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Red_Wraith
Anmeldungsdatum: 18.12.2006
Beiträge: 7
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 Red_Wraith Verfasst am: 18. Dez 2006 16:45 Titel: Potential im Feld zweier Punktladungen |
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Es geht um folgende Aufgabe: Gegeben ist eine positive Punktladung +Q1 und eine negative Punktladung -Q1 ungleichen Betrags. Der Abstand der Punktladungen sei c. Der Abstand zwischen Q1 und einem Punkt P1 sei a, der Abstand zwischen Q2 und P1 sei b. Nun soll man das Potential im Punkt P1 berechnen.
Eine Skizze hierzu:
Ich komme einfach nicht auf das Ergebnis, das in der Lösung angegeben ist und ich vermute, dass ich irgendwas falsch gemacht habe:
Ich kenne folgende Formel zum Potential: 
Ich poste jetzt mal meinen Ansatz, in der Hoffnung, dass mir jemand sagen kann, was daran falsch ist:
 \cdot d\vec r = } \int\limits_{P1}^\infty {\vec E_1 \cdot d\vec r} + \int\limits_{P1}^\infty {\vec E_2 \cdot d\vec r} )
Nun betrachte ich die zwei Felder getrennt. Für  ist Q1 der Nullpunkt des Raums und für  ist Q2 der Nullpunkt des Raums.
und  sind parallel, und sind antiparallel =>
)
 = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }} \cdot \left( {\frac{{Q_1 }}{a} - \frac{{Q_2 }}{b}} \right))
In der Lösung steht aber:
)
Wo habe ich einen Fehler? Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
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| as_string Verfasst am: 18. Dez 2006 16:53 Titel: |
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Hallo!
Entweder ich hab was an den Augen, oder am Kopf... Ich kann irgendwie keinen Unterschied zwischen Deinem Ergebnis und der Musterlösung sehen...
Potentiale kannst Du in der Elektrostatik genau so addieren, wie z. B. auch das Vektorfeld der Feldstärke (also einmal natürlich Skalare addieren und einmal Vektoren). Du brauchst eigentlich deshalb nicht unbedingt die ganzen Integrale durchzuführen, es sei denn, Du willst genau das beweisen. Anscheinend hast Du aber richtig integriert, sonst wärst Du ja nicht auf das richtige Ergebnis gekommen...
Du siehst das übrigens gleich an Deiner ersten Zeile. Alleine deshalb, weil Du die Vektorsumme mit dem dr ausmultiplizieren darfst und weil man ein Integral aus Summen auch getrennt integrieren darf, zerfällt das komplette Potential in eine Summe von einzelnen Integralen, die aber den einzelnen Potentialen entsprechen, wenn man die Ladungen jeweils alleine hätte.
Gruß
Marco
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Red_Wraith
Anmeldungsdatum: 18.12.2006
Beiträge: 7
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| Red_Wraith Verfasst am: 18. Dez 2006 17:00 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Entweder ich hab was an den Augen, oder am Kopf... Ich kann irgendwie keinen Unterschied zwischen Deinem Ergebnis und der Musterlösung sehen... |
Oh, ich habe mich vertippt. In der Lösung steht:
)
Dann habe ich also doch irgendeinen Fehler drin.
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Potentiale kannst Du in der Elektrostatik genau so addieren, wie z. B. auch das Vektorfeld der Feldstärke (also einmal natürlich Skalare addieren und einmal Vektoren). |
Danke, gut zu wissen.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 18. Dez 2006 17:03 Titel: |
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Hallo!
So, wie die Aufgabe von Dir wiedergegeben ist, würde ich sagen, dass die Musterlösung falsch ist. Allerdings sehen die vielleicht Q2 direkt als negativ an, also vielleicht Q1 = +2C und Q2 = -1C oder so, dann wäre die Musterlösung richtig, weil das Minuszeichen dann ja direkt in Q2 drin ist. Aber dann wäre die Formulierung dazu nicht richtig.
