| Autor |
Nachricht |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
 TomS Verfasst am: 29. Jan 2025 18:53 Titel: |
 |
|
👍
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
 |
Aruna_Gast
Gast
|
| Aruna_Gast Verfasst am: 29. Jan 2025 23:05 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Von Neumann führt Zeigerzustände wie |zeigt Spin-up〉ein, obwohl es sich natürlich um eine Klasse von Zuständen handelt, also einen unendlich-dimensionalen Teilraum, nicht um exakt einen eindimensionalen Zustand.
|
okay, das passt m.E. zu dem anderen Thema Dreifachspalt und "Kollaps" auf einem Unterraum statt auf ein "Teilchen".
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Man tut so, als ob der Spin eine Messgröße wäre; praktisch liegt bei Stern-Gerlach u.v.a.m. aber eine (unscharfe) Ortsmessung vor.
|
ich hab mal elektrische Widerstände gemessen, und so getan, als handele es sich um Temperaturen...
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Im Falle von Photonen soll auf den Eigenraum des Messergebnisses projiziert werden, also z.B. auf |Polarisation-links 〉: Wurde ein Photon registriert, ist es aber weg (!) und hat keine Polarisation mehr, man müsste also auf |kein Photon〉projizieren – was natürlich Käse ist. Wurde es nicht registriert, jedoch sein verschränkter Partner, kennt man darüber indirekt die Polarisation und projiziert darauf – obwohl am überlebenden Photon gerade nichts (!) gemessen wurde.
|
Ja, Photonen sind da etwas empfindlich bzw. flüchtig....
Aber auch das erinnert mich an den anderen Thread: daraus, dass man etwas nicht misst (Quantenobjekt am linken Spalt) bzw. gerade keine Wechselwirkung stattfindet, wird der Zustand des Quantenobjekts auf einen Teilraum projiziert.
Das lässt für mich die Vorstellung, das Ganze hätte etwas mit Information im Sinne von Kenntnis über das System zu tun, attraktiver erscheinen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es funktioniert halt irgendwie im Sinne von "shut up a calculate". Darüberhinaus existierten zwar diverse Ansätze, aber einen konsistenten Eingang in Lehrbücher haben die wenigsten gefunden. |
Geht das hier vielleicht in die Richtung?
physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/QMplus21/
| Zitat: | | Prerequisites: Basic knowledge in Quantum Mechanics! |
|
|
|
Aruna_Gast
Gast
|
| Aruna_Gast Verfasst am: 29. Jan 2025 23:23 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-II_17/05_18.pdf |
Hier mal die übergeordnete Seite dazu und das vollständige PDF.
physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-II_17/
physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-II_17/QM-I.pdf
|
könnte man damit nicht vielleicht diesen im Verschränkungsthread artikulierten Anspruch erfüllen?:
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Sobald Implikationen drin sind(, die man selbst tätigen kann,) ist es für mich kein Minimum mehr. Ich persönlich erwarte beim Minimun Axiome und grundlegende Informationen*, die erkenntnisreiche und anschauliche Rückschlüsse und Schlussfolgerungen zulassen, die einen guten Überblick erschaffen.
|
hier die grundlegenden Postulate (ist ja so was ähnliches wie Axiome) der QM auf drei Seiten:
physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-II_17/05_16.pdf
Dazu noch die grundlegende Lineare Algebra auf 14 Seiten, davon sechs Seiten zur Dirac-Notation:
physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-II_17/05_16.pdf |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 29. Jan 2025 23:44 Titel: |
|
|
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | könnte man damit nicht vielleicht diesen im Verschränkungsthread artikulierten Anspruch erfüllen?: |
Ja, sieht nach einem recht guten PDF aus.
Nette Grüsse
_________________
„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 30. Jan 2025 06:37 Titel: |
|
|
@Aruna –
Das Skript von Borghini schaue ich mir noch genauer an.
Die ersten Postulaten in II.2 sind teilweise überholt bzw. problematisch, auch wenn man nur eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik im Sinn hat. Aber er bessert ja später nach.
