenzwertern a=0 und b=5 und als Formel (-2*(-.00972*x+-0.162))^(-.5) Heraus kommt dann 8.20.
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magneto42
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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
Beiträge: 218
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