Also, vom Prinzip her hast Du recht. Das mit Plus und Minus wird da bei den Bezeichnungen gerne mal durcheinander geworfen.
Gruß
Marco
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Red_Wraith
Anmeldungsdatum: 18.12.2006
Beiträge: 7
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| Red_Wraith Verfasst am: 18. Dez 2006 17:22 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | | So, wie die Aufgabe von Dir wiedergegeben ist, würde ich sagen, dass die Musterlösung falsch ist. Allerdings sehen die vielleicht Q2 direkt als negativ an, also vielleicht Q1 = +2C und Q2 = -1C oder so, dann wäre die Musterlösung richtig, weil das Minuszeichen dann ja direkt in Q2 drin ist. Aber dann wäre die Formulierung dazu nicht richtig. |
Tatsächlich stehen in der Aufgabenstellung konkrete Werte. Ich habe mir nur gedacht, ich kann es hier im Forum auch allgemein formulieren. Wie es aussieht, spielt es aber doch eine Rolle. Bei der genauen Aufgabenstellung heißt es: "Zwei Punktladungen  und  ...."
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Also, vom Prinzip her hast Du recht. Das mit Plus und Minus wird da bei den Bezeichnungen gerne mal durcheinander geworfen. |
Im letzten Schritt hätte ich die Ladungswerte mit Vorzeichen eingesetzt und in der Musterlösung ist dies auch der Fall. Dann muss meine Lösung doch falsch sein. Liegt es vielleicht daran, dass man nicht sagen kann: und sind antiparallel?
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 18. Dez 2006 18:02 Titel: |
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Nein, das kann man nicht sagen, da hast Du Recht. Ich hatte das so verstanden, dass Du damit das Vorzeichen gleich mit einbezogen hättest.
Die Formel mit E·dr gilt immer. Im Vektorprodukt werden die Vorzeichen dann auch richtig behandelt. Wenn die bieden Vektoren in entgegengesetzte Richtung stehen, dann wird das Vektorprodukt auch negativ. Deshalb kannst Du ganz normal mit "+" in den Formeln rechnen.
Gruß
Marco
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Red_Wraith
Anmeldungsdatum: 18.12.2006
Beiträge: 7
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| Red_Wraith Verfasst am: 18. Dez 2006 20:58 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | Nein, das kann man nicht sagen, da hast Du Recht. Ich hatte das so verstanden, dass Du damit das Vorzeichen gleich mit einbezogen hättest.
Die Formel mit E·dr gilt immer. Im Vektorprodukt werden die Vorzeichen dann auch richtig behandelt. Wenn die bieden Vektoren in entgegengesetzte Richtung stehen, dann wird das Vektorprodukt auch negativ. Deshalb kannst Du ganz normal mit "+" in den Formeln rechnen. |
Hm, das verstehe ich jetzt aber nicht. Wenn ich die Feldlinien der positiven Ladung einzeichnen würde, wären das ja lauter Geraden durch Q1, wobei die Feldrichtung von der Ladung Q1 weg zeigen würde. Bei Q2 wäre es so ähnlich, nur dass die Feldrichtung in Richtung der Ladung Q2 zeigt. Wenn ich nun bei der Betrachtung des Feldes von Q1 von P1 aus Richtung Unendlich integriere, dann integriere ich doch in der selben Richtung wie die Feldrichtung. Somit ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren positiv. Entsprechend integriere ich doch beim Feld von Q2 entgegen der Feldrichtung und somit ist dieses Skalarprodukt negativ.
Oder darf man etwa die Felder der beiden Ladungen nicht einfach einzeln betrachten?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 18. Dez 2006 21:49 Titel: |
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| Red_Wraith hat Folgendes geschrieben: | | Entsprechend integriere ich doch beim Feld von Q2 entgegen der Feldrichtung und somit ist dieses Skalarprodukt negativ. |
Betrachte doch einfach mal nur das Feld von einer negativen Ladung. Das ist:
Wobei die Ladung aber negativ ist. Die Vektorkomponenten sind jetzt alle so, dass sie zu der Ladung, bzw. zum Ursprung zeigen. Wenn Du das mit einem Vektor multiplizierst, die davon weg zeigt, ist das Ergebnis automatisch negativ. Das Vorzeichen steckt ja in der Ladung dann schon mit drin und wird sich dann auf das Skalarprodukt übertragen.