Letztlich handelt es sich um eine Vermengung zweier Problemstellungen:
Erstens muss man eine verständliche Einführung in die Quantenmechanik lehren, die für die bekannten und zukünftigen Anwendungen praktisch handhabbar ist. Zweitens sollte man der Tatsache Rechnung tragen, dass gewisse fundamentale Fragestellungen unverstanden sind, beziehungsweise dass hierzu kein Konsens existiert (dies hat nur bedingt etwas mit der Interpretation zu tun). Beides zusammen ist natürlich ein Spagat. Selbstverständlich kann man nicht erwarten, dass eine abschließende und fundamental gesicherte Darstellung präsentiert wird, wenn diese schlicht nicht existiert. Man darf jedoch erwarten, dass diese Problematik zumindest am Rande thematisiert wird!
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2025 20:09 Titel: |
|
|
Gibt es eine logische Äquivalenz-Beziehung zwischen (dem Prinzip der) Symmetrie-Gruppen und der Entartung (bzw. Eigen-Räumen), oder nur ein Implikations-Beziehung?
Nette Grüsse
_________________
„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 30. Jan 2025 21:39 Titel: |
|
|
Das kommt auf die Symmetriegruppe an.
Die symmetrische Gruppe der Permutationen von n identischen Objekten ist immer trivial implementiert. Den jeweils n! Permutationen entspricht immer nur ein realen Zustand, nicht n! identischen Zuständen; das wissen wir schon aus der klassischen statistischen Mechanik.
Für kontinuierliche Liegruppen (Translationen, Rotationen) oder diskrete Ausprägungen (z.B. diskrete Kristallgitter) sind üblicherweise die Darstellungen der Gruppe als Multiplets der Zustände realisiert.
Dies gilt beispielsweise für die Zustände bzw. Spektren in Atomen, Isospin in der Kernphysik bzw. QCD, Blochwellen in der Festkörperphysik …
Das ist aber keine logische Notwendigkeit, genausowenig wie die elliptischen Bahnen der Planeten eine logische Notwendigkeit der Newtonschen Theorie sind. Umgekehrt hat Newton das Gravitationspotential so konstruiert, dass dieses die elliptischen Bahnen reproduziert. Das Konstruktionsprinzip unserer Theorien wurde bzgl. der Symmetrien über die Jahrhunderte verfeinert, ist jedoch im Kern unverändert geblieben.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Jan 2025 22:10, insgesamt 4-mal bearbeitet |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2025 21:52 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das kommt auf die Symmetriegruppe an. |
D.h. es gibt Fälle, wo es eine Äquivalenz-Beziehung ist und andere Fälle, wo es nur eine Implikations-Beziehung ist?
Nette Grüsse
_________________
„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 30. Jan 2025 21:56 Titel: |
|
|
Ich habe den Beitrag erweitert.
Evtl. verstehe ich aber auch die Frage nicht.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2025 22:17 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das kommt auf die Symmetriegruppe an.
...
Das ist aber keine logische Notwendigkeit, genausowenig wie die elliptischen Bahnen der Planeten eine logische Notwendigkeit der Newtonschen Theorie sind. Umgekehrt hat Newton das Gravitationspotential so konstruiert, dass dieses die elliptischen Bahnen reproduziert. Das Konstruktionsprinzip unserer Theorien wurde über die Jahrhunderte verfeinert, jedoch im Kern unverändert geblieben. |
Also ist es defintiv nie eine Äquivalenz-Beziehung und nur in manchen Fällen eine Implikations-Beziehung?
Edit:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Evtl. verstehe ich aber auch die Frage nicht. |
Ups. Zu spät gesehen.
Nette Grüsse
_________________
„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 31. Jan 2025 06:14 Titel: |
|
|
Kennen Sie das Noether-Theorem?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2025 11:51 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kennen Sie das Noether-Theorem? |
Ja.
Es verbindet Erhaltungs-Größen mit Symmetrien, gegenseitig*.
Eigen-Räume bzw. Entartung sind ein starker Hinweis (wenn nicht sogar ein Beweis), dass eine Symmetrie und somit eine Erhaltungs-Größe im Spiel ist.
Edit:
*d.h. mit materieller Äquivalenz, meinem Verständnis nach.
Nette Grüsse
_________________
„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 31. Jan 2025 13:50 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kennen Sie das Noether-Theorem? |
Ja.
Es verbindet Erhaltungs-Größen mit Symmetrien, gegenseitig.
Eigen-Räume bzw. Entartung sind ein starker Hinweis (wenn nicht sogar ein Beweis), dass eine Symmetrie und somit eine Erhaltungs-Größe im Spiel ist. |
Jein.