Aber mir ist noch ein anderes Problem aufgefallen. An der Stelle, in der Du E1 und E2 einsetzt, benutzt Du zweimal das selbe r. Das ist nicht ganz richtig, weil r ja der Vektor (oder hier der Abstand) von der jeweiligen felderzeugenden Ladung zu der Probeladung sein muss und diese nicht gleich sein können, wenn die Ladungen nicht zusammen liegen und man sich nicht zufällig auf der Mittelsenkrechten-Ebene befindet. Wenn Du die Integralgrenzen dann einsetzt stimmts wieder. Da solltest Du vielleicht einfach ra und rb schreiben oder so.
Gruß
Marco
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
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| as_string Verfasst am: 19. Dez 2006 00:15 Titel: |
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Hallo!
Ich habe das Potential mal so in etwa geplottet.
An jedem Punkt gibt die Richtung des stärksten Anstiegs dieser Fläche (der Gradient) das E-Feld an und der Anstieg selbst, die Stärke des E-Feldes. Das E-Feld ist also so eine Art mehrdimensionale Ableitung des Potentials.
Geplottet habe ich natürlich nur zwei Dimensionen. In Wahrheit ist das Feld zylindersymmetrisch auch noch in die dritte Dimension weiter "zu denken".
Du kannst erkennen, dass die negative Ladung so eine Art Delle macht und die positive entsprechend eine Beule.
Ich weiß nicht, ob das irgendwas hilft... Lass Dich bitte dadurch nicht noch mehr verwirren. Auf der anderen Seite: Wenn es doch was hilft, hat es sich ja gelohnt!
Gruß
Marco
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Red_Wraith
Anmeldungsdatum: 18.12.2006
Beiträge: 7
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| Red_Wraith Verfasst am: 19. Dez 2006 16:42 Titel: |
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Aah, endlich habe ich es verstanden!  VIEEELEN DANK! Du hast mir sehr weitergeholfen. Das Potentialbild ist auch sehr interessant.
Es lag an dem missverständlichen Eintrag in meinem Physikskript:
 , falls  und antiparallel sind.
Hier wurde scheinbar davon ausgegangen, dass E positiv ist (ohne das zu erwähnen ...). Ich habe dann stur nach dieser Formel gerechnet und bin schließlich zu dem Fehler gekommen. Ich habe quasi durch das Minus, das ich gesetzt habe, das Skalarprodukt wieder positiv gemacht.
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Aber mir ist noch ein anderes Problem aufgefallen. An der Stelle, in der Du E1 und E2 einsetzt, benutzt Du zweimal das selbe r. Das ist nicht ganz richtig, weil r ja der Vektor (oder hier der Abstand) von der jeweiligen felderzeugenden Ladung zu der Probeladung sein muss und diese nicht gleich sein können, wenn die Ladungen nicht zusammen liegen und man sich nicht zufällig auf der Mittelsenkrechten-Ebene befindet. Wenn Du die Integralgrenzen dann einsetzt stimmts wieder. Da solltest Du vielleicht einfach ra und rb schreiben oder so. |
Danke für den Hinweis.
So ich schreibe jetzt mal die (hoffentlich völlig) richtige Lösung der Vollständigkeit halber hin:
Nun betrachte ich die zwei Felder getrennt. Für ist Q1 der Nullpunkt des Raums und für ist Q2 der Nullpunkt des Raums.
und  sind parallel, und  sind antiparallel.
Daher kann man wie folgt weiterrechnen (in Q2 soll später eine negative Zahl eingesetzt werden!!!):
)
 = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }} \cdot \left( {\frac{{Q_1 }}{a} + \frac{{Q_2 }}{b}} \right))
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