Eigenräume sind sozusagen die Konsequenz bzw. indirektes Indiz der Symmetrie. Tatsächlich manifestiert sich dies bereits auf Ebene der Operatoren.
In Kürze:
Ein quantenmechanisches System weist eine kontinuierliche Symmetrie auf, wenn eine erhaltene Ladung Q existiert, d.h. wenn Q mit dem Hamiltonian H vertauscht:
Das entspricht letztlich einer Poisson-Klammer in der klassischen Mechanik.
Damit ist es möglich, eine Basis des Hilbertraumes zu finden, bei der jeder Basisvektor zugleich Eigenvektor zu H und Q ist.
Jede derartige erhaltene Ladung Q generiert eine Symmetrietransformation
 = e^{i \theta Q})
für einen kontinuierlichen, reellen Parameter theta, die auf den Zuständen wirkt. Da Q mit H vertauscht, gilt auch
d.h. H ist invariant unter der Symmetrie.
Für Eigenzustände mit Eigenwerten q zu Q
gilt unter Zeitentwicklung vermöge
 = e^{-iHt})
wiederum aufgrund des Vertauschens
d.h. Eigenzustände zu einem bestimmten Eigenwert q bleiben Eigenzustände. Die Ladung bleibt unter Zeitentwicklung U erhalten, U mischt keine anderen Zustände bei.
Dies gilt trivialerweise für die Energie eines abgeschlossenen Systems, da dann H mit Q identifiziert wird und
gilt.
Zusammenfassend: liegt ein derartiges System in einem bestimmten Unterraum zu H und einem Unterraum zu Q, so rotiert weder Omega das System aus dem Unterraum zu H hinaus, noch U aus dem Unterraum zu Q.
Kennt man die Matrix-Darstellungen der Generatoren einer Lie-Gruppe, z.B. die Pauli-Matrizen für die SU(2), die Generatoren der SO(3), irgendetwas anderes ... und deren Vertauschungsrelationen
so gehören zu einem quantenmechanischen System, das diese Symmetrie aufweist, entsprechende Operatoren mit exakt denselben Vertauschungsrelationen.
Auch das entspricht der Poisson-Klammer der klassischen Mechanik.
Erst jetzt kommen entartete Eigenräume ins Spiel:
Falls nun eine kompliziertere kontinuierliche Symmetrie wie die SO(3) für Rotationen oder irgendetwas anderes vorliegt, dann kann man Eigenzustände gemäß den Darstellungen der Lie-Gruppe klassifizieren, d.h. man hat z.B. mit i = 1, 2, 3
 \, | \ell, \ell_3\rangle)
wobei ich jetzt L für die Drehimpulsoperatoren schreibe, damit das konkret wird.
Der Hilbertraum des Systems kann dann gemäß der irreduziblen Darstellungen der jeweiligen Lie-Gruppe zerlegt werden. D.h. er zerfällt im eine Summe paarweiser orthogonaler Unterräume, wobei jeder Unterraum eine Darstellung der Gruppe entspricht.
Das Vorliegen derartiger Unterräume ist jedoch nicht notwendige Voraussetzung für das Vorliegen einer Symmetrie. Betrachtet man ein eindimensionales, translationsinvariantes System, so entspricht der Impulsoperator P der oben eingeführten Ladung Q, der Impuls p wäre der Eigenwert, jeder Unterraum ist aber eindimensional (auf der reellen Zahlengerade ist das mathematisch heikel, das Beispiel funktioniert aber auch, wenn man diese zu einer Kreislinie kompaktifiziert)
Soweit für's erste.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. Jan 2025 15:58, insgesamt 2-mal bearbeitet |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2025 15:51 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | |
Bedeutet das, dass Q und H die selben Eigen-Vektoren haben, aber nicht die selben Eigen-Werte dazu?
Nette Grüsse
_________________
„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 31. Jan 2025 16:02 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | |
Bedeutet das, dass Q und H die selben Eigen-Vektoren haben, aber nicht die selben Eigen-Werte dazu? |
Das bedeutet, man kann eine Basis finden, in der jeder Basisvektor Eigenvektor sowohl zu H als auch zu Q ist.
Die Eigenwerte zu H und Q müssen im Allgemeinen nichts miteinander zu tun haben – siehe z.B. die Energie zu H sowie die elektrische Ladung zu Q.